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1.
刘康宁 《中学数学教学参考》2001,(8)
一 试一、选择题 (本题满分 36分 ,每小题 6分 )1 设ｌｏｇａｂ是一个整数 ,且ｌｏｇａ1ｂ >ｌｏｇａ ｂ >ｌｏｇｂａ2 ,给出下列四个结论 :① 1ｂ >ｂ >ａ2 ②ｌｏｇａｂ ｌｏｇｂａ =0③ 0 <ａ <ｂ <1④ａｂ-1 =0其中正确结论的个数是 ( ) .Ａ .1 Ｂ .2 Ｃ .3 Ｄ .42 如图 ,已知正方体ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1,在空间中过点Ａ1作直线ｌ,使ｌ与直线ＡＣ和ＢＣ1所成的角都等于 6 0°,这样的直线ｌ可以作 ( ) .Ａ .1条 Ｂ .2条Ｃ .3条 Ｄ .4条3 用Ｓｎ 与ａｎ 分别表示区间 [0 ,1 )内不含数字 9的ｎ… 相似文献
2.
等差、等比数列的通项公式ａｎ,前ｎ项和公式Ｓｎ 经转化都可以看作是关于自然数ｎ的函数 .本文用函数观点把有关等差、等比数列问题转化为平面解析几何中直线斜率来解决 ,同时把两部分知识得以综合应用 .我们知道 ,等差数列的通项公式ａｎ =ａ1 (ｎ-1)ｄ可变形为ａｎ =ｄｎ (ａ1-ｄ) ,所以等差数列的项ａｎ 是项数ｎ的一次函数 ,亦即点 (ｎ ,ａｎ)在直线 ｙ=ｋｘ ｂ (ｋ=ｄ ,ｂ =ａ1-ｄ)上 .由此得 :性质 1 若数列 {ａｎ}为等差数列 ,则它的各项对应的点Ａｎ(ｎ ,ａｎ)在同一条直线上 ,ｎ∈Ｎ .对等差数列前ｎ项和公式Ｓｎ =ｎａ1 ｎ(ｎ… 相似文献
3.
一、巧变公式 等差 (比 )数列的通项公式与其首项ａ1有关 ,但实际问题中未必给出ａ1,或者根本不需要考虑ａ1,若还用通项公式求解会造成运算繁琐 ,故将等差 (比 )数列 ａｎ 的通项公式变通为 :ａｎ=ａｍ+(ｎ -ｍ)ｄ(ａｎ =ａｍｑｎ-ｍ) ,其中ｎ ,ｍ∈Ｎ .例 1 等比数列 ａｎ 中 ,ａ2 =- 3,ａ5= 36 ,求ａ8.解 ∵ ａ5=ａ2 ｑ3 ,∴ ｑ3 =ａ5ａ2 =- 12 ,∴ ａ8=ａ5ｑ3 =- 4 32 .例 2 在等差数列ａｎ 中 ,ａｍ +ｎ =ｐ ,ａｍ-ｎ =ｑ,求ａｍ 和ａｎ.解 ∵ ａｍ+ｎ =ａｍ-ｎ+[(ｍ+ｎ) - (ｍ -ｎ) ]ｄ ,即=ｑ+ｎ(ｐ- ｑ)2ｎ=ｐ+ｑ2 .∴… 相似文献
4.
数列问题往往是将已知数列转化为两个基本数列而得到解决 .本文通过实例说明 ,对于一类由递推公式ａｎ+ 1=Ａａｎ+Ｂ给出的数列ａｎ ,如何化为基本数列使问题得到解决 .题 已知数列 ａｎ 中 ,ａ1=2 ,ａｎ+ 1=2ａｎ+3(ｎ∈Ｎ ) ,求通项公式ａｎ.解 在ａｎ+ 1=2ａｎ+3两边加 3,得ａｎ+ 1+3=2ａｎ+6 ,即ａｎ+ 1+3=2 (ａｎ+3) ,变形 ,得 ａｎ+ 1+3ａｎ+3=2 .所以 ,新数列 ａｎ+3是以ａ1+3=5为首项 ,2为公比的等比数列 ,从而ａｎ+3=5 · 2 ｎ-1,即所求数列 ａｎ 的通项公式为ａｎ =5 · 2 ｎ-1- 3(ｎ ∈Ｎ ) .有同学要问 ,你是如何想到两边… 相似文献
5.
文 [1]有这样两个不等式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1,则43 ≤ 1ａ + 1+ 1ｂ + 1<32 ,(1)32 <1ａ2 + 1+ 1ｂ2 + 1≤ 85 . (2 )文 [2 ]建立了如下两个新不等式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1,则32 <1ａ3 + 1+ 1ｂ3 + 1≤ 169,(3 )1ａｎ + 1+ 1ｂｎ + 1>32 . (4 )且在文末提出如下猜想 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1;ｎ∈Ｎ+,ｎ≥ 2 ,则1ａｎ + 1+ 1ｂｎ + 1≤ 2 ｎ+12 ｎ + 1. (5 )研究发现 ,文 [2 ]猜想 (5 )式成立 ,且(4 )、(5 )二式中的条件“ｎ∈Ｎ+,ｎ≥ 2”均可弱化为“ｎ∈Ｒ+,ｎ≥ 2” ,这就是以下两个更好的不等式 :定理 1 若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ… 相似文献
6.
一、填空题 (本大题满分 4 8分 )1 设函数 ｆ(ｘ) =2 -ｘ,ｌｏｇ81ｘ , ｘ∈ ( -∞ ,1 ]ｘ∈ ( 1 , ∞ ) 则满足 ｆ(ｘ) =14 的ｘ值为 .2 设数列 {ａｎ}的通项为ａｎ=2ｎ -7(ｎ∈Ｎ) ,则|ａ1| |ａ2 | … |ａ15| = .3 设Ｐ为双曲线ｘ24 -ｙ2 =1上一动点 ,Ｏ为坐标原点 ,Ｍ为线段ＯＰ的中点 ,则点Ｍ的轨迹方程是 .4 设集合Ａ ={ｘ| 2ｌｇｘ =ｌｇ( 8ｘ -1 5 ) ,ｘ∈Ｒ} ,Ｂ={ｘ|ｃｏｓ ｘ2 >0 ,ｘ∈Ｒ} ,则Ａ∩Ｂ的元素个数为 个 .5 抛物线ｘ2 -4 ｙ -3=0的焦点坐标为 .6 设数列 {ａｎ}是公比… 相似文献
7.
先看下面的一道题 :等差数列 {ａｎ}中 ,公差ｄ是正整数 ,等比数列{ｂｎ}中 ,ｂ1=ａ1,ｂ2 =ａ2 ,现有选项数据 : 2 ; 3; 4 ; 5。当 {ｂｎ}中所有的项都是数列 {ａｎ}中的项时 ,ｄ可以取。 (填上你认为正确的选项 )。(注 :本文中所提到的数列均指无穷数列 )《中学数学教学参考》2 0 0 1年第 1— 2期上给出这道题的答案是选 , 。其实 ,ｄ可否取某一数据取决于能否找到满足条件的等差数列。对于 ,取等差数列ａｎ=2ｎ -1 ;对于 ,取等差数列ａｎ=3ｎ -2 ;对于 ,取等差数列ａｎ=4ｎ -3;对于 ,取等差数列ａｎ=5ｎ -4。分别利用二项式定理可证 … 相似文献
8.
周永良 《中学数学教学参考》2003,(4)
ｗｈｃ57是杨之先生 1 986年提出的一个猜想 :当ｎ为奇数时 ,正ｎ边形任何三条对角线在形内不共点[1] ,杨之先生对这一猜想的解决相当关注 .2 0 0 0年第四届初数会上 ,他作了一个大会报告 ,在“回顾若干ｗｈｃ的研究”一节中 ,回顾了ｗｈｃ57两次失败的证明 ,说明这一猜想虽简明易懂 ,但解决相当困难 ,他感叹 1 5年来竟无人能“动它一根毫毛” ,估计离解决尚远 ,笔者以为 ,此猜想研究的任何进展 ,应该是令人鼓舞的 .引理 1 [1] 在圆内接凸六边形Ａ1…Ａ6中 ,三条对角线Ａ1Ａ4 ,Ａ2 Ａ5,Ａ3Ａ6 共点的充要条件是Ａ1Ａ2 ·Ａ3Ａ4 ·Ａ5Ａ6 =… 相似文献
9.
由于圆具有对称性以及位置关系的相对性 ,使得与圆有关的计算问题往往存在两解的可能性 ,所以在解题时要周密思考 ,以防出现漏解 .一、点到圆的距离问题例 1 已知点Ｐ到⊙Ｏ的最长距离为 6ｃｍ ,最短距离为 2ｃｍ .求⊙Ｏ的半径 .分析 由于点Ｐ与⊙Ｏ的位置关系不确定 ,故应分点Ｐ在⊙Ｏ内 (如图 1)与点Ｐ在⊙Ｏ外 (如图 2 )两种情形讨论 .在图 1中 ,ＰＡ =6,ＰＢ =2 ,∴ ＡＢ =8.故⊙Ｏ的半径ｒ =4(ｃｍ) .在图 2中 ,ＰＡ =6,ＰＢ =2 ,∴ ＡＢ =4.故⊙Ｏ的半径ｒ =2 (ｃｍ) .所以⊙Ｏ的半径为 2ｃｍ或 4ｃｍ .图 1图 2 二、一条弦所… 相似文献
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一、填空题1 如图 1,Ｃ是⊙Ｏ上一点 ,ＡＢ为 10 0° ,则∠ＡＯＢ =度 ,∠ＡＣＢ =度 .(2 0 0 1年江苏省镇江市中考题 )2 已知△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ ,∠ＡＯＢ =13 0° ,则∠Ｃ的度数为 . (2 0 0 1年江苏省南通市中考题 )3 如图 2 ,在半径为 1ｃｍ的圆中 ,弦ＭＮ垂直平分弦ＡＢ ,则ＭＮ =ｃｍ . (2 0 0 1年江西省中考题 )4 Ｄ是半径为 5ｃｍ的⊙Ｏ内的一点 ,且ＯＤ =3ｃｍ ,则在过点Ｄ的所有弦中 ,最小的弦ＡＢ =ｃｍ .(2 0 0 1年广东省广州市中考题 )图 1图 2图 3图 4 5 如图 3 ,Ａ、Ｂ、Ｃ是⊙Ｏ上的点 ,ＯＡ∥ＢＣ ,如果∠Ｂ =2 0°… 相似文献
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一、选择题 (本题满分 2 4分 ,共有 8个小题 ,每小题 3分 )1 下列说法 :( 1) 6 4是无理数 ( 2 )任何数的零次幂都等于 1 ( 3) ( - 2ａ2 ) 2 =- 4ａ2 .( 4)当 2 <ｘ <5时 ,｜2 -ｘ｜ - 9- 6ｘ +ｘ2= 2ｘ - 5.其中正确的有 ( ) Ａ 1个 Ｂ 2个 Ｃ 3个 Ｄ 4个2 如果两圆的半径分别为 4和 6 ,圆心距为 10 ,那么这两圆的位置关系是 ( ) Ａ 内含 Ｂ 外离Ｃ 相交 Ｄ 外切3 如图 , ＡＢＣＤ中 ,对角线ＡＣ上有Ｅ、Ｆ两点 ,且ＡＥ =ＣＦ ,则图中全等三角形的对数是( ) Ａ 3对 Ｂ 4对Ｃ 5对 Ｄ 6对4 已知 :ｂ +ｃａ =… 相似文献
12.
设△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ,ｃ,其内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),则有下面的不等式(证略):ＡＩ2+ＢＩ2+ＣＩ2≥14(ａ2+ｂ2+ｃ2)+3ｒ2(1)文献[1]中还有以下不等式:ＡＩ+ＢＩ+ＣＩ≥6ｒ(2)(1),(2)中等号成立当且仅当ａ=ｂ=ｃ.定理1 设平面闭折线Ａ1Ａ2Ａ3…ＡｎＡ1有内切圆为⊙(Ｉ,ｒ),其边长为|ＡｉＡｉ+1|=ａｉ(ｉ=1,2,…,ｎ,且Ａｎ+1为Ａ1),则有:∑ｎｉ=1ＡｉＩ2≥14∑ｎｉ=1ａ2ｉ+ｎｒ2(3)当且仅当ａ1=ａ2=…=ａｎ时取等号. 证明 设已知闭折线的边ＡｉＡｉ-1,ＡｉＡｉ+1分别与内切圆切于点Ｂｉ-1,Ｂｉ(如图1),设|ＡｉＢｉ-1|=|ＡｉＢｉ|=ｘｉ(ｉ… 相似文献
13.
南京市 1 999年中考数学试题 1 5题是这样一道选图 1择题 :如图 ,两个同心圆 ,大圆的弦ＡＢ与小圆相切于点Ｐ ,大圆的弦ＣＤ经过点Ｐ ,且ＣＤ =1 3,ＰＤ =4 ,则两圆组成的圆环面积是 ( )(Ａ) 1 6π (Ｂ) 36π(Ｃ) 5 2π (Ｄ) 81π解答本题只能采用直接推算的方法 , 相似文献
14.
邓光明 《长江工程职业技术学院学报》2001,18(4):56
提出问题 :已知 {ａｎ}是等差数列 ,其前ｎ项和为Ｓｎ=3ｎ2 +5ｎ ,求其通项ａｎ。分析问题 :这是数列部分的一道习题 ,学生见到此题首先想到的就是等差数列的通项公式与求和公式 ,但因其首项和公差未知 ,难以求出。其实 ,解此题关键是要理解数列前ｎ项和的概念 ,由Ｓｎ=ａ1+ａ2 +… +ａｎ 的概念 ,前 1项的和就是ａ1,前两项之和为ａ1+ａ2 ,于是得以下解法。解决问题 :方法 1:Ｓ1=ａ1=3+5 =8,Ｓ2 =ａ1+ａ2 =2 2 ,于是ａ2 =ｓ2 -ａ1=14,ｄ =ａ2 -ａ1=6 ,故由等差数列的通项公式得 :ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄ =8+(ｎ - 1) 6 =6ｎ +2。方法 2 :由前ｎ… 相似文献
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一、填空题1 若半径为 5和 4的两个圆相交 ,且公共弦长为 6 ,则它们的圆心距ｄ等于 . (山西省 )2 已知圆Ｏ1 和圆Ｏ2 外切 ,半径分别为 1ｃｍ和 3ｃｍ ,那么半径为 5ｃｍ且与圆Ｏ1 、圆Ｏ2 都相切的圆一共可以作出个 . (上海市 )3 以Ｏ为圆心的两个同心圆的半径分别是 9ｃｍ和 5ｃｍ ,⊙Ｏ′与这两个圆都相切 ,则⊙Ｏ′的半径是 .(安徽省 )4 在以Ｏ为圆心 ,直径分别为 10ｃｍ和 16ｃｍ的两个同心圆中有点Ｐ ,ＯＰ =4ｃｍ ,过点Ｐ分别作大圆的弦ＡＢ和小圆的弦ＣＤ ,则ＡＢ的最大值和ＣＤ的最小值的和为ｃｍ . (湖北省黄冈市 )5 如图 1,⊙… 相似文献
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一、填空题 (本大题共有 12题 ,每题 4分 ,满分48分 ,只要求直接填写结果 ) .1.函数ｙ=ｓｉｎｘｃｏｓ ｘ + π4+ｃｏｓｘｓｉｎｘ + π4的最小正周期Ｔ =.2 .若ｘ =π3 是方程 2ｃｏｓ(ｘ +α) =1的解 ,其中α∈ (0 ,2π) ,则α =.3 .在等差数列 ａｎ 中 ,ａ5=3 ,ａ6 =-2 ,则ａ4+ａ5+… +ａ1 0 =.4.(文 )已知定点Ａ(0 ,1) ,点Ｂ在直线ｘ+ｙ=0上运动 ,当线段ＡＢ最短时 ,点Ｂ的坐标是 . (理 )在极坐标系中 ,定点Ａ 1,π2 ,点Ｂ在直线 ρｃｏｓθ+ ρｓｉｎθ =0上运动 ,当线段ＡＢ最短时 ,点Ｂ的极坐标是 .5 .在正四棱锥Ｐ-ＡＢＣＤ中 ,若… 相似文献
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一、单项选择题 (本题共 6小题 ,每小题 5分 ,满分 3 0分 )1 设ａ <ｂ <0 ,ａ2 +ｂ2 =4ａｂ ,则ａ +ｂａ -ｂ的值为 ( ) .(Ａ) 3 (Ｂ) 6 (Ｃ) 2 (Ｄ) 32 已知ａ =1 999ｘ +2 0 0 0 ,ｂ =1 999ｘ+2 0 0 1 ,ｃ=1 999ｘ +2 0 0 2 ,则多项式ａ2 +ｂ2 +ｃ2 -ａｂ-ｂｃ-ｃａ的值为 ( ) .(Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 2 (Ｄ) 3图 13 如图 1 ,点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ的中点 ,连结ＡＦ、ＣＥ ,设ＡＦ、ＣＥ交于点Ｇ ,则Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ 等于 ( ) .(Ａ) 56 (Ｂ) 45 (Ｃ… 相似文献
18.
《中学数学杂志》2003,(3)
一、选择题1.Ｂ 2 .Ｃ (新 )Ｂ 3.Ｄ 4 .Ａ 5.Ｂ 6 .Ｄ7.Ｃ 8.Ｂ 9.Ａ 10 .Ａ 11.Ｄ 12 .Ｂ二、填空题13.ｘ - 2 ｙ +3=0 14 .ｘ =2 15.16 13.(新 ) 12 0 16 .ａｎ =2 +( - 1) ｎ 2ｎ 或ａｎ =1 ｎ为奇数3 ｎ为偶数 或ａ =2 +ｓｉｎ2ｎ +12 π三、解答题17.解 :ｔａｎ2θ =2ｔａｎθ1-ｔａｎ2 θ=- 2 2 ,解得ｔａｎθ =-22 或ｔａｎθ =2因为 2π <2θ <3π ,所以π <θ <3π2 则ｔａｎθ >0 ,所以ｔａｎθ =- 22 (舍去 ) ,所以ｔａｎθ =2 .原式 =ｃｏｓθ-ｓｉｎθｃｏｓθ +ｓｉｎθ=1-ｔａｎθ1+ｔ… 相似文献
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在处理有关两圆相交、相切等问题时 ,常常要添加适当的辅助线 ,将较为分散的条件和图形相对集中 ,从而使问题能简捷获解 .这时 ,公切线或公共弦是重要的辅助线 ,它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角等得以沟通 .一、当两圆相交时 ,通常需要作出公共弦例 1 如图 1,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 相交于Ａ、Ｂ两点 ,过Ｂ点作⊙Ｏ1 的切线交⊙Ｏ2 于Ｄ点 ,连结ＤＡ并延长 ,与⊙Ｏ1 相交于Ｃ点 ,连结ＢＣ ,过Ａ点作ＡＥ∥ＢＣ ,与⊙Ｏ2 相交于Ｅ点 ,与ＢＤ相交于Ｆ点 .(1)求证 :ＥＦ·ＢＣ =ＤＥ·ＡＣ .(2 )若ＡＤ =3 ,ＡＣ =1,ＡＦ =3 ,求ＥＦ… 相似文献
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第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1.ａ、ｂ是异面直线 ,直线ｃ与ａ所成的角等于ｃ与ｂ所成的角 .则这样的直线ｃ有 ( ) .(Ａ) 1条 (Ｂ) 2条 (Ｃ) 3条 (Ｄ)无数条2 .若△ＡＢＣ的三边长ａ、ｂ、ｃ满足ａ2 -ａ - 2ｂ - 2ｃ =0且ａ +2ｂ - 2ｃ +3=0 ,则它的最大内角的度数是 ( ) .(Ａ) 15 0° (Ｂ) 12 0° (Ｃ) 90° (Ｄ) 6 0°3.对任意给定的自然数ｎ ,ｎ6+3ａ为正整数的立方 ,ａ为正整数 .则这样的ａ( ) .(Ａ)有无数个 (Ｂ)只有有限个(Ｃ)只有 1个 (Ｄ)不存在4 .在复平面上 ,曲线ｚ4+ｚ =1与圆 … 相似文献