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邱承雍 《数理化学习(初中版)》2003,(1)
设x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,那么x1=(-b+(b2-4ac))/2a,x2=(-b-(b2-4ac))/2a,x1+x2=-(b/a),x1·x2=c/a,由此,得 相似文献
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彭胜生 《数学学习与研究(教研版)》2014,(10):118
一元二次方程是初中数学里的重要内容,根与系数的关系又是一元二次方程的重点,这个知识点有着较为广泛的应用,习题内容丰富,题目的形式灵活多样,常与几何、二次函数等问题结合考查,是后续学习和考试的热点,也是方程理论的重要组成部分.一、基础知识1.公式的演变过程对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当判别式Δ=b2-4ac≥0时,其求根公式为:x=-b±b2姨-4ac 相似文献
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若一元二次方程ax^2 bx c=0(a0)的两人根为x1，x2，则x1 x2=-b/a,x1x2=c/a。这个结论在数学中称为韦达定理，在物理中有很多方程为一元二次方程，有时应用韦达定理解题很简捷，下面略举几例说明。 相似文献
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实系数一元二次方程 ax2 + bx+ c=0 ( a≠ 0 )的判别式 Δ=b2 - 4ac是中学数学中的基本内容 ,它在代数和几何中都有着广泛的应用 .下面让我们举些实例 ,说明判别式在解一类平面几何题中的应用 ,以供同行交流参考 .1 判别三角形形状例 1 设△ABC的三边为 a,b,c,并满足 b+ c=4 ,bc=a2 - 6 a+ 1 3,试问△ ABC是什么三角形 ?并证明你的结论 .解 由题意得 b,c是一元二次方程 x2 -4x+ ( a2 - 6 a+ 1 3) =0的两个实数根 ,∴Δ =4 2 - 4( a2 - 6 a+ 1 3)=- 4( a- 3) 2 ≥ 0 .∴ a=3,代入方程得 x2 - 4x+ 4 =0 .∴△ ABC为等腰三角形 .例 2 … 相似文献
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我叫判别式,外号,是一元二次方程庄园内的常客.我的外貌是=b2-4ac,身上的a、b、c是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的三数,要想在一元二次方程中找到我,首先必须把方程化为一般形式.例如,在一元二次方程12x2+3x=1中,你如果想知道我是多少,必须先把方程化为一般形式12x2+3x-1=0,然后把a=12,b=3,c=-1代入b2-4ac计算便可知=b2-4ac=11.此时若把方程化为x2+6x-2=0,我又摇身一变,变成了=b2-4ac=44.有人对此疑惑不解,怎么一个方程会有两个不同的判别式呢?其实大家不必大惊小怪,我是个虚怀若谷、不计小节的人.你说我是11,还是说我是44,我都会默默地接… 相似文献
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2004年全国初中数学联赛第14题及解答如下:已知a<0,b≤0,c>0且b2-4ac=b-2ac,求b2-4ac的最小值.解 令y=ax2 bx c,由a<0,b≤0,c>0,判别式Δ=b2-4ac>0,所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线,且与x轴有两个不同的交点A(x1,0)、B(x2,0).因为x1x2=ca<0,不妨设x1相似文献
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关于一元二次方程的两根之和m=x1 x2=-ab、两根之积n=x1x2=ac是大家都熟悉的,那么一元二次方程的两根之比λ和两根之差d与系数的关系又是怎样的呢?经过探索,可得定理1如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0,c≠0)得两根之比为λ,则有(λ 1)2λ=abc2.证明由题设得(λ λ1)2=λ2 2λ 1λ=λ 1λ 2=xx12 xx12 2=x12 2x1x2 x22x1x2=(x1x 1xx22)2将韦达定理代入(1)得(λ λ1)2=(-cab)2a=abc2.定理2如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)两根之差的绝对值为d,则有d=|aδ|(其中δ=b2-4ac).证明对称性,不妨设x1=21a(-b b2-4ac),x2=21a(-b-b2-4ac),所以d=|x1-x… 相似文献
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我们平时学过的公式、法则等如果长时间不用,难免会有遗忘的现象,但想不起来也不必太着急,因为我们可以静下心来回忆一下公式的推导过程,从而使公式再现.※掌握公式的来龙去脉如:一元二次方程的求根公式,是通过先配方、再开平方的方法求得的,其推导过程如下:ax2+bx+c=0(a≠0)x2+ba x+ac=0x2+ba x=-cax2+ba x+(2ba)2=(2ba)2-ac(x+2ba)2=b24-a42ac当b2-4ac<0时,#b2-4ac无意义,所以x无解;当b2-4ac≥0时,x+2ba=±#b22-a4ac,即x1=-b+#2ba2-4ac,x2=-b-#2ba2-4ac.而二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标公式可以推导如下:y=ax2+bx+cy=a(x2+ba x)+cy=… 相似文献
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在解题过程中 ,我们经常遇到形如a +b +c =0的条件 ,笔者在教学中发现 ,在此条件下有许多简捷、优美的结论 ,且有着广泛的应用。为此 ,本文探讨在条件a +b+c=0下的结论及相应的解题功能 ,供参考。1 结论结论 1 若a +b +c =0 ,则b2 ≥ 4ac或a2 ≥ 4bc或c2 ≥ 4ab。证明 因为a +b +c=0 ,所以b =-(a +c) ,b2 =(a +c) 2 =a2 +c2 +2ac≥ 2ac+2ac=4ac ,即b2 ≥ 4ac,同理可得a2 ≥ 4bc,c2 ≥ 4ab ,命题得证。结论 2 若a +b+c=0 ,则a3+b3+c3=3abc。证明 因为a +b +c=0 ,所以有a +b =-c,(a +b) 3=-c3,即a3+3a2 b +3ab2 +b3+c3=0 ,也即a3+3ab(a +… 相似文献
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朱兰梅 《中学课程辅导(初三版)》2006,(7):16-17
构造一元二次方程解题是一种常用的解题方法,这种方法的关键是根据题目中的一些条件来构造一元二次方程,从而达到将问题化难为易、化繁为简的目的.下面举例说明:一、利用韦达定理的逆定理构造一元二次方程当题目中含有x1 x2=p、x1x2=q时,则可以利用韦达定理的逆定理构造一元二次方程来解决.例1已知a、b、c、d为实数,且满足2c-a=b,c2 14d2=ab,求证:a=b.证明:由已知a b=2c,ab=c2 14d2得a、b是方程x2-2cx c2 14d2=0的两根.∵a、b、c、d为实数,∴Δ=4c2-4(c2 14d2)=-d2≥0.∴d2≤0.又因为d2≥0,d2=0,即△=0.∴方程有两个相等实根,即a=b.二、利用… 相似文献
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提起“b2-4ac”,同学们立即会想到它与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有着密切关系.但笔者通过对近几年国内外数学竞赛题的研究发现它在一元二次方程以外也有应用.首先提出:命题当a+b+c=0时,则有b2-4ac≥0,即b2≥4ac.证明由a+b+c=0得b=-(a+c),所以b2-4ac=[-(a+c)]2-4ac 相似文献
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惠州人 《中学数学教学参考》2004,(10):22-25
20 0 4年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛有这样一道解答题 :已知a <0 ,b≤ 0 ,c >,且b2 -4ac=b -2ac .①求b2 -4ac的最小值 .本文将对这道题目的标准答案进行专业分析 ,揭示其更反映条件本质特征的数量关系 ,在此基础上提供一批新解法 (并非全部 ) .希望能通过解题案例的分析 ,获得怎样学会解题的体验 .1 解题案例的分析1 .1 案例的呈现标准答案是这样的 :令 y =ax2 bx c.由于a <0 ,b≤ 0 ,c >,则Δ=b2 -4ac >.所以 ,此二次函数的图象是如图 1所示的一条开口向下的抛物线 ,且与x轴有两个不同的交点A(x1,0 ) ,B(x2 ,0 ) .因为x1x2 =… 相似文献
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如果一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么有x1+x2=-b/a,x1x2=c/a,这就是根与系数的关系,简称为韦达定理.根与系数的关系应用很广泛,下面举例说明.
一、求一元二次方程的两根的和与积
例1 (1)(2013年雅安卷)已知x1,x2是一元二次方程x2-2x=-0的两根,则x1+x2的值是().
A.0 B.2 C.-2 D.4
(2)(2013年武汉卷)若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1·x2的值是().
A.3 B.-3 C.2 D.-2
解析:(1)对于方程x2-2x=0,a=1,b=-2,.∴.x1+x2=2=--2/1=2.故选B.
(2)对于方程x2-2x-3=0,a=1,b=-2,c=-3,∴.x1·x2=c/a=-3/2=-3.故选B. 相似文献
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曹兴常 《语数外学习(初中版)》2009,(6):23-24
知训链接：设方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1,x2,由求根公式x1=-b＋√b^2-4ac/2a,x2=-b-√b^2-4ac/2a,得根与系数的关系x1＋x2=-b/a,x1x2=c/a. 相似文献
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安义人 《山西教育(综合版)》2002,(18):26-26
△ =b2 - 4ac叫做一元二次方程 ax2 + bx+ c=0(a≠ 0 )的根的判别式。灵活应用它 ,不仅可以解答一些与一元二次方程有关的问题 ,一些非一元二次方程问题也可获得巧妙解答。一、与一元二次方程有关的问题例 1 若方程 x2 - (a- 3) x- 3a- b2 =0有两个等根 ,则方程 x2 + ax+ b=0的两根分别是 ( )(A) 0 ,3;(B) 0 ,- 3;(C) 1,4 ;(D) 1。解 :由方程 x2 - (a- 3) x- 3a- b2 =0有两个等根 ,∴△ =(a- 3) 2 - 4(- 3a- b2 ) - 0 ,∴ (a+ 3) 2 + 4 b2 =0。∵ (a+ 3) 2≥ 0 ,4 b2≥ 0 ,∴ a=- 3,b=0。这时 ,要求的方程即为 x2 - 3x=0∴ x1=0 ,x2 … 相似文献
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我们知道,对于实系数一元二次方程ax~2 bx c=0（a、b、c∈R,a≠0）,可用△=b~2-4ac与0的关系来判断有无实数根,并且可用求根公式求此方程的根,那么对于复系数一元二次方程。ax~2 bx c=0（a、b、c∈C,a≠o）怎样求根,怎样判断实根的情况? 1.求根公式 命题（一）:方程ax~2 bx c=0（a、b、c∈C,a≠0）的求根公式是:x=-b [(b~2—4ac)的平方根]/(2a) . 相似文献