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在△ABC中,不等式:sinA/2·sinB/2·sinC/2≤1/8(等号只在正三角形中成立)即三角形三内角之半的正弦积不大于1/8。兹将几种证法罗列如下。为了方便,记y=sinA/2·sinB/2·sinC/2,A、B、C和a、b、c分别表示△ABC的三内角和三边长,sinA/2、sinB/2、sinC/2均为正数。下不一一赘述。 相似文献
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题在△ABC中,证明或否定不等式:40/27＜sinA/sinA+sinB+sinB/sinB+sinC+sinC/sinC+sinA＜41/27. 相似文献
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由正弦定理出发,我们可以得到如下定理:△ABC中,以sinA、SinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。且△ABC∽A′B′C′,△A′B′C′外接圆直径为1。证明:设△ABC外接圆半径为R, sinA+sinB=1/2R (a+b)>1/2R·C=sinC。同理可证 sinA+sinC>sinB,sinB+sinC>sinA。因此以sinA、sinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,因此△ABC∽△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。设△A′B′C′外接圆半径为R′,对△A′B′C′施行正弦定理,则sinA/sinA′=2R′=1。由这个定理出发,有下面的二个应用。一、关于三角形中一些恒等式和不等式的互证 相似文献
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郑观宝 《中学生数理化(高中版)》2006,(2)
一、高中数学(人教版)第一册(下)第129页正弦定理、余弦定理一节中,介绍正弦定理时,仅仅推出了a/sinA=b/sinB=c/sinC,而不是a/sinA=b/sinB =c/sinC=2R,这对同学们全面理解正弦定理是十分不利的,也给解题带来了许多麻烦．所以许多老师都补充了这个知识点,但证明方法大多采用初中的平面几何证法.事实上,利用向量证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,过 相似文献
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设A、B、C为三角形的三内角,则有 sin2A sin2B sin2C≤3(3~(1/2))/2 (1) sinA sinB sinC≤3(3~(1/2))/2 (2) sinA/2 sinB/2 sinC/2≤3/2 (3) sinA/3 sinB/3 sinC/3≤3·sinπ/9 (4) ……………… sinA/k sinB/k sinC/k≤3·sinπ/3k (5) 相似文献
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龚辉斌 《中学数学研究(江西师大)》2007,(12):19-20
文[1]用导数的方法证明了下面的结论在△ABC中,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC<2.注意到A:B=C=π/3时,sinA sinB sinC/cosA cosB cosC的值等于3~(1/2),笔者不禁产生联想:` 相似文献
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本文先给出含双圆半径的几何性质: 定理1:设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,顶点A、B、C到内心的距离分别为a0,b0,c0,则4Rr2=a0b0c0. 证明:因为r=(a0sin)A/2.=(b0sin)B/2=(c0sin)C/2. 所以r3=(a0b0c0sin)A/2(sin)B/2(sin)C/2因为△=1r/2(a+b+c)=Rr(sinA+sinB+sinC)=2R2sinAsinBsinC所以r/2R=sinA·sinB·sinC/sin+sinB+sinC又因为易证sinA+sinB+sinC= 相似文献
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△ABC中的许多不等式,如 sinA+sinB+sinC≤3 3~(1/2)/2, cosAcosBcosC≤1/8, sinA/2+sinB/2+sinC/2≤3/2, cosA/2cosB2/cosC/2≤3 3~(1/2)/8 , sin~2A+sin~2B+sin~1C≥2 3~(1/2)sinAsinBsinC等等,均可统一于以下两个不等式(因本文将给出较一般的结果,故推导过程从略): 设x,y,z∈R,A,B,C为△ABC的内角,则 (1)x~2+y~2+z~2 ≥2(xycosC+yzcosA+zxcosB), (2)x~2+y~2+z~2 ≥2 3~(1/2)/3(xysinC+yzsinA+zxsinB), 本文将上述不等式(1)与(2)推广为: 若A,B,C,x,y,z均为实数,且A+B+C=π,n∈Z,则 相似文献
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正问题对于ΔABC,求3sinA+4sinB+18sinC的最大值.这是一个形式简捷,内含丰富的三角不等式问题,被选为第三届全国大学生数学竞赛试题(数学类).解答:三角形三个角A,B,C的取值范围为(A,B,C)∈D={(α,β,γ)|α+β+γ=π,α0,β0,γ0}我们首先考虑3sinA+4sinB+18sinC在D的闭包E={(α,β,γ)|α+β+γ=π,α≥0,β≥0,γ≥0}上的最大值. 相似文献
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在△ABC中:tg~2A/2 tg~2B/2 tg~2C/2≥2—8sinA/2·sinB/2·sinC/2,等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。 上述不等式就是所谓的“Garfunkel—Bankoff”不等式(以下简称“G—B”不等式)。下面给出“G—B”不等式的一个新的证法。 相似文献
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高中《代数》(必修本)上册第三章《两角和与差的三角函数》中有下面几道题: 1.在△ABC中,求证:sinA sinB sinC=4cosA/2cosB/2cos2/C。(第193页例5) 2.在△ABC中,求证: 相似文献
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例1 在锐角△ABC中,求证:sinA sinB sinC>3~(1/2), 证 如图1所示是一个直径为1的圆。△ABC内接于圆。由于A、B、C都是锐角,则不妨设60°≤C<90°。由图易知:BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC=1,∴sinA=BC,sinB 相似文献
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冯仕虎 《中学数学研究(江西师大)》2009,(9):18-19
有这样一个三角形不等式：在△ABC中,恒有sinA＋sinB＋sinC≤3/2√3,并且,当且仅当A=B=C=π/3时,取等号． 相似文献
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设 x,y,z 是任意实数,在△ABC 中,则有不等式x~2 y~2 z~2≥2xycosC 2zxcosB 2yzcosA(1)其中等号当且仅当 x:sinA=y:sinB=z:sinC 时成立.不等式(1)即三角形中著名的 Wolstenholme 不等 相似文献
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大家知道,若A、B、C是△ABC的三个内角,则下列等式成立。(证明从略) 1°cos~2A cos~2B cos~2C=1-2cosAcosBcosC 2°sin2A sin2B sin2C=4sinAsinBsinC 3°cos2A cos2B cos2C=-1-4cosAcosBcosC 4°ctgActgB ctgBctgC ctgCctgA=1 5°tgA tgB tgC=tgAtgBtgC 6°ctg(A/2) ctg(B/2) ctg(C/2)=ctg(A/2)ctgB/2ctgC/2 7°sinA sinB sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) 相似文献