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王启龙 《中学数学教学参考》1998,(4)
一道不等式题的多种证法甘肃省静宁一中王启龙题目：已知ａ,ｂ∈Ｒ,且ａ＋ｂ＋１＝０．求证（ａ－２）２＋（ｂ－３）２≥１８．证明一：综合法∵若ｘ,ｙ∈Ｒ,则有ｘ２＋ｙ２≥（ｘ＋ｙ）２２．当且仅当ｘ＝ｙ时取“＝”．又∵ａ＋ｂ＋１＝０,∴（ａ－２）２＋（ｂ－... 相似文献
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性质 设Ｐ１、Ｐ２是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上两点,Ｐ（ｘｐ,ｙｐ）是弦Ｐ１Ｐ２的中点,直线Ｐ１Ｐ２的斜率为ｋ,则有 ｙｐｘｐ·ｋ＝ｂ２ａ２．证明较简单,此处从略．应用此性质来解决有关双曲线中点弦的问题,有简捷明快、出奇制胜之感．本文拟谈谈该性质的应用．１ 求中点弦例１ 直线ｘ＋ｙ－２＝０被双曲线ｘ２３－ｙ２＝１所截得的弦的中点是．解 设弦的中点为（ｘ０,ｙ０）,则由性质可得ｙ０ｘ０·（－１）＝１３, ∴ ｘ０＋３ｙ０＝０．（１）又点（ｘ０,ｙ０）在直线ｘ＋ｙ－２＝０上,∴ ｘ０＋ｙ０－２＝… 相似文献
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一道代数习题的几种几何解法平凉师范宋灵宇中师《代数与初等函数》第一册２７１页第５题是：求函数ｙ＝ｘ－２＋１６－ｘ的最大值．有以下几种几何解法．解法１函数定义域是〔２，１６〕，利用不等式（ａ＋ｂ２）２≤ａ２＋ｂ２２（当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号），有（ｘ... 相似文献
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本文对下述两个定值问题进行推广：问题如图（１）,图（２）,若ｌ１,ｌ２是过不在椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上任一点Ｍ（ｘ０,ｙ０）互相垂直的两条直线,且ｌ１,ｌ２与椭圆分别交于点Ａ,Ｂ与Ｃ,Ｄ,则（Ⅰ）１ＭＡ·ＭＢ＋１ＭＣ·ＭＤ＝ａ２＋ｂ２ｂ２ｘ０２＋... 相似文献
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１ 问题提出《数学通报》１９９５年第８期问题９６９题：已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,且ａ＋ｂ＋ｃ＝１,求证：３－３＜１－３ａ２＋１－３ｂ２＋１－３ｃ２≤６．已见多文对这类问题上界不等式的解法进行探讨〔１〕～〔４〕,但对其下界却少有研究．我们自然要问：其下界的求解方法可否优化？为便于说明,不妨摘抄原文如下：图１对于函数ｙ＝１－３ｘ２,它的图像是椭圆３ｘ２＋ｙ２＝１（ｘ＞０,ｙ≥０）在第一象限的部分,是凸的．过Ａ（０,１）、Ｂ３３,０的直线方程为ｙ＝１－３ｘ．对于０＜ｘ≤３３,有１－３ｘ２＞１－３ｘ．∴ｕ＝… 相似文献
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本文给出了二元二次多项式ｆ（ｘ,ｙ）＝ａｘ２＋ｃｘｙ＋ｂｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ（１）在整数及实数范围内可分解因式的充要条件,使用所给出的方法,使得二元二次多项式的因式分解规范化,并且简单易行．一、在整数范围内分解定理１ 设（１）是整系数多项式,则它可分解为因式（ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＋ｃ２）的充要条件是（Ⅰ）ａｘ２＋ｄｘ＋ｆ＝（ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２）,ｂｙ２＋ｅｙ＋ｆ＝（ｂ１ｙ＋ｃ１）（ｂ２ｙ＋ｃ２）,ａｘ２＋ｃｘｙ＋ｂｙ２＝（ａ１ｘ＋ｂ１ｙ）（ａ２ｘ＋ｂ２ｙ）．只要比较ａ… 相似文献
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李毅 《中学数学教学参考》1996,(12)
利用均值不等式求函数极小值问题的探索西安教育学院李毅我们知道，利用均值不等式ａ＋ｂ＋ｃ≥３３ａｂｃ求函数的极值，必须满足三个条件：（１）ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋；（２）ａ·ｂ·ｃ＝Ｐ（定值）（或ａ＋ｂ＋ｃ＝Ｓ（定值））；（３）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，函数有极小... 相似文献
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吴章文 《长江工程职业技术学院学报》1999,(2)
文献（１）着重于解决不等式问题,笔者研读后深受启发。一元二次方程ａｘ２十ｂｘ十ｃ＝０的根有下列判断条件：（１）方程有实根,＝ｂ２－４ａｃ ０;（２）方程无实根＝ｂ２-４ａｃ＜０。二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２十ｂｘ＋ｃ（ａ ０）有下列几条性质：性质１若ａ＞?.. 相似文献
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双曲线的一个定值性质及其应用吕佐良（陕西省千阳中学７２１１００）定值性质ＡＢ是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１中不垂直于对称轴的一条弦，Ｍ是ＡＢ的中点，Ｏ是双曲线的中心，则ｋＡＢ·ｋＯＭ＝ｂ２ａ２．证明设点Ａ、Ｂ、Ｍ的坐标分别为（ｘ１，ｙ１）、（ｘ２，ｙ... 相似文献
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在许多参考书上都有这样一个命题：在等差数列｜ａｎ｜中,已知 首项ａｌ＞０,公差ｄ＞０;等比数列｜ｂｎ｜中,公比ｑ＞０,且ａｌ＝ｂ１,ａ_（２ｎ＋１）＝ｂ_(２ｎ＋１）,（ｎ∈Ｎ）,试比较。ａ_（ｎ＋１）与ｂ_（ｎ＋ｌ）的大小。 关于这个问题的解法,各书都是利用等差数列和等比数列性质,化为不等式证明．比较繁琐。其实,如果从函数观点出发．利用线性函数和指数函数图象,问题的结论简直是一目了然。 设线性函数ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａｌ＋ｄｘ． 指数函数 ｙ＝ｇ（ｘ）＝ｂｌｑ～ｘ（ｑ＞０）, 则有ａｎ＝ｆ（ｎ—１）,ｂｎ＝ｇ… 相似文献
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高考数学试题中渗透参数思想,是注重考查学生能力的一个标志,这一思想方法不仅在中学数学中经常应用,而且对研究和解决问题具有普遍意义．本文着重探讨一下合理引参处理问题的优越性．１ 优化解题过程合理地引入参数,往往可以优化解题过程、减少运算量．例１ 设｜ａ｜＜１,｜ｂ｜＜１,｜ｃ｜＜１,求证：ａ＋ｂ＋ｃ＋ａｂｃ１＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＜１．证明 令ｘ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ａｂｃ１＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,则原不等式等价于｜ｘ｜＜１－１＜ｘ＜１（ｘ＋１）（ｘ－１）＜０．∵ ｘ＋１＝（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）１＋ａ… 相似文献
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利用指数函数和对数函数的单调性解题时，通常要根据底数的大小进行分类讨论，其过程较为繁琐．本文介绍一种方法，可以十分方便的解决一些关于指数或对数的不等式问题．我们知道：指数函数ｙ＝ａｘ（ａ＞０且ａ≠１）和对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０且ａ≠１），当０＜ａ＜１时是减函数，当ａ＞１时是增函数．由此可得如下定理：定理１ 在指数函数ｙ＝ａｘ（ａ＞０且ａ≠１）中，对于任意两个实数ｘ１、ｘ２，ａｘ１－ａｘ２与（ａ－１）（ｘ１－ｘ２）的符号相同．定理２ 在对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０且ａ≠１）中，对于任意两个… 相似文献
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由于二次函数的内容既是重点又是难点,因此,在教学中必须加大力度,尤其要加强ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）中ａ、ｂ、ｃ的讨论,以便让学生在数与形的结合上掌握二次函数的性质。 一、结合图象,讨论ａ、ｂ、ｃ的性质 １．关于ａ （１）ａ≠０。因为ａ＝０时,函数成为一次函数。这一个条件很重要,需要时刻注意。 （２）ａ除确定图象的开口方向,函数有最大值或最小值外,还确定了函数的单调性,即ａ＞０当ｘ≥－ｂ２ａ时,ｙ随ｘ的增大而增大;当ｘ＜－ｂ２ａ时,ｙ随ｘ的增大而减小。 ａ＜０时,则得到和以上相反的… 相似文献
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“消元——配方法”巧证一类非齐次不等式 总被引：1，自引：1，他引：0
对于在条件ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ下的一类三元非齐次条件不等式,其证明方法甚多,但都颇具难度,不易掌握．本文提出“消元—配方法”,即通过消元：ｘ＋ｙ＝ｋ－ｚ;ｘｙ≤１４（ｘ＋ｙ）２＝１４（ｋ－ｚ）２,将原不等式化归为只含一个元素ｚ的一元三次不等式,然后利用配方法、比较法统一地予以巧证．该方法规律性强,便于掌握,对证明这类非齐次条件不等式十分有效．现举例说明．１ 证仅含ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ,ｘｙｚ及常数项的不等式例１ 已知ａ,ｂ,ｃ皆非负实数,且ａ＋ｂ＋ｃ＝１,试证：ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ－９４ａｂｃ≤１４．（《数学… 相似文献
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关于同轴相似椭圆的一些性质崔健（兰州二十中７３００７０）所谓同轴相似椭圆是指两椭圆相似且具有相同的对称轴．设两同轴相似椭圆的方程为Ｌ１：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝λ２１，Ｌ２：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝λ２２不妨设λ１＜λ２．性质１若椭圆Ｌ１的面积为Ｓ１，椭圆Ｌ... 相似文献