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已知点Ｐ(ｘ1,ｙ1)不在直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ｂ≠ 0 )上 ,若Ｐ在ｌ的上方 ,则Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ)>0 ;若Ｐ在ｌ的下方 ,则Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) <0 .1 证明 设Ｐ0 (ｘ1,ｙ0 )为ｌ上的一点 ,则Ａｘ1 Ｂｙ0 Ｃ=0 ,所以Ｂｙ0 =- (Ａｘ1 Ｃ) ,有Ｂ2 ｙ0 =-Ｂ(Ａｘ1 Ｃ) . 若Ｐ在ｌ的上方 ,则ｙ1>ｙ0 ,∴Ｂ2 ｙ1>Ｂ2 ｙ0 ,即 Ｂ2 ｙ1>-Ｂ(Ａｘ1 Ｃ) ,得Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) >0 ; 若Ｐ在ｌ的下方 ,则 ｙ1<ｙ0 ,同上可得Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) <0 .2 应用例 1 已知直线ｌ :ａｘ ｙ 2 =0 ,点 Ｐ( - 2 ,1) ,Ｑ( 3,2 ) ,且Ｐ、Ｑ位于直… 相似文献
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在平面解析几何中 ,关于平行直线有如下结论 :设有两条平行直线ｌ1:Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=0和ｌ2 :Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 =0 ,则到这两条直线距离相等的直线方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0 .证明 设Ｐ(ｘ ,ｙ)是所求直线上任一点 ,由题设以及点到直线的距离公式 ,有｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ1｜Ａ2 Ｂ2 =｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ｜Ａ2 Ｂ2 . 因为ｌ1与ｌ2 在点Ｐ的两侧 ,所以有Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=- (Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ) ,即 Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0为所求的直线方程 .运用该结论可以得到一种求直线对称点的新方法 .例 已知Ａ(- 2 ,4 ) ,求它关于直线ｌ:2ｘ- ｙ -1=0的对… 相似文献
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在学习解析几何时,常常会遇到直线与线段相交时求参数范围的问题,这里先介绍一个简单结论,从而简捷地解决此类问题.定理 若直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=0(Ａ2 Ｂ2≠0)与Ｐ1(ｘ1,ｙ1),Ｐ2(ｘ2,ｙ2)为端点的线段相交,则(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ)(Ａｘ2 Ｂｙ2 Ｃ)≤0.证 设直线ｌ与线段Ｐ1Ｐ2相交于点Ｐ(ｘ,ｙ),不妨设Ｐ不重合于Ｐ2,点Ｐ内分线段Ｐ1Ｐ2—的比为λ,则λ≥0,由定比分点坐标公式,得ｘ=ｘ1 λｘ21 λ, ｙ=ｙ1 λｙ21 λ.∵ 点Ｐ(ｘ,ｙ)在直线ｌ上,∴ Ａ·ｘ1 λｘ21 λ Ｂ·ｙ1 λｙ21 λ Ｃ=0,整理,得 Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ=-λ(Ａｘ2 Ｂｙ2 Ｃ).… 相似文献
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近年高考中频频出现平面解析几何中的对称问题 ,由于此类问题在现行高中《平面解析几何》中讲得较少 ,令许多考生不知从何处着手 .现将近年来高考中的平面解析几何对称试题分类解答如下 ,以利于同学们提高解题速度 ,达到举一反三的作用 .一、点关于直线对称解此类题型先利用中点坐标公式 ,设Ｐ(ｘ ,ｙ)关于直线ｌ :Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0的对称点为Ｑ(ｍ ,ｎ) ,则ＰＱ的中点在ｌ上 ,坐标为 (ｘ ｍ2 ,ｙ ｎ2 ) ,则Ａ×ｘ ｍ2 Ｂ× ｙ ｎ2 Ｃ =0 ,再根据直线ＰＱ ⊥ｌ ,得ｙ-ｎｘ -ｍ ×(-ＡＢ) =-1,进行求解 .例 1 (’91全国 )点Ｐ(2 ,5 )关… 相似文献
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现行高中《平面解析几何》课本中关于“点到直线的距离公式”的推导是教学中的一个难点,如何突破这一教学难点?文〔1〕介绍了优于课本推导的一种简洁推导法,读后受益匪浅.受此启发,笔者又找到了优于课本推导的一种推导新法,并且还顺便得到了点Ｐ(ｘ0,ｙ0)关于直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=0的对称点的坐标公式,现简介如下,供大家参考.设Ｍ(ｘ,ｙ)为直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=0上的任意一点,由点到直线的距离的定义易知,点Ｐ(ｘ0,ｙ0)到直线ｌ的距离ｄ=|ＰＭ|ｍｉｎ,从而求点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ就转化为求目标函数:｜ＰＭ｜=(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2(1)在约束… 相似文献
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一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1 .若点Ｐ(ｍ ,3-ｍ)在第二象限 ,则ｍ满足下列条件中的 ( ) .(Ａ) 0 <ｍ <3 (Ｂ)ｍ <0(Ｃ)ｍ <0或ｍ >3(Ｄ)ｍ >32 .在平面直角坐标系中 ,若一点的横坐标与纵坐标互为相反数 ,则这点一定不在( ) . (Ａ)直线ｙ =ｘ上 (Ｂ)抛物线ｙ =ｘ2 上 (Ｃ)直线ｙ =-ｘ上 (Ｄ)双曲线ｙ =1ｘ上3.若ａ +ｂ +ｃ≠ 0 ,且 ａｂ +ｃ=ｂｃ +ａ=ｃａ +ｂ=ｋ ,则直线ｙ =ｋｘ +ｋ一定不经过( ) .(Ａ)第一象限 (Ｂ)第二象限(Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限4 .若二次函数ｙ =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的函数值不可… 相似文献
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直线划分平面区域的应用西安铁路成人中专谢日勤陕建第一子弟中学吴明霞定理在平面直角坐标系中，直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（不妨设Ａ＞０，Ｂ＞０为直线ｌ；Ａ＞０，Ｂ＜０为直线ｌ′）上的点Ｐ（ｘ０，ｙ０）使得Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ＝０；直线上方的点Ｐ（ｘ０，ｙ０），... 相似文献
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我们知道圆ｘ2 + ｙ2 =Ｒ2 在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为ｘ0 ｘ+ ｙ0 ｙ=Ｒ2 如果对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ ≠ 0 )作如下变形 :Ｒ2 Ａ-ＣＲ2 ｘ +Ｒ2 Ｂ-ＣＲ2 ｙ =1.若点Ｐ(- Ｒ2 ＡＣ ,- Ｒ2 ＢＣ )满足圆的方程 ,则直线与圆相切于点Ｐ .椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为 ｘ0 ｘａ2 + ｙ0 ｙｂ2 =1,对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ≠ 0 )作如下变形 : ａ2 Ａ-Ｃａ2 ｘ+ｂ2 Ｂ Ｃｂ2 ｙ=1.若点Ｐ(- ａ2 ＡＣ , ｂ2 ＢＣ )满足椭圆方程 ,则直线与椭圆相切于点点Ｐ .双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2… 相似文献
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杨六省 《中学数学教学参考》2002,(4)
设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为任一点 ,直线ｌ的方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ａ2 Ｂ2 ≠ 0 ) ,我们来求Ｐ到ｌ的距离ｄ .设Ｑ(ｘ1,ｙ1)为Ｐ在ｌ上的射影 ,当ＡＢ≠ 0 ,且Ｐ不在ｌ上时 ,有ｄ =|ＰＱ|=(ｘ1-ｘ0 ) 2 (ｙ1-ｙ0 ) 2=(ｘ1-ｘ0 ) 2 [1 (ｙ1-ｙ0ｘ1-ｘ0) 2 ]=(ｘ1-ｘ0 ) 2 (1 Ｂ2 相似文献
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20 0 1年广东省高考数学第 2 1题 :已知椭圆 :ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .此题对一般性结论仍成立 ,还可以拓广到其它圆锥曲线 .拓广 1 已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 (ａ >ｂ>0 ) . 图 1证明 如图 1,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 .… 相似文献
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柳发林 《中学数学教学参考》2001,(4)
人教版高级中学课本《平面解析几何》全一册 (必修 )第一章第 1 .1 0节“点到直线的距离”在开头这样写道 :“已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )和直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 ,怎样求点Ｐ到直线ｌ的距离呢 ?根据定义 ,点Ｐ到直线ｌ的距离是点Ｐ到直线ｌ的垂线段的长 .设点Ｐ到直线ｌ的垂线为ｌ′,垂足为Ｑ .由ｌ⊥ｌ′可知ｌ′的斜率为 ＢＡ(Ａ≠ 0 ) ,根据点斜式可写出ｌ′的方程 ,并由ｌ与ｌ′的方程求出点Ｑ的坐标 ;由此可根据两点距离公式求出 |ＰＱ|,这就是点Ｐ到直线ｌ的距离 .这个方法虽然思路自然 ,但是运算很繁 .”接着一转笔锋 ,用平面几何和三… 相似文献
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闫敏伦 《连云港师范高等专科学校学报》2000,(3)
在平面仿射变换里 ,对平面内任一点Ｍ(ｘ ,ｙ)施行变换ｘ′ =ｘｙ′ =μｙ ( μ >0 ,且 μ≠ 1) ( 1)把点Ｍ压缩到另一点Ｍ′(ｘ′ ,ｙ′)的仿射变换 ,称之为压缩变换 ,常数 μ称为压缩系数。一、作为仿射变换特例 ,压缩变换除了具有仿射变换的性质以外 ,还具有如下性质 :性质 1:若直线ｌ的斜率为ｋ ,经压缩变换ｘ′ =ｘｙ′ =μｙ( μ >0 ,且 μ≠ 1)后 ,它的象直线ｌ′的斜率ｋ′ =μｋ。证明 :设Ａ(ｘ1,ｙ1)、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )是直线ｌ上两点 ,Ａ′(ｘ′1,ｙ′1)、Ｂ′(ｘ′2 ,ｙ′2 )及ｌ′分别是Ａ、Ｂ及ｌ的象。则ｘ′1=ｘ1,ｙ′… 相似文献
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一、选择题1 θ∈ ( 0 ,π2 ) ,直线ｘ +ｙｔａｎθ +1=0的倾斜角是 ( )(Ａ)θ (Ｂ) π2 -θ(Ｃ) π2 +θ (Ｄ)π -θ2 设点Ｐ(ａ ,3)在直线ｆ(ｘ ,ｙ) =0上的射影是θ( 1,ａ) ,则ｆ(ｘ ,ｙ)可以是 ( )(Ａ) 2ｘ - ｙ +3 (Ｂ)ｘ +2 ｙ - 3(Ｃ) 2ｘ - ｙ +7 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 73 直线ｌ:ａｘ +ｙ +2 =0与线段Ｐ1Ｐ2 总有交点 ,若Ｐ1( - 2 ,1) ,Ｐ2 ( 3,2 )则实数ａ的取值范围是 ( )(Ａ)ａ≥ 32 (Ｂ)ａ≤ - 43(Ｃ)ａ≤ - 43或ａ≥ 32(Ｄ) - 32 ≤ａ≤ 434 两条直线Ａ1ｘ +Ｂ1ｙ +Ｃ1=0 ,Ａ2 ｘ +Ｂ2 ｙ+Ｃ2 =0… 相似文献
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邵剑波 《中学数学教学参考》2002,(4)
柯西不等式法 Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为定点 ,Ｑ(ｘ ,ｙ)为直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ａ2 Ｂ2 ≠ 0 )上的动点 ,则Ａ(ｘ -ｘ0 ) Ｂ(ｙ -ｙ0 ) =-(Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ) .由柯西不等式 ,则(Ａ2 Ｂ2 ) |ＰＱ|2 =(Ａ2 Ｂ2 ) [(ｘ -ｘ0 ) 2 (ｙ -ｙ0 ) 2 ]≥ [Ａ(ｘ -ｘ0 ) Ｂ(ｙ-ｙ0 ) ]2 相似文献
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在解析几何中 ,求与二次曲线中点弦有关的系列问题 ,很多同学都是通过直线和二次曲线组成的方程组来进行讨论 ,往往都很繁 .本文通过介绍两个定理 ,提供一个极其简单的方法来求解这一类问题 .定理 1 已知曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0为二次曲线 ,Ｑ为直角坐标平面内一点 ,其坐标为 (ｍ ,ｎ) .则恒有 :(1)曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0和曲线Ｃ′ :Ｆ(2ｍ-ｘ ,2ｎ-ｙ) =0关于Ｑ点对称 ;(2 )直线ｌ :Ｆ(ｘ ,ｙ) -Ｆ(2ｍ-ｘ ,2ｎ - ｙ) =0为过Ｑ点的一条直线 ;(3)若直线ｌ和曲线Ｃ相交于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则直线ｌ和曲线Ｃ必有另一公共点Ｐ′(2ｍ -ｘ0 ,2ｎ… 相似文献
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一、选择题 :(本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共 60分 )1 .过点 ( 3 ,-4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 ( ) (Ａ)ｘ+ｙ +1 =0 (Ｂ) 4ｘ -3 ｙ=0 (Ｃ) 4ｘ+3 ｙ =0 (Ｄ) 4ｘ+3 ｙ=0或ｘ +ｙ+1 =02 .已知直线 2ｘ +ｙ-2 =0和ｍｘ -ｙ+1 =0的夹角为 π4,那么ｍ的值为 ( ) (Ａ) -13 或 -3 (Ｂ) 13 或 3 (Ｃ) -13 或 3 (Ｄ) 13 或 -33 .点Ｐ1 (ａ ,ｂ)关于直线ｘ+ｙ=0的对称点是Ｐ2 ,Ｐ2 关于原点的对称点是Ｐ3,则｜Ｐ1 Ｐ3｜=( ) (Ａ) 2 (ａ-ｂ) 2 (Ｂ) 2 ｜ａ +ｂ｜ (Ｃ) 2 ｜ａ -ｂ… 相似文献
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全日制普通高级中学教科书 (实验修订本·必修 )数学第一册 (下 )第 1 0 7页例 5 :如图 1 ,ＯＡ、ＯＢ不共线 ,ＡＰ =ｔＡＢ(ｔ∈Ｒ) ,用ＯＡ、ＯＢ表示ＯＰ .这道看似不起眼的例题 ,隐含了如下一个重要结论 :若非零向量ＯＡ、ＯＢ不共线 ,且ＯＰ =ｘＯＡ+ｙＯＢ(ｘ∈Ｒ ,ｙ∈Ｒ) ,则Ａ、Ｂ、Ｐ三点共线 (或称点Ｐ在直线ＡＢ上 )的充要条件是ｘ+ｙ=1 .证明 (1 )充分性 ,若ｘ+ｙ =1 ,且 ＯＰ =ｘＯＡ+ｙＯＢ(ｘ ∈Ｒ ,ｙ ∈Ｒ) ,则ＯＰ =ｘＯＡ+(1 -ｘ) ＯＢ ,即ＯＰ- ＯＢ =ｘ(ＯＡ- ＯＢ) ,ＢＰ =ｘＢＡ ,ＢＰ与ＢＡ共线 .又ＢＰ与ＢＡ有… 相似文献
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二维柯西不等式 :设ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,则有(ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 ｄ2 )≥ (ａｃ ｂｄ) 2 .当且仅当 ａｃ =ｂｄ 时 ,不等式取等号 .1 推证几个重要结论命题 1 椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0有公共点的充要条件是Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ≥Ｃ2 .证明 由柯西不等式得(Ａｘ Ｂｙ) 2 =Ａａ· ｘａ Ｂｂ· ｙｂ2≤Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 .若 (ｘ0 ,ｙ0 )是已知椭圆和直线的公共点 ,则满足ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1、Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ =0 ,则上述不等式左边为Ｃ2 ,右边为Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ,充分性得证 .若 (ｘ ,ｙ)是直线上… 相似文献
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下面是 2 0 0 2年的一道高考题 :设Ａ、Ｂ是双曲线ｘ2 -ｙ22 =1上的两点 ,点Ｎ( 1 ,2 )是线段ＡＢ的中点 .( 1 )求直线ＡＢ的方程 ;( 2 )如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线交于Ｃ、Ｄ两点 ,那么Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 4点是否共圆 ?第 ( 1 )小题 .应用作差法和中点坐标公式易求得直线ＡＢ的斜率ｋ=1 ,方程为ｘ -ｙ+1 =0 .第 ( 2 )小题 ,解法很多 ,为简化解题过程 ,可绕过求交点 ,直接建立圆的方程 ,证明 4点在这个圆上 .∵ＣＤ ⊥ＡＢ ,且过点Ｎ( 1 ,2 ) ,∴ＣＤ的方程为ｘ +ｙ-3 =0把直线ＡＢ、ＣＤ看成二次曲线 (ｘ-ｙ+1 ) (ｘ +ｙ-3 ) =0 ,这样… 相似文献