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1.
正引言文[1]—[4]研究了如下几个有意思的不等式:问题1已知a,b,c为正实数,求证:(a2+b2)2≥(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).问题2已知a,b,c为正实数,求证:(ab)2≥1/4(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a))c+a-b).问题3若a,b,c为正实数,且满足a+b+c=3,求证:(3/a-2)(3/b-2)(3/c-2)≤1. 相似文献
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卫福山 《河北理科教学研究》2013,(3)
文[1]-[4]研究了如下几个有意思的不等式:
问题1:已知a,b,c为正实数,求证:(a2+ b2)2≥(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
问题2:已知a,b,c为正实数,求证:(ab)2≥1/4(a+b+c)(a+ b-c)(b+c-a)(c+a-b)
问题3:若a,b,c为正实数,且满足a+b+c=3,求证:(3/a-2)(3/b-2)(3/c-2)≤1. 相似文献
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诸如下面题目:(均选自六年制重点中学高中代数第二册) 1.定理:如果a、b∈R,那末a~2 b~2≥2ab.(当且仅当a=b时取等号) 2.已知a、b、c是不全相等的正实数。求证:a(b~2 c~2) b(c~2 a~2) c(a~2 b~2)>6abc. 3.已知x、y、z∈R~ .求证: (x y z)~3≥27xyz. 相似文献
4.
学生做数学题应重“质”,而非重“量”。教师可根据教材内容,学生的学习层次,由易到难,精选不同的题目,编成题组。学生在做这些题组时,知识循序渐进,达到了事半功倍的学习效果。一、巩固性题组(为重现、熟悉基本知识、方法而设置)1.当x>0时,求证x+≥8;2.求函数y=3x2+的最小值;3.已知x>0,求证2-3x-的最大值为2-43√;4.已知0<θ<,求证:tanθ+cotθ的最小值是2;16xπ24x12x25.求证lgx+logx10≥2(x>1);6.已知x,y,z∈R+,求证++≥3。二、发展型题组(为提高应用知识、方法的能力而设置)1.已知a,b,c∈R+,求证:(1)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc;(2)a+b+c≥a… 相似文献
5.
<数学通报>2005年8月号1570题为: 已知a、b、c∈R ,求证: a5/b3 a5/c3 c5/a3≥a4/b2 b4/c2 c4/a2≥a3/b b3/c c3/a≥a2 62 c2≥ab bc ca. 由于该题具有很好的轮换对称性,给人一种美的享受,因而笔者尝试推广. 相似文献
6.
李益强 《中学数学研究(江西师大)》2003,(1):20-20
题1:设a>1,b>1,求证:a2/b-1+b2/a-1≥8.(第26届独联体数学奥林匹克竞赛题) 题2:已知实数a>1,b>1,c>1.求证:a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥9(√3)/2.当且仅当a=b=c时,等号成立(<数学通报>2000年第11期数学问题解答1284). 相似文献
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《湖南教育》2007,(3):45-46
79.已知a、b、c∈R ,且abc=8,求aabbcc的最小值.解:因为函数(f x)=lnx在(0, ∞)上是增函数,所以对于任意a,b∈R ,恒有(a-b)[f(a)-f(b)]≥0成立,即a ln a b ln b≥a ln b b ln a.①同理,b ln b c ln c≥b ln c c ln b.②c ln c a ln a≥c ln a a ln c.③由① ② ③得2ln(aabbcc)≥(b c)ln a (a c)ln b (a b)ln c.所以有3ln(aabbcc)≥(a b c)ln(abc),即aabbcc≥(abc)a b c3.又因为abc=8,所以a b c≥3#3abc=6,即aabbcc≥82=64.当且仅当a=b=c=2时取等号,所以aabbcc的最小值为64.80.设a,b>0,求证:当λ>2时,有!a aλb$ !b bλa$≤λ$!λ2-1.证明:… 相似文献
9.
罗增儒 《中学数学教学参考》2003,(6)
我们在文 [1 ]的案例 3中 ,谈了数形结合的双向沟通 ,顺便对题目 (文 [1 ]例 3、4、5 ,此处统一为例 1 )例 1 已知a >0 ,b >0 ,c >0 ,求证 :( 1 )a2 +b2 +ab +b2 +c2 +bc>a2 +c2 +ac;( 2 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc ;≥a2 +c2 +ac,( 3 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc>a2 +c2 -ac.从特殊到一般作出了推广 :a2 +b2 +k1ab +b2 +c2 +k2 bc≥a2 +c2 +k3ac .①其中 |ki|<2 ,i=1 ,2 ,3 .这对b +k1a≥ 0且b +k2 c≥0 (特别地k1≥ 0 ,k2 ≥ 0 )时 ,结论是显然的 ,有左边≥a +c=a2 +c2 +2ac >右边 .但当k1、k2 中出现负数呢 ?文 [2 ]指出 ,推广式①并非永远… 相似文献
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略谈一个不等式的应用 总被引：1，自引：0，他引：1
设 x,y为正实数 ,则由均值不等式得(x y) 3=(12 x 12 x y) 3≥ (3·314x2 y) 3=2 74x2 y.∴ (x y) 3 ≥ 2 74x2 y(* ) ,当且仅当 y=12 x时不等式取等号 .不等式 (* )形式简单 ,但在不等式证明中往往有独到的作用 ,下面举例说明之 .例 1 已知 a,b,c∈R .求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 814.(《中等数学》2 0 0 0年第 4期数学奥林匹克问题 91 )证明 由 (* )式得(a 1 ) 3≥ 2 74a,(b 1 ) 3≥ 2 74b,(c 1 ) 3≥ 2 74c,∴ (a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 2 74(ab bc ca)≥ 2 74· 3·3ab· bc· ca=814.例 2 已知实数 a>1 ,b… 相似文献
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用恒等式解题,大体上有两个途径:一是应用已知的基本恒等式求解;二是根据问题的特点推证出一个适用的恒等式,这通常需要相当高的运算技巧和能力.例1设a、b、c都是正数,满足条件(a2 b2 c2)2>2(a4 b4 c4).求证:a、b、c一定是某个三角形的三边长.证明先把条件改成2a2b2 2b2c2 2c2a2-a4-b4-c4>0.应用恒等式(这是一个较常见的因式分解)2(a2b2 b2c2 c2a2)-a4-b4-c4=(a b c)(a b-c)(b c-a)(c a-b),得(a b c)(a b-c)(b c-a)(c a-b)>0,即(a b-c)(b c-a)(c a-b)>0.若上式左边有两个因式为负(另一个因式为正),例如,若a b-c<0,b c-a<0,两式相加得b<0,这… 相似文献
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不等式a b≥2(ab)~(1/2)是中学数学中一个用得很广的基本不等式,但在应用中常见一些错误,现举几例. 一、忽视了a b≥2(ab)~(1/2)成立条件而导致的错误例1 设a、b、c为正数,求证(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 错误证法: ∵a b c=(a b-c) (b c-a) (c a-b)>0 ∴(a b-c) (b c-a) (c a-b)≥3((a b-c)(b c-a)(c a-b))~(1/2) 即(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 分析:虽a>0,b>0,c>0,但a b-c,b c-a,c a-b不一定都大于0,而x y z≥3(xyz)~(1/2)的中x、y、z必须都大于0. 相似文献
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79.已知a、b、c∈R ,且abc=8,求aabbcc的最小值.(湖南省武冈市十中422400邓集春提供)80.设a,b>0,求证:当λ>2,有$a aλb, $b bλa,≤λ,$λ2-1.(浙江省湖州市双林中学313012李建潮提供)81.若a、b、c、d为正实数,且a3 b3 c3 d3=4,能否确定23(ab bc cd da ac bd)与abc bcd cda dab的大小,若能,请写出大小关系并证明,若不能,请举出反例.(湖南长沙市十五中410007厉倩提供)82.已知a,b,c为正数,求证:b ac c ba a cb≥32 (a-b)22(a b c)2.(江西南昌大学附属中学330047宋庆提供)83.设AD、BE、CF是△ABC的内角平分线,且∠BAC=120°,连接DE、DF… 相似文献
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一个不等式的简证及推广 总被引：1，自引：1，他引：0
问题 已知a,b,c∈R~ ,且abc≤1,求证: (a b)/c (b c)/a (c a)/b≥2(a b c)。 (《数学通报》1999年1月号问题1171。) 相似文献
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《数理化学习(初中版)》2002,(12)
一元二次方程的判别式巧妙地应用于非二次方程问题,别致新颖,方便简捷. 一、证明等式例1 实数a、b、c满足a=6-b,C2=ab-9,求证:a=b. 证明:由已知条件得a b=6,ab=c2 9,从而a,b是方程x2-6x C2 9=0的两根. ∵Δ=(-6)2-4(c2十9)=-4c2≥0, ∴C=0,即△=0. ∴a=b. 二、证明不等式 相似文献
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基本不等式a2+b2≥2ab在不等式的证明中起重要作用,但有些不等式直接用它去证明比较困难,而应用该不等式的变形去证明却比较方便. 变形1a2+b2≥2ab a2+b2≥1/2(a+b)2. 例 1 已知 a,b,c∈R+,且a+b+c=5,a2+b2+c2=9,试证明:1≤a、b、c≤7/3. 证明:由已知 a+b=5-c,a2+b2≥9-c2,∵a2+b2≥1/2(a+b)2,∴9-c2≥1/2(5-c)2,∴3c2-10c+7≤0,∴1≤c≤7/3,同理1≤a≤7/3,1≤b≤7/3. 例2 设a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1/2)2+(b+1/b)2≥25/2. 相似文献
18.
高大营 《中学数学研究(江西师大)》2002,(8):28-29
题目已知实数a＞1,b＞1, c＞1.求证: a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥j9√3/2. (1)当且仅当a=b=c=√3时,(1)式等号成立. 相似文献
19.
杨志明 《中学数学研究(江西师大)》2013,(10):22-24
2013年OlympicRevenge 第3题为:
已知a,b,c,d是满足ab+ ac+ad+ bc+ bd+ cd
=6的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1+1/d2+1≥2.(1)
文[1]退化思考得到
命题4 已知a,b,c是满足ab+bc+ca =3的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1≥3/2.(2)
在(2)式中令a=√tanA/2,b=√3tanB/2,c=√3tanC/2,则命题4可变为: 相似文献