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1.
不等式的证明是中学数学的一个难点,分式不等式的证明更为困难.本文提供了利用均值不等式配对证明一类分式不等式的思路. 一、如果不等式是形如sum form n to i=1 Ai2/Bi≥M的形式,且Ai,Bi(i=1,2,…,n),M均为正数,则可对Ai2/Bi配上Bi·P,成对利用均值不等式和不等式的基本性质证明. 例1 设a,b,c∈R+,求证:a2/(b+c)+b2/(c+a)+c2/(a+b)≥(a+b+c)/2. 证明:由a2/(b+c)+(b+c)/4≥a,b2/(c+a)+(c+a)/4≥b,c2/(a+b)+(a+b)/4≥c.上面三式相加得求证不等式. 相似文献
2.
等比性质:a/b=c/d=…=m/m(?)(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b.(b+d+…+n≠0) 这个性质在许多方面使用起来是方便的,但必须注意它的条件:b+d+…+n≠0.若a+d+…+n=0,则分式的分母为零,无意义. 例1 已知x/2=y/3=z/(-5)≠0,求(x+y+z)/(x-y)的值. 相似文献
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命题1 设a,b,c>0,则 2/(b+c)+2/(c+a)+2/(a+b)≥9/(a+b+c)。本刊1988年第6期P.8,曹健同志给出命题1的一个推广如下: 命题2 设a_1>0(i=1,2,…,n),m∈N,S=a_1+a_2+…+a_n,则 n-1/(S-a_1)~m+n-1/(S-a_2)~m+…+n-1/(S-a_n)~m≥n~2/S~m ①笔者发现命题2并不比它的特例(命题3)强。 相似文献
4.
问题 (江苏省盐城市2008年2月调研卷试题)设函数 f(x)=-x~3-2mx~2-m~2x+1-m(其中 m>-2)的图象在 x=2处的切线与直线 y=-5x+12平行.(Ⅰ)求 m 的值;(Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0,1]上的最小值;(Ⅲ)若 a≥0,b≥0,c≥0,且 a+b+c=1,试根据上述(Ⅰ)、(Ⅱ)的结论证明a/(1+a~2)+b/(1+b~2)+c/(1+c~2)≤9/(10).(*)其中不等式(*)的证明,耐人寻味,催人下笔.谨 相似文献
5.
一个不等式的再推广 总被引：1，自引：0，他引：1
问题 :已知 a,b,c∈ R~+,则 a/(b + c)+ b/(a + c)+ c/(a + b)≥ 3/2文 [1 ]将其推广为 :设△ ABC的三边为 a,b,c,若 -1 <λ<1时 ,aλa + b + c+ bλb + a + c+ cλc+ a + b≥3λ + 2 ( 1 )本文将 ( 1 )式推广为 :命题 1 已知 a,b,c∈ R+,若 -2 <λ≤1时 ,aλa + b + c+ bλb + a + c+ cλc+ a + b≥ 3λ + 2 ( 2 )若λ=1时 ,( 2 )式显然成立 ,若λ∈ ( -2 ,1 )时 ,令x =λa + b + cy =λb + a + cz =λc+ a + b a =( y + z) - (λ+ 1 ) x( 1 -λ) (λ + 2 )b =( x + z) - (λ + 1 ) y( 1 -λ) (λ + 2 )c=( x + y) - (λ+ 1 ) z( 1 -λ)… 相似文献
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常虎祖 《中学数学研究(江西师大)》2013,(9):21
《数学通报》1580题:设△ABC的三边长分别是a,b,c,内切圆半径为r,求证:1/(a~2)+1/(b~2)+1/(c~2)≤1/(4r~2).(2005年第11期).原证:令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并设s、△分别表示△ABC的半周长和面积,则易知x>0,y>0,x>0.并有s=1/2(a+b+c)=x+y+z,r= 相似文献
7.
先看下面的一个公式:设ai∈R,bi∈R+,i=1,2,…,n.则a21b1+a22b2+…+a2nbn≥(a1+a2+…+an)2b1+b2+…+bn.这个公式是由柯西不等式稍加变形后得到的,用它处理一类分式不等式问题十分方便.下面举例说明.例1已知a、b、c∈R+.求证:ab+c+bc+a+ca+b≥32.(第26届莫斯科数学奥林匹克)证明:ab+c+bc+a+ca+b=a2a(b+c)+b2b(c+a)+c2c(a+b)≥(a+b+c)22(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)2(ab+bc+ca)=32.例2设a、b、c∈R+,且abc=1.则1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.(第26届IMO)证明:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)=a2b2c2a3(b+c)+a2b2c2b3(c+a)+a2b2c2c3(a+b)=b2c2a(b+… 相似文献
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正对于各级数学竞赛中一类分式型不等式,将其分母换元,然后用新元素表示各个量,将复杂问题转化为已知的或简单的问题进行解决,达到事半功倍的目的,现举例说明,以飨读者.例1已知a、b、c∈R+,求证:a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2(第26届莫斯科数学奥林匹克试题) 相似文献
9.
一、要注意分母的值不能为零例1(1997年山西省中考题)当x=时,分式(x-|3x)|(-x1+1)的值为零·解:由|x|-1=0,得x=1或x=-1;当x=-1时,分母(x-3)(x+1)=0,所以x=1时,上述分式的值为零·二、要注意不要盲目通分例2(1997年西宁市中考题)当a=3,b=2时,求代数式a+ba2+2ab+b2-ba22--abb2的值解:待求式=a+b(a+b)2+(a+b(ba)(-ab)-b)=a1+b+a+bb=a1++bb=33+2=3(2-3)·三、要注意运用换元技巧例3(1997年云南省中考题)1x2+3x+2+1x2+5x+6+x2+41x+3·解:因为原式=(x+1)1(x+2)+1(x+2)(x+3)+(x+3)1(x+1),所以设x+1=a,x+2=b,x+3=c,则原式=a1b+b1c+c1a=a+abbc+c=(x+1… 相似文献
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题目1已知1/a+1/b=1/3,1/b+1/c=1/6,1/c+1/a=1/9.求abc/(ab+bc+ac)值这是一道分式求值问题,如果我们从已知中分别求出a、b、c,再代入所求分式,显然是一件非常困难的事,考虑到将所求分式取倒数化简,就可以得 相似文献
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《中等数学》2014,(11):10-14
第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明:
ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4.
证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数.
对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0.
则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c)
＜0＜abc/2+1/4.
对于后一种情形,由舒尔不等式有
a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)
≥0
(→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc
≥0.①
记p =ab +bc +ca,q=abc.
由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0.
从而,p≤9q/4+1/4.
因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以,
√q≤√1/3＜2/9.
于是,9q＜2√q.
故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4
(→) ab+bc+ca＜√abc+1/4. 相似文献
12.
在解决有些问题的过程中,我们往往不知不觉地把注意力集中在一个局部上,甚至被一些假象迷惑,因而迷失了解题的方向,如能全面地观察、分析整体与局部、整体与结构的关系,则可把握问题的实质,灵活解题,现介绍几种方法如下:一、整体代入例1 巳知a、b、c为不等于零的实数,且a+b+c=0,则a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)的值为__.(1999年山东省初中数学赛题)解:求值式=a+b+c/a+a+b+c/b+a+b+c/c-3=-3二、整体换元例 2 已知实数a、b满足a2+ab+b2=1,求a2-ab+b2的取值范围.(1998年黄冈市初中赛题)解:设a2-ab+b2=t,由a2+ab+b2=1,得 相似文献
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题目设a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=了1时取到等号.文[1][2]给出了不同的证明方法,本文再给出更简单的证明方法.证明:注意到b~2-b+1=(b-1/3)~2+1/9(8-3b)≥1/9(8-3b),同理有c~2-c+1≥1/9(8-3c), 相似文献
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设函数f(x)=ax2+bx+c(-1≤x≤1),则f(1)=a+b+c,f(0)=c,f(-1)=a-b+c,解得a=1/2f(1)+1/2f(-1)-f(0),b=1/2f(1)-1/2f(-1),c=f(0),从而有f(x)=[1/2f(1)+1/2f(-1)-f(0)]x2+[1/2f(1)-1/2f(-1)]x+f(0),利用这一表示形式可以解下列竞赛题. 相似文献
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邓军民 《中学数学教学参考》2006,(17)
1963年,一道经典的不等式题在莫斯科数学竞赛中应运而生,原题如下:设 a,b,c∈R+,求证:a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2.①这个不等式的证法很多,下面笔者给出两个最简单的证明过程.证法1:要证原不等式成立,只须证 a/(b+c)+1+b/(c+a)+1+c/(a+b)+1≥9/2,即只须证[2(a+b+c)](1/(b+d)+1/(c+a)+1/(a+b))≥9,由柯西不等式易知上式显然成立,所以原不等式 相似文献
16.
同学们在解答比较分式值大小的相关问题时,通常需要对分式进行变形整理,下面给出几种方便快捷的变形策略,供同学们学习参考.一、通分变形例1已知a,b,c,d都是正数,且ab0B.A≥0C.A<0D.A≤0解:A=b(c+d)-d(a+b)(a+b)(c+d)=bc-ad(a+b)(c+d).因为a,b,c,d都是正数,且ab0,a+b>0,ad0,应选A.二、添项变形例2设a>0>b>c,a+b+c=1,M=b+ca,N=a+cb,P=a+bc,则M、N、P之间的大小关系是A.M>N>PB.N>P>MC.P>M>ND.M>P>N解:因为a+b+c=1,所以M=b+ca+1-1=1a-1,N=a+cb+1-1=1b-1,P=a+b+1-1=1… 相似文献
17.
杨忠 《数理天地(初中版)》2008,(12)
例1已知(x/(a-b))=(y/(b-c))=(z/(c-a)),求x+ y+z的值.解设(x/(a-b))-(y/(b-c))-(z/(c-a))=k,则x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a)于是x+y+z =k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0,所以x+y+z=0.以上解法中,并没有具体求出x,y,z关于a,b,c的表达式. 相似文献
18.
王国平 《数理天地(高中版)》2002,(1)
第十二届“希望杯”培训题高一第61题为: 实数a、b满足1/(1-2a)+1/(1-a(b+1))=1,则a+b的值为____. 原解答提供的方法是构造函数f(x)=1/(2x-1)+1/2利用f(x)为奇函数这一特征,求出a+b=-1.这对于中学生来说,不容易想到.本文给出多种容易理解的求法,供同学们参考. 相似文献
19.
耿京娟 《初中生学习(中考新概念)》2005,(10)
在进行分式运算时,若能根据题目特点,巧妙地将一个分式分解成几个分式或一些整式与分式的代数和,往往能使问题化难为易,化繁为简.现举几种常用分解的方法.※一、巧用aa+bb=1a+b1例1已知A、B为整式,且xx22++33xx++21=x+A1+x+B2,求A、B.解:∵x2+3x+1=(x+1)+x(x+2),∴xx22++33xx++21=(x(+x+11)+)(xx(+x+2)2)=x1+2+x+x1,故由题意得:A=x,B=1.※二、巧用a(a1+1)=a1-a+11例2计算a(a1+1)+(a+11)(a+2)+…+(a+5)1(a+6)解:原式=a1-a+11+a+11-a1+2+…+a+15-a+16=a1-a+16=a(a6+6).※三、巧用2ab=ab+ab例3若a+b+c=0,abc≠0,求a(b1+c1-a1)+b(1c+1a-b1)+… 相似文献
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一类三元分式不等式及其证明 总被引：1，自引：1，他引：0
宋庆 《中学数学研究(江西师大)》2008,(10)
本文旨在介绍几个新颖有趣的三元分式不等式,并给出它们的巧妙证明.例1已知a,b,c为满足abc=1的正数,求证:1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)≤1.证明:因bc ca ab≥3(abc)~(1/3)=3,故1-(1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)) =1-(bc ca ab 4(a b c) 12)/((2 a)(2 b)(2 c)) 相似文献