焦点三角形面积的妙用     

玉炳图 《数学教学通讯》1996,(2)

以圆锥曲线上一点与其两焦点为顶点的三角形叫做焦点三角形。它们有如下的面积公式: P为椭圆(x~2)/(a~2) (y~2/b~2)=1(a>b>0)上任一点,F_1、F_2是两焦点,∠F_1PF_2=θ,则 S_(△PF_1F_2)=b~2tgθ/2 (1) P为双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2/b~2)=1上任一点,F_1、F_2是两焦点,∠F_1PF_2=θ,则  相似文献   

椭圆双曲线焦点三角形的若干对偶性质——兼证法探微     

李建潮 《中学数学研究(江西师大)》2006,(9):13-15

定义以椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)(1)的两个焦点 F_1(-c,0)、F_2(c,0)(c=(a~2-b~2)~(1/2))及椭圆上任意一点 P(但不是长轴顶点)为顶点的△F_1PF_2,叫做椭圆的焦点三角形;以双曲线 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)(2)的两个焦点F_1(-c,0)、F_2(c,0)(c=(a~2 b~2)~(1/2))及双曲线上任意一点 P(但不是双曲线顶点)为顶点的△F_1PF_2,叫做双曲线的焦点三角形(由对称性,本文姑且设 P 在双曲线的右支上).  相似文献   

双曲线热点问题直击     

张斌 《数理化学习(高中版)》2011,(22):3-5

一、利用双曲线的定义求双曲线方程例1设双曲线与椭圆x~2/(27)+y~2/(36)=1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程.分析:由于椭圆的焦点坐标为(0,±3),且双曲线与椭圆具有相同的焦点,知双曲线的焦点也为(0,±3),从而知所设双曲线的形式应  相似文献   

离心率对圆锥曲线间的影响     

狄彩近 《中学生数理化》2006,(9)

笔者根据多年的教学经验,发现离心率对圆锥曲线形状的影响较大,讨论这个问题时,我们首先在同一直角坐标系中把椭圆、抛物线、双曲线这三种曲线的方程统一起来．1．椭圆、抛物线、双曲线的统一方程将椭圆(x~2/a~2)+(y~2/b~2)=1(a＞b＞0)按向量(a,0)平移得到((x-a)~2/a~2)+(y~2/b~2)=1,即y~2=(2b~2/a)x-(b~2/a~2)x~2.  相似文献   

双曲线渐近线方程统一形式的妙用     

《高中数学教与学》2016,(11)

<正>我们知道,双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1的渐近线方程为y=±(b/a)x.一般地,还有下面的一些结论:(1)双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ>0)的渐近线方程亦为y=±bax,即xa±yb=0,就是(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=0.(2)双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ<0)的渐近线方程亦为(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=0,故双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ≠0)的渐近线方程为  相似文献   

六年制重点中学高中《解析几何》课本一例浅议     

何炳全 《数学教学通讯》1985,(6)

在六年制重点中学高中《解析几何》课本的116页有这样一道例题:“求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点处的切线互相垂直。”课本的证法是: 先解椭圆和双曲线方程所组成的方程组,求得四个交点 P_1((5(15)~(1/2))/4,3/4);P_2(-(5(15)~(1/2))/4,3/4);P_3((5(15)~(1/2))/4,-(3/4));P_4(-(5(15)~(1/2))/4,-3/4)。再分别求出椭圆、双曲线在点P_1处的切线方程,  相似文献   

对一道习题的解的看法     

周华平 《中学教研》1988,(Z1)

科学出版社出版的《中学数学习题集》第三册第279页56题,是一个椭圆上求过短轴顶点的弦长最大值问题。该题对于应用二次函数特征求解析几何中的某些最值问题,无疑是有帮助的,但后面给出的解法却有不妥之处。原题及解法如下: 过点B(0,-b)作椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的弦,求这些弦的最大值。解:设M(x,y)是椭圆上的任一点,则|BM|~2=x~2+(y+b)~2=x~2+y~2+2by+b~2①  相似文献   

关于双曲线的切线问题的讨论     

吴德风 《天津教育》1980,(4)

为了研究问题方便,对点 p(x_1,y_1)与双曲线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=1的位置关系,定义如下:给定点 p(x_1,y_1)及双曲线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=1.  相似文献   

关于一类三角形的面积及其性质     

胡晓苹 《绵阳师范学院学报》1997,(Z1)

讨论下述课题;中心在原点,焦点在X轴上的椭圆方程为x~2/a~2+y~2/b~2=1设点p(x,y)是椭圆上的一点;且随圆(1)的顶点排除在外,很显然,任意选择椭圆中的两个顶点,并与点p(x,y)连结,都能构成三角形,指出这些三角形面积的性质.同样的,对于共轭双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1,-x~2/a~2+y~2/b~2=1也有相应结果.  相似文献   

过两曲线交点的曲线系方程的应用     

戴宇 《数学教学通讯》1992,(3)

我们知道:过两曲线c_1:f(x,y)=0;c_2:g(x,y)=0的交点(如果存在的话)的曲线系方程为:f(x,y)+λ-g(x,y)=0(λ为参数)。在进行高三数学综合复习时,使学生能够熟练地使用曲线系方程来解决问题,对培养解题的能力是大有好处的。下面举例说明在教学大纲的范围内的一些应用。例1:已知两条相交曲线:x~2/16-y~2/9=1和x~2/25+y~2/9=1,试证:(1) 这两条曲线的交点在椭圆2x~2/41+y~2/41=1上;(2) 有无穷多条双曲线过这两曲线的交点。此题若按一般解法,求交点,再代入椭圆方程检  相似文献   

错在哪里     

《中学数学教学》1998,(2)

1.江苏省姜堰市第二中学 石志群(225500)题 已知两椭圆方程分别为:x~2 9y~广-45=0,x~2 9y~-6x-27=0,求过两椭圆的交点且与直线x-2y 11=0相切的圆的方程.(1984年高考题)解 设过两已知椭圆交点的圆的方程为:x~2 9y~2-6x-27 λ(x~2 9y~2 -45)=0.即 (1 λ)x~2 (9 9λ)y~2-6x-27-45λ=0,由x一2y 11=0得 x=2y-11,代入上式得(13 13λ)y~ 2-(56 44λ)y 160 76λ=0.当圆与直线相切时,有△=0,即(56 44λ)~2-4(13 13λ)(16O 76λ)=0.  相似文献   

运用类焦点和类准线概念探究圆锥曲线两个统一性质     

顾元康 《中学数学研究(江西师大)》2013,(1):33-35

我们将点F(t,0)、直线l:x=(a~2)/t称为椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1(a>0,b>0)的类焦点、类准线(椭圆中0<|t|a),相应的点G((a~2)/t,0)称为类准点;将点F(t,0)、直线l:x=-t(t>0)称为抛物线y~2=  相似文献   

平面解析几何极值问题举例     

余腾海 《四川教育》1982,(2)

例1 求点 P(4,0)与抛物线 y~2=2x 上的点的距离的最小值。解:设抛物线上一点 Q(x_1,y_1),则y_1~2=2x_1,|PQ|=(x_1-4)~2~(1/2) y_1~2=(x_1~2-6x_1 16)~(1/2)。∵被开方数二次项的系数为正,∴当 x=3时,(x_1~2-6x_1 16)极小值:=7,|PQ|极小值=7~(1/2)。例2 设 A、B 是椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1的相邻二顶点,试在(?)上求一点 P,使四边形PAOB 面积为最大。解:设(?)上一点 P(acosθ,bsinθ),则S(?)PAOB=S△AOB S△PAB  相似文献   

关于椭圆弦中点问题的练习课     

钱颂鸣 《中等数学》1985,(6)

这次练习课,我编选了下面的题组:1.过椭圆 x~2/64 y~2/36=1上一定点P(-8,0),作直线交椭圆于 Q 点,求线段PQ 的中点的轨迹方程;2.求椭圆 x~2/4 y~2=1的斜率为1的弦的中点轨迹方程;3.在椭圆 x~2/16 y~2/4=1中,求经过点  相似文献   

确定双曲线方程一法     

刘慧智 《数学教学通讯》1998,(3)

各已知渐近线方程 f_1(x)=0,f_2(x)=0而不知双曲线方程类型情况下,求双曲线方程可通过设方程为f_1(x)·f_2(x)=λ(λ≠0)来确定.例1 求以4x-3y=0,4x 3y=0为渐近线方程且过 P(4 (3~(1/2),8)的双曲线方程.解:渐近线方程可变为(4x-3y)(4x 3y)=16x~2-9y~2=0  相似文献   

解析几何教材中一道例题的另解     

谷长静 《中学数学教学》1987,(5)

现高中教材《平面解析几何》(甲种本)第116页例3求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点的切线互相垂直。书上证明方法是求四个交点坐标,再求交点处切线的斜率,验证两者成负倒数关系。实际上,本题可作一般性证明,即不必求出交点坐标。证明如下。设椭圆与双曲线的交点坐标为(x_0,y_0),则过(x_0,y_0)椭圆的切线为 x_0x/25+y_0y/9=1,即 9x_0x+25y_0y=225;双曲线的切线为x_0x-15y_0y=15,两切线的斜率分别为:  相似文献   

妙在增设     

邓友祥 《数学教学通讯》1995,(3)

例1 解方程5x~2 x-x(5x~2-1)~(1/2)=2.解:令 y=(5x~2-1)~(1/2),则5x~2=y~2 1,原方程化为:y~2 1 x-xy=2,y~2-1-x(y-1)=0,  相似文献   

椭圆、双曲线的共轭直径及应用     

程惠才 《中学数学教学参考》1994,(7)

定义:连结椭圆上任意两点的线段叫弦.过椭圆中心的弦叫直径.类似地可定义双曲线的直径.如图1,平行于直径CD的弦的中点的轨迹AB和直径CD叫互为共轭直径.类似地可定义双曲线的共轭直径. 定理1 已知AB、CD为椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的一对共轭直径,其斜率分别为k_(AB)、K_(CD),那么K_(AB)·K_(CD)=-b~2/a~2. 略证:如图1,设平行弦EF簇的斜率为k(即K_(CD)),则平行弦EF簇的方程为 y=kx t(t为参数).① 又椭圆方程为 x~2/a~2 y~2/b~2=1. ② ①代入②整理得 (a~2k~2 b~2)x~2 2a~2tkx a~2(t~2-b~2)=0. ③ 由韦达定理,得x_1 x_2=-(2a~2tk/a~2k~2 b~2). 设M(x′,y′)是EF的中点,则 x′=1/2(x_1 x_2)=-(a~2tk/a~2k~2 b~2) ④ 点M在EF上,则y′=kx′ t. ⑤ 由④、⑤消去参数t得 y′=-b~2/a~2k x′. ∵k_(AB)=k_(OM)=-(b~2/a~2k). ∴k_(AB)·k_(CD)=-(b~2/a~2k)·k=-(b~2/a~2). 推论1 AB是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的任意一条弦,P为AB的中点,O为椭圆的中心,则 K_(AB)·K_(OP)=-(b~2/a~2).  相似文献   

有关双曲线的一个命题     

朱克强 《中学教研》1990,(11)

我们知道,双曲线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=1,其渐近线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=0,及其共轭双曲线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=-1,这三个方程左边完全相同,右边三常数成等差数列。对这三个方程无论施行多少次相同坐标轴平移和旋转,方程左边总是一样,右边仍为常数,这三常数也成等差数列。任一双曲线及其渐近线以及共轭双曲线的方程都可以看作是标准型方程经有限次相同坐标变换后的结果。于是,对任一双曲线,其渐近线及其共轭双曲线方程,三者含变数的项完全一样,  相似文献   

椭圆与“渐近线”的密切关系     

《中学数学教学》2019,(1)

<正>众所周知,椭圆与双曲线的第一定义与第二定义相似,性质也有很多类似的,然而双曲线却独有渐近线,而椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)与双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的渐近线y=±b/ax又有什么紧密的关系呢?本文就以焦点在x轴上的椭圆C:x~2/a~2+y~2/b~2=  相似文献