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1.
张锦川 《中学数学研究(江西师大)》2021,(3)
问题若实数x,y,z满足x+y+z=12,x 2+y 2+z 2=54,试求xy的最大值和最小值.[JP3]解法1:由x 2+y 2=54-z 2,可设x=54-z 2 cosθ,y=54-z 2 sinθ.[JP]则x+y+z=12,即12-z=54-z 2(sinθ+cosθ)=108-2z 2 sin(θ+π4),从而|12-z|≤108-2z 2,解得z∈[2,6].所以xy=12[(x+y)2-(x 2+y 2)]=12[(12-z)2-(54-z 2)]=z 2-12z+45.由2≤z≤6,得9≤z 2-12z+45≤25,即xy的最大值为25,最小值为9. 相似文献
2.
张希麟 《初中生世界(初三物理版)》2006,(15)
今天,数学兴趣小组的活动由Z老师作中心发言,题目是《从一道竞赛题解法的改进谈起》.这是一道2004年全国初中数学竞赛题:实数x、y、z满足x y z=5,xy yz zx=3,求z的最大值.[1]提供的解法是:由于x y=5-z,xy=3-z(x y)=3-z(5-z)=z2-5z 3,因此x、y是关于t的一元二次方程t2-(5-z)t z2 相似文献
3.
卢刚 《第二课堂(小学)》2004,(2)
1.设x,y,z是满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3的实数,试求z的最大值.(1991年加拿大第7届中学生数学竞赛题)[解法一] 由条件可得x+y=5-z ①xy=3-yz-zx=3-z(5-z)=z2-5z+3 ②设z,y,z满足条件,则x,y是关于t的一元二次方程 相似文献
4.
逯中原 《数理化学习(初中版)》2006,(4)
近年来,各省市中考及初中数学竞赛中,经常有最值问题出现,现举例说明·一、利用判别式求最值例1(2004年全国初中数学竞赛试题)实数x、y、z满足x+y+z=5①,xy+yz+zx=3②,则z的最大值是·分析:消去一未知数,使之变为z为参数的一元二次方程·解:由①得y=5-x-z③把③代入②得x(5-x-z)+z(5-x-z)+zx=3整理得:x2+(z-5)x+z2-5z+3=0因为x为实数,所以Δ≥0所以(z-5)2-4(z2-5z+3)≥0所以(3z-13)(z+1)≤0所以-1≤z≤133·二、利用非负数性质求最值例2多项式P=2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值为·分析:将多项式配方,使之化为几个非负数之和·解:P=2x2-4xy+5y2… 相似文献
5.
同学们在学习分式的时候,经常会遇到有关多元的求值问题,解答时,可以利用消元的方法,化难为易.一、取值消元法例1已知abc=1,那么aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1=.解:不失一般性,取a=1,b=1,c=1,则原式=13+13+13=1. 二、主元消元法例2已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,则5x2+2y2-z22x2-3y2-10z2等于(A)-12 (B)-192 (C)-15(D)-13 解:以x、y为主元,那么4x-3y=6z,x+2y=7z .∴x=3z,y=2z.∴原式=5×9z2+2×4z2-z22×9z2-3×4z2-10z2=-13.选D. 三、比值消元法例3已知x2=y3=z4,则x2-2y2+3z2xy+2yz+3zx的值是.解:设x2=y3=z4=k,得x=2k,y=3k,z=4k… 相似文献
6.
一个不等式的正确证明 总被引：1，自引：0，他引：1
贺斌 《中学数学教学参考》2004,(5)
一个不等式 若x ,y ,z≥0 ,xy yz zx =1 ,则1y z 1z x 1x y≥52 ( =|x ,y ,z中一个为0 ,两个为1 ) . ( )据所知,( )式首出文[1 ],然后又见于文[2 ]、文[3 ],但其证明都隐含实质性缩小变量取值范围的错误.下面重予证明.证明:不妨设x≥y≥z≥0 ,由条件知x≥y >0 ,0≤yz≤13 ,x =1 -yzy z ,于是( )式 2 [(x y) (z x) (x y) ( y z) ( y z) (z x) ]≥5 (x y) ( y z) (z x) 2 [(x2 y2 z2 ) 3 (xy yz zx) ] ≥5 [(x y z) (xy yz zx) -xyz] 2 [(x y z) 2 1 ]≥5 [(x y z) -xyz] 2 (x y z) 2 -5 (x y z) 2 5x… 相似文献
7.
黄细把 《山西教育(综合版)》2000,(12)
解答某些与二次根式有关的求值问题时,利用两数的和与积作整体代换,能取得事半功倍的效果。例1.若x=3-23 2,y=3 23-2,则3x2-5xy 3y2=。(1996年四川省初中数学竞赛试题)解:化简,得x=5-26,y=5 26。∴x y=10,xy=1.原式=3x2-5xy 3y2-5xy =3(x y)2-11xy =289。例2.已知x<0为实数,且x-1x=5,则x7 12x4 xx8 9x4 1的值为( )。(A)-9319; (B)-1993;(C)-328; (D)-75。(1993年哈尔滨市初中数学竞赛试题)解:设1x=y,那么x-y=5,yx=1。∵x<0,y<0, ∴x y=-(x-y)2 4xy=-3。∴x2 y2=(x-y)2 2xy=7。∴x7 12x4 xx8 9x4 1=(x7 12x4 x)÷x4(x8 9x4 1… 相似文献
8.
题目:设x+y+z=xyz,(x>0,y>0,z>0)求证:2(x2+y2+z2)-3(xy+yz+xz)+9≥0文[1]中用三角函数知识来证明,且证明繁琐,文[2]用换元的方法,然后利用第25届IMO试题的结论:若x≥0,y≥0,z≥0,且x+y+z=1,则xy+yz+xz-2xyz≤727来证明也是不简单,实际上利用拙文[3]中提出的证明不等式化齐次的策略可简单地给出证明.证明:因x+y+z=xyz,原不等式等价于2(x2+y2+z2)(x+y+z)-3(x+y+z)(xy+yz+xz)+9xyz≥02(x3+y3+z3)+2x(y2+z2)+2y(x2+z2)+2z(x2+y2)-3x(y2+z2)-3y(x2+z2)-3z(x2+y2)-9xyz+9xyz≥02(x3+y3+z3)-x(y2+z2)-y(x2+z2)-z(x2+y2)≥0(x+y)(x-y)2+(y+z)(y-z… 相似文献
9.
1 填空题(1 )向量b与非零向量a平行的充分必要条件是存在一个实数λ,使。(2 )两个向量a ,b相互垂直的充分必要条件是。(3)假设平面 3x - y - 1 =0与平面 2x +ay -z - 2 =0垂直 ,则a =。(4 )点 (- 1 ,- 2 ,- 1 )到平面x +2 y +2z - 5 =0的距离d =。(5 )直线x =3y =5 +tz =1平行于坐标轴。(6 )函数 y =1ln(1 -x - y) 的定义域为。(7)曲线x =acost,y=asint,z =bt在t=π2 处的切线方程为。(8)设z=xy,则 z x=。(9)设z=ex2 +y,则 2 z x2 =。(1 0 )累次积分∫10 dx∫xx f(x ,y)dy交换积分次序后 ,得到积分。(1 1 )圆域D :x2 +y2 ≤ 2上的二重积分… 相似文献
10.
《中学数学教学参考》编辑部举办的首届中学生数学智能通讯赛中高二年级试题第18题为 :若x ,y∈R ,x y =1,则xx2 y3 yx3 y2 ≤ 83 . ( 1)(从该刊 2 0 0 4年第 5期 p .5 9提供的解答来看 ,条件“x ,y ∈R”应为“x ,y ∈R ”)类比之 ,容易证得命题 1 若x ,y ,∈R ,x y =1,则xx y2 yx2 y ≤ 43 . ( 2 )证明 因为x y2 =y2 -y 1=( y-12 ) 2 34>0 ,x2 y>0 ,所以不等式 ( 2 )等价于3 [x(x2 y) y(x y2 ) ] ≤ 4(x y2 ) (x2 y) x3 y3 4x2 y2 -2xy≥ 0 (x y) 3-3xy(x y) 4x2 y2 -2xy≥ 0 4x2 y2 -5xy 1≥ 0 (xy-14 ) (xy-1)≥ 0 ( 3… 相似文献
11.
因式分解是初二代数中的重要内容之一 ,不论是在求代数式的值的计算还是代数式的证明中应用都十分广泛 ,现举例如下 :例 1 已知x2 - 2xy - 1 5y2 =0 ,求 xy 的值。分析 :本题利用二次三项式x2 +(p +q)x +pq =0型的因式分解 ,将x2 - 2xy - 1 5y2 =0通过因式分解化为二个二元一次方程 ,从而求出 xy 的值。解 :由已知x2 - 2xy - 1 5y2 =0得 :(x - 5y) (x +3y) =0只有当x - 5y =0或x +3y =0时 ,原式成立。∴x =5y或x =- 3y即 xy=5或 xy- 3例 2 已知 :x - 3z =5y ,求x2 - 2 5y2 +9z2 - 6xz的值。分析 :本题先从已知入手 ,通过移项得x - 3z - 5z… 相似文献
12.
13.
题目 已知x≥y≥z>0 .求证 :x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 +y2 +z2 .这是第 3 1届IMO的一道预选题 ,原解答较繁 ,且技巧性强 ,这里给出一个相对简洁的证法 .证明 :由Cauchy不等式 ,有x2 yz +y2 zx +z2 xyx2 zy +y2 xz +z2 yx≥(x2 +y2 +z2 ) 2 .观察上式知 ,如有x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 zy +y2 xz +z2 yx ,则问题得证 .通分移项 ,有x3 y2 -x2 y3 +y3 z2 -y2 z3 +x2 z3 -x3 z2 ≥0 .①故只须证式①成立 .x3 y2 -x2 y3 +y3 z2 -y2 z3 +x2 z3 -x3 z2=x2 y2 (x-y) +y2 z2 (y-z) +x2 z2 (z-x)=x2 y2 (x -y) +y2 z2 (y -z) +x2 z2 ·(z-y +y -x)… 相似文献
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赵振华 《中学生数理化(高中版)》2004,(12):21-21
134.问:已知三个正实数x,y,z满足 x y z 12xyz= 16,求证: x y z≥4 14xyz.(河南商城一中高二三班 胡军伟)证明:x y 12xyz=16-z 16-z≥2 xy 12xyz=12xy(4 z) (4- z)(4 z)≥12xy(4 z) 4- z≥12xy,两边同乘 z得:4 z-z≥12xyz.同理可证:4 x-x≥12xyz,4 y-y≥12xyz.三式相加得 4( x y z)-(x y z)≥32xyz,即4( x y z)≥12xyz xyz x y z x y z≥4 14xyz.原不等式得证. (河南 赵振华)135.问:将字母a,a,a,b,c,d,e排成一行,有多少种不同的排法?(四川成都一中高三… 相似文献
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王彩云 《中学课程辅导(初一版)》2004,(10)
根据条件求代数式的值是常见的一类题型。现举例说明其求解方法. 一、变形所求式,整体代入例1 若x-y z=1,x2 y2-z2=-2,求代数式:2(x2-y2-z2)-(2x-2y-3y3)-(-y2 2x)的值. 解:∵x-y z=1,x2 y2-z2=-2, ∴原式=2x2-2y2-2z2-2x 2y 3y2 y2-2z 相似文献
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王俊 《济南职业学院学报》2004,(5):48-49
二次函数y =ax2 +bx +c(a≠ 0 )配方后可变为标准形式y =a(x + b2a) 2 + 4ac-b24a (a≠ 0 ) ,由此可以很快求出y的最值 ,初中数学中 ,有不少的最值问题 ,常常可以转化为二次函数来求解 ,下面通过几个例子来介绍几种求解方法。一、主元代入法例 1. 已知x、y、z均是实数 ,且满足x + 2y -z =6x -y + 2z =3求x2 +y2 +z2 的最小值。 (2 0 0 1年安庆市竞赛题 )解 :原方程组变为 :x + 2y =6 +zx -y =3- 2z,解得 x =4 -zy =z+ 1于是x2 +y2 +z2=(4-z) 2 + (z+ 1) 2 +z2=3z2 - 6z+ 17=3(z - 1) 2 + 14当z=1(此时x =3,y =2 )时 ,x2 +y2 +z2 取到最小值… 相似文献
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1999年加拿大数学奥林匹克竞赛有这样一道题目 :令 x,y,z是满足 x y z=1的非负实数 .证明 :x2 y y2 z z2 x≤ 42 7,并求不等式成立的条件 .简证 由于不等式是关于 x,y,z轮换对称的 ,故可设 x≥y≥z,从而 x2 y y2 z z2 x≤ x2 y 2 xyz=xy(x 2 z) =12 x· 2 y· (x 2 z)≤ 12 (x 2 y x 2 z3 ) 3=12 [2 (x y z)3 ]3=12 × (23) 3 =42 7.等号在 x=2 y=x 2 z时成立 ,即 x=23,y=13,z=0时成立 .若条件不变则结论可推广为 :xnym ynzm znxm≤ nn· mm(n m) n m(n>m,n,m∈ N) .证明 推广后的不等式仍是关于 x,y,z的轮换对称… 相似文献
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一个数学问题的研究性学习 总被引：3，自引：0，他引：3
1 问题《数学通报》2 0 0 2年第 8期“数学问题解答”栏中的第 1 3 88题为 :已知x >0 ,y>0 ,且x +y =1 ,求证(x +y) ( 11 +x+11 +y)≤ 43 .①本题由黑龙江的刑进喜提供 ,证明发表在该刊第9期上 .证明 :由已知得①式 ( 1 +2xy) ( 32 +xy+22 +xy)≤1 63 ( 1 +u) ( 38+u2 +18+u2 )≤ 43(其中u =2xy) 3 ( 1 +u) 8+u2 ≤ 4u2 -9u +2 3 94( 1 +u) 2 +( 8+u2 )≤ 4u2 -9u +2 3 u2 -1 8u +1 7≥ 0 (u -1 ) (u -1 7)≥ 0 u≤ 1 2xy≤x +y .2 转化在①式 ,令x =aa +b,y =ba +b,可得等价不等式 :已知 a >0 ,b >0 ,求证(a +b)·( 1a +2b+12a +b)≤ … 相似文献
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第一试 一、选择题(每小题7分,共42分)1.设M＝(1-y2)(1-z2)/yz+(1-z2)(1-x2)/zx+(1-x2)(1-y2)/xy,其中,x、y、z为互不相等的实数.若x+y +z=xyz≠0,则M的值是( ).(A)3 (B)-3 (C)4(D)-4. 相似文献
20.
本刊 2 0 0 3年第 5期有奖解题擂台 (63 )中 ,邵剑波老师提出了如下一个条件不等式问题 :证明或否定 ,设a >b >c >0 ,x21a2 y21b2 z21c2 =1 ,x22a2 y22b2 z22c2 =1 ,且 (x -x1 x22 ) 2 (y -y1 y22 ) 2 (z -z1 z22 ) 2 =14[(x1-x2 ) 2 (y1-y2 ) 2 (z1-z2 ) 2 ],则x2 y2 z2 ≤a2 b2 c2 。上述问题中的结论是成立的 ,本文给出一个证明。证明 由x21a2 y21b2 z21c2 =1x22a2 y22b2 z22c2 =1知 ,P1(x1,y1,z1) ,P2 (x2 ,y2 ,z2 )是椭球面 x2a2 y2b2 z2c2 =1上的两点 ,设P1P2 的中点为P0 ,则P0 点坐标为 (x1 x22 ,y1 y22 ,z1 z… 相似文献