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陈进 《江西教育学院学报》1983,(2)
关于组合恒等式的证明方法大体可归纳为如下一些: 一、在二项展开式中直接代入特别值而得组合恒等式二项展开式为 C_n~0 C_n~1x C_n~2x~2 … C_n~nx~n=(1 x)~n,其中 C_n~k=(n(n-1)…(n-k 1))/(k!)=(n!)/((n-k)!k!),k≤n,且规定C_n~0=1。若令x=1得 C_n~0 C_n~1 C_n~2 … C_n~n=2~n.(1) 令x=-1得 C_n~0-C_n~1 C_n~2-… (-1)~nC_n~n=0,(2)或 C_n~0 C_n~2 …=C_n~1 C_n~3 … *) (3) *)本 相似文献
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读中学教研1990.11期P.33“(8 3(7~(1/2)))~n的整数部分是奇数”的一个简单证明后,觉得另有一种证法似更简单,证法如下: 证:设A_n=(8 3 7~(1/2))~n (8-3 7~(1/2))~n建立以8 3 7~(1/2),8-3 7~(1/2)为二根的一元二次方程。x~2-16x 1=0,∴(8 3 7~(1/2))~(n 2)-16(8 3 7~(1/2))~(n 1) (8 3 7~(1/2))~n= 相似文献
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一九八五年全国高等学校招生统一考试数学(理工农医类)第二(4)题是这样一道题:设(3x-1)~6=a_6x~6 a_5x~5 a_x~4 a_3x~3 a_2x~2 a_1x a_0,求a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1 a_0的值。在阅卷中发现不少考生在草稿上是通过二项展开公式去求的。这样即便解对,亦非良法。事实上,我们只要对试题稍作分析便知,若在题设中令x=1,则其右边便是所要求值的代数式,而左边为常数2~6,即为所求。这种思想方法其实也正是教材所要求掌握的。高中代数第三册p75例1、例2在证明恒等式C_n~0 C_n~1 C_n~2 … C_n~n=2~n及C_n~0 C_n~2 C_n~4 …=C_n~1 C_n~3 C_n~5 …=2~(n-1)时,就是由对二项展开式中的a、b巧赋特殊值得到的。类似地, 相似文献
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等比数列前n项的求和公式的推论: (a-b)(a~(n-1)+a~(n-2b)+…+b~(n-1))=a~n-b~n以及它的特殊形式: (1-q)(1+q+q~2+…+q~(n-1))=1-q~n都是因式分解的重要公式,而因式分解则是解题(如求值,证明等)的重要手段,以下各例,可以说明。例1 分解因式X~(12)+x~9+x~6+x~3+1(1978年全国数学竞赛决赛题) =(x~4+x~3+x~2+x+1) (x~8-x~7+x~5-x~4+x~3-x+1) 例2 已知ω=e~((2π/5)i),求1+ω~4+ω~8+ω~(12)+ω~(16)之值。解原式=((1-ω~4)(1+ω~4+ω~8+ω~(12)+ω~(16))/1-ω~4 =(1-ω~(20))/(1-ω~4)=(1-(ω~5)~4)/(1-ω~4) ∵ω~5=(e~((2π/5)i))~5=e~(2πi)=1 ω~4=e~((8/5)πi)≠1 ∴原式=0 例3 求能使2~n-1被7整除的所有正整数n。(第六届国际数学竞赛题) 解分二种情况讨论。 (1)如果n是3的倍数,我们设n=3k(k为正整数),这时 相似文献
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数学中有很多命题是通过对某些特殊情形的抽象、概括而得到的。解题时,如果能注意到从命题的特殊情形入手进行由此及彼的联想,往往可使复杂问题简单化,抽象问题具体化。下而就特殊性在解题中的作用举例说明之。一、利用特殊简化计算例1.计算多项式(5x~5-x~4-3x-2)~(100)·(10x-9)~2·(9x~3-7x-2)~(78)展开式的系数和。解这个多项式的展开式的最高次数为 5×100+1×2+3×78=736, 所以原多项式可表达为 (5x~5-x~4-3x-2)~(100)·(10x-9)~2·(9x~3-7x-2)~(78)=a,x~(736)+a_2x~(735)+…+a_(736)x+a_(737), 其中a_i(i=1,2,…,737)为x各项相应的系数。令x=1,得原多项式展开式系数和 相似文献
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初赛一、(满分10分)计算:(-7/(10))×(3/5)÷(-1/8)-(-3/7)×(0-2)~3二、(满分10分)已知x为正整数.解不等式12x 5<10x 15.三、(满分10分)已知x-y=1.求证:x~3-3xy-y~3=1.四、(满分10分)把2x~3-x~2z-4x~2y 2xyz 相似文献
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文[1]提出用待定系数法求sum from j=0 to n (j~K C_n~5)的表达式,但该法不太理想,本文介绍另外两种方法,供大家参考。一、导数法展开(1+x)~n,我们有恒等式 C_n~0+C_n~1x+C_n~2x~2+…+C_n~nx~n=(1+x)~n (1) 在(1)式中对x求导得 C_n~1+2C_n~2x+3C_n~3x~2+…+nC_n~nx~(n-1)=n·(1+x)~(n-1) (2) 在(2)式两端乘以x,然后再对x求导得 相似文献
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一九八二年浙江省中专(技校)统一招生高中毕业文化程度数学试题第二题第(1)小题的题目是“已知(x+2/x~2)~n展开式中第6项的系数与第4项的系数的比是6∶1.求n”.命题者本意是第6项的系数为C_n~52~5,第4项的系数为C_n~32~3.这样解得n=9。全日制十年制高中课本《数学》关于二项式定理的系数问题是区分为二项展开式的系数和指定项的系数两种情况的。第三册第151页“二项展开式各项的系 相似文献
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所谓“赋值法”,是指对式中某些变量任意赋以恰当的数值或代数式后,用以解题的一种方法。这种方法在教材中已经出现。例如C_n~0+C_n~1+C_n~2+…C_n~n=2~n的性质,就是从(a+b)~n的展开式中令a=1 b=1得来。本文准备再补充几个例子,作一些粗浅的探讨。 (一) 用于因式分解例1.分解因式x~4+x~3+x~2+2 解:设x~4+x~3+x~2+2≡(x~2+Ax+1)(x~2+Bx+2) 令x=i,整理得2-i=-AB+Ai 相似文献
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《数学教学》1992,(5)
考生注意:这份试卷共有26道试题,满分150分。一、填空题 (本大题满分30分)本大题共有10题,只要求直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分。 1.求值:cos 5π/8 cos π/8=____。 2.(x+1/x)~8的展开式中1/x~2的系数是____(结果用数值表示)。 3.函数y=sin~2x-sinxcosx+cos~2x的最大值是____。 4.方程log_5(x+1)-log_(1/5)(x-3)=1的解是____。 5.计算(3~(1/2)+i)~6=____(i是虚数单位)。 6.如果直线l与直线x+y-1=0关于y轴对称,那么直线l的方程是____。 7.已知圆台的下底面半径为8cm,高为6cm,母线与下底面成45°的角,那么圆台的侧面积是____cm~2(结果中保留π)。 8.已知函数y=f(x)的反函数是f~(-1)(x)=x~(1/2)-1(x≥0),那么函数y=f(x)的定义域是 相似文献
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定理 设x,y,z∈R,且x y z=0,则对任意的n∈N,恒有2~(n 1)(x~(2n) y~(2n) z~(2n))≥(x~2 y~2 z~2)~n (1) 相似文献
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我们知道,由二项式定理 (a b)~n=a~n C_1~na~(n-1)b … C_n~(n-1)ab~(n-1) b~n可得 (a b)~n=aM_1 b~n; (a b)~n=a~2M_2 nab~(n-1) b~n; (a b)~n=a~n abM_i b~n; …………其中,M_i(i=1,2,3,…)是整式。利用上述性质可以证明一类多项式的整除问题。兹举例如下(本文中的n均为自然数): 例1 求证(x 1)~(2n 1) x~(n 2)能被x~2 x 1整除。 相似文献
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在初中数学竞赛中,常出现一类代数式求值问题,如: (1) 已知x=2-3~(1/2),求x~4-5x~3+6x~2+5x的值。(1986年上海市初中数学竞赛试题) (2) 若x=(5~(1/2)-1)/2,则x~4+x~2+2x-1=____。(第六届全国部分省市初中数学通讯赛试题) (3) 已知x=(111~(1/2)-1)/2,求多项式(2x~5+2x~4-53x~3-57x+54)~(1989)值。(1989年浙江省初中二年级数学竞赛试题) (4) 已知a=(22~(1/2)+5~(1/2))/(5~(1/2)-2~(1/2))求值:a~5-7a~4+6a~3-7a~2+11a+13。(第三届求是杯数学竞赛初二试题) (5) 当x=3~(1/2)-1时,代数式 (x+4)/(x~3+6x~2+5x-3~(1/2)-15)的值是多少?(88—89学年度广州、福州、武 相似文献
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关于因式分解的常用方法,中学课本中已作了介绍。本文要探讨的是根据题目的特征,运用比较特殊的方法,进行因式分解的问题。例1 在复域内分解: (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)-3x~2 解原式=(x~2+7x+6)(x~2+5x+6)-3x~2推敲上式的特征,可知若令y=x~2+6x+6,原式就化为: (y+x)(y-x)-3x~2 =y~2-4x~2=(y+2x)(y-2x) =(x~2+8x+6)(x~+4x+6) =(x+4-10~(1/2))(x+4+10~(1/2)) (x+2-(2~(1/2))i)(x+2-(2~(1/2))i) 例2分解:(ab+1)(a+1)(b+1)+ab 解原式即(ab+1)[ab+1+a+b]+ab,若令(ab+1)=A,可得: 原式=A(A+a+b)+ab =A~2+(a+b)A+ab=(A+a)(A+b) 相似文献
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2005年全国初二数学竞赛中有一个问题,从这个问题的解法中不难推出两个公式,下面给出推出的过程:问题已知(2x-3)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0.求代数式a1+a2+…+a7的值.解显然x=0时,有(-3)7=a0.(1)当x=1时,(-1)7=a7+a6+…+a1+a0.(2)(2)-(1)得:a1+a2+…+a7=(-1)7-(-3)7=2186.推广一下,我们不难求得:当x=-1时,(-5)7=-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0.(3)(3)-(1)得:-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=(-5)7-(-3)7=-75938.把指数推广到n,当(2x-3)n=a0+a1x+…+anxn时,则不难得出(-3)n=a0,(4)(-1)n=a0+a1+…+an,(5)(5)-(4)得:a1+a2+…+an=(-1)n-(-3)n,(-5)n=a0-a1+a2-…+(-… 相似文献
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一、用导数例1.求证:C_n~1+2C_n~2+3C_n~3+…+nC_n~n=n·2~(n-1) 证将(1+x)~n=C_n~0+C_n~1x+C_n~2x~2+…+C_n~nx~n两边对x求导数再命x=1 相似文献
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构造“零值”代数式,解一类条件代数式求值问题,整体意识强,简捷明快、现举例说明.例1 已知x=2-5~(1/5),那么x~4-8x~3+16x~2-x+1的值是(?).(第六届“希望杯”初二数学竞赛题)解∵x=2-5~(1/5),∴2-x=5~(1/5).两边平方,整理得x~2-4x-1=0.∴x~4-8x~3+16x~2-x+1=x~2(x~2-4x-1)-4x(x~2-4x-1)+(x~2-4x-1)-x+2=-x+2=5~(1/5) 相似文献