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相似文献
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1.
<正>组合恒等式是以高中排列组合、二项式定理为基础,并加以推广和补充而形成的一类问题,它具有一定的难度和特殊的技巧,且灵活性强,对学生的运算能力的培养和思维灵活性的训练都有良好的作用。下面就来谈组合恒等式的证明。例1求证:C_n1+2C_n1+2C_n2+3C_n2+3C_n3+…+n C_n3+…+n C_nn=n·2n=n·2(n-1)。证法一:设S_n=0C_n(n-1)。证法一:设S_n=0C_n0+C_n0+C_n1+2C_n1+2C_n2+…+nC_n2+…+nC_nn。则S_n=nC_nn。则S_n=nC_nn+(n-1)C_(n-1)n+(n-1)C_(n-1)(n-1)+…+C_n(n-1)+…+C_n1+C_n1+C_n0两式相加,并结合C_n0两式相加,并结合C_nk=C_nk=C_n(n-k),得:  相似文献   

2.
<正>题设:x_i为正实数(i=1,2,…,n),且x_1x_2…x_n=1,n∈N,n>3,m是实数,则当m≥n-2或m≤-n+1时,有sum from i=1 to n x_im/((1+x_1)…(1+x_(i-1)(1+x_(i+1)…(1+x_n))≥n/2m/((1+x_1)…(1+x_(i-1)(1+x_(i+1)…(1+x_n))≥n/2(n-1).第一位正确解答者将获得奖金100元.  相似文献   

3.
<正>设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则A、B两点之间的线段长度一般为:AB=((x_1-x_2)2+(y_1-y_2))2+(y_1-y_2))(1/2).当两点的横坐标相同时,AB=|y_1-y_2|;当两点的纵坐标相同时,AB=|x_1-x_2|.线段长度的不同表示方式可以简化解题过程,使问题变得简单而清晰,并轻松做到不重不漏.一、简化分类讨论例1(2015年衢州中考题)如图1,已知  相似文献   

4.
题:设a>2,给定数列{x_n},其中x_1=a,x_(a+1)=x_n~2/2(x_n-1),(n=1,2,…)。求证(1) x_n>2,且x_(n+1)/x_n)<1(n=1,2,…);(2) 如果a≤3,那么x_n≤2+(1/2~(n-1)(n=1,2,…)(3) 如果a>3,那么当n≥lg(a/3)/lg(4/3)时,  相似文献   

5.
<正>1试题呈现已知实数x_1、x_2、y_1、y_2满足x_12+y_12+y_12=1,x_22=1,x_22+y_22+y_22=1,x_1x_2+y_1y_2=1/2,则|x_1+y_1-1|/2(1/2)+|x_2+y_2-1|/2(1/2)的最大值为.本题为2018年上海市高考数学试题第12题,从题面上看,考查的是以"绝对值和方程"为载体、不等式为主线的典型问题,着重考查学生分析问题、解决问题的能力,能够检验学生对曲  相似文献   

6.
b2=|b|2=（2n-3m）2=9m2-12m·n+4n2=9-12×1/2+4=7,∴|a|=71/2,|b|=71/2.又∵a·b（2m+n）·（2n-3m）=-6m2+m·n+2n2=-6+1/2+2=-31/2,∴cos〈a,b〉=（a·b）/（|a||b|）=（-31/2）/(71/2×71/2)=-1/2,∴向量a与向量b所成的角为120°.  相似文献   

7.
<正>设a、b、c、S表示△ABC的三边长和面积.则有[1]a2+b2+b2+c2+c2≥432≥43(1/2) S.(1)这是著名的外森比克(Weisenb?ck)不等式.(1)已有很多种形式的加强,其中最著名的是费-哈不等式a(1/2) S.(1)这是著名的外森比克(Weisenb?ck)不等式.(1)已有很多种形式的加强,其中最著名的是费-哈不等式a2+b2+b2+c2+c2≥432≥43(1/2) S+(a-b)(1/2) S+(a-b)2+(a-b)2+(a-b)2+(a-b)2+(a-b)2(2)  相似文献   

8.
<正>在求形如(A+B(1/2))(1/2))(1/3)+(A-B(1/3)+(A-B(1/2))(1/2))(1/3)(B≥0)的两个三次根式的代数和时,我们可把整个三次根式设为一个新变元,令x=(A+B(1/3)(B≥0)的两个三次根式的代数和时,我们可把整个三次根式设为一个新变元,令x=(A+B(1/2))(1/2))(1/3)+(A-B(1/3)+(A-B(1/2))(1/2))(1/3),然后利用两数和的立方公式:(a+b)(1/3),然后利用两数和的立方公式:(a+b)3=a3=a3+b3+b3+3ab(a+b)【此公式可通过(a+b)3+3ab(a+b)【此公式可通过(a+b)3=(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2(a+b)=(a2+2ab+b2+2ab+b2)(a+b)求得.】将变换后的式子两边三次方,得到关于x的  相似文献   

9.
本文给出用极值求两图形间的距离的方法。一、求点到直线的离距。 1.在平面上,求点A(x_1,y_1)到直线l:y=kx+b的距离d。解:在直线l上任取一点p(x,y),则 |AP|=((x-x_1)~2+(y-y_1)~2)~(1/2) =((x-x_1)~2+(kx+b-y_1)~2)~(1/2) =((1+k~2)x~2-2(x_1+ky_1-kb)x+x_1~2+(y_1-b)~2)~(1/2) =((1+k~2)(x-(x_1+ky_1-kb)/(1+k~2))~2+(kx_1-y_1+b)~2/(1+k~2))~(1/2)当x=(x_1+ky_1-kb)/(1+k~2)时,|AP|取极小值d。所以d=|AP|极小=|kx_1-y_1+b|/(1+k~2)~(1/2)=0给出,则k=-A/B,b=-C/B,于是 d=|-(A/B)x_1-y_1-C/B|/(1+(A~2/B~2))~(1/2) =|Ax_1+By_1+C|/(A~2+B~2)~(1/2)  相似文献   

10.
<正>本文先给出基本不等式的一个等价变形,再举例说明它的广泛应用.结论已知a、b、λ∈R,且b(a+b)> 0,则有ab≥-λ2+(λ+1)2+(λ+1)2a/(a+b),(*)当且仅当a=λb时取等号.证明由不等式a2a/(a+b),(*)当且仅当a=λb时取等号.证明由不等式a2+λ2+λ2b2b2≥2λab,得a2≥2λab,得a2≥2λab-λ2≥2λab-λ2b2b2.两边同时加上ab并整理,得a(a+b)≥b[(2λ+1) a-λ2.两边同时加上ab并整理,得a(a+b)≥b[(2λ+1) a-λ2b].再两边同时  相似文献   

11.
<正>事物是普遍联系的,数学知识、数学问题的关联性更能反映这一点.在苏教版数学必修2"直线与圆"的教学过程中,笔者发现有两个比较有趣的关联问题.现整理如下,以飨读者.问题1(1)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)2+(y-b)2+(y-b)2=r2=r2(r>0)上一点,求过点P的圆C的切线方程;(2)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)2(r>0)上一点,求过点P的圆C的切线方程;(2)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)2+(y-b)2+(y-b)2=r2=r2(r>0)外一点,过点P的圆C的  相似文献   

12.
<正>1问题呈现命题1若n为正整数,则n(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)(1/2)为无理数.文[1]在证明命题1时,运用了反证法,不妨摘录其中的一段,如下:"假设n(1/2)为无理数.文[1]在证明命题1时,运用了反证法,不妨摘录其中的一段,如下:"假设n(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)(1/2)为有理数,则存在互质的正整数a和b,使n(1/2)为有理数,则存在互质的正整数a和b,使n(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+1)(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)(1/2)=a/b,得(n+1)(1/2)=a/b,得(n+1)(1/2)=a/b-n(1/2)=a/b-n(1/2)+(n+2)(1/2)+(n+2)(1/2).于是又得  相似文献   

13.
<正>关于直线与圆锥曲线相交求弦长,通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程,化为关于x的一元二次方程,设出交点坐标,利用韦达定理及弦长公式((1+k2)[(x_1+x_2)2)[(x_1+x_2)2-4x_1x_2])2-4x_1x_2])(1/2)求出弦长。运用整体代换,设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的,然而对于过  相似文献   

14.
<正>在一次九年级数学考试中,试卷有这样一道试题：若W=2x2-4xy+5y2+4x-2y+3,且x,y为实数,则W的最小值是__.不少同学是这样解答的：W=(x2-4xy+4y2)+(x2+4x+4)+(y2-2y+1)-2=(x-2y)2+(x+2)2+(y-1)2-2.∵(x-2y)2≥0,(x+2)2≥0,(y-1)2≥0,∴W的最小值是-2.这是一道二元函数最值问题,是典型的代数推理题.解答时,  相似文献   

15.
如何解可化为一元二次方程的方程x+(1/x)=c+(1/c)（关于x的方程，c≠0）？按照通常的解法，是将分式方程化为整式方程，即cx~2-（c~2+1）x+c=0，解关于x的一元二次方程得x_1=c，x_2=(1/c)经检验知x_1=c，x_2=(1/c)是原方程的解。笔者认为，倘若应用该题的结论，便可简化许多有关习题的解题过程。现举例如下：例1 解关于x的方程x+(1/(x-1))=a+(1/(a-1))。解：将原方程变形为  相似文献   

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引例求Sn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1.解析（法一）显然,an=n·2n-1为等差乘等比型数列,可选择采用错位相减法.Sn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1,2Sn=1·21+2·2++…+（n-1）·2n-1+n·2n,则-Sn=(20+21+22+…+2n-1)-n·2n=2n-1-n·2n,即Sn=（n-1）·2n+1.（法二）注意到an=n·xn-1型以及（xn）′=n·xn-1,可选择以导数为工具,采用构造函数法.令f（x）=1·x0+2·x1+3·x2+…+n·xn-1,不难观察到,（xn）′=n·xn-1,所以f（x）=（x+x2+x3+…+xn）′=((xn+1-x)/（x-1）)′=(n·xn+1-（n+1）xn+1))/（（x-1）2）  相似文献   

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<正>一、由因式的分解引发逆向思维例1(1/25-1/25-1/23)2(8+21/23)2(8+21/215).分析大多数学生是从先算平方,再按多项式法则展开、合并这一常规解法.注意到8+21/215).分析大多数学生是从先算平方,再按多项式法则展开、合并这一常规解法.注意到8+21/215这个式子的结构特征,这个式子能"分解因式"成(1/215这个式子的结构特征,这个式子能"分解因式"成(1/25+1/25+1/23)2,故原式等于(1/23)2,故原式等于(1/25-1/25-1/23)2(1/23)2(1/25+1/25+1/23)2,此时再逆用积的乘方公式即可.解∵8+21/23)2,此时再逆用积的乘方公式即可.解∵8+21/215=5+3+21/215=5+3+21/215=(21/215=(21/25)2+(1/25)2+(1/23)+21/23)+21/215=(1/215=(1/25+1/25+1/23)2,  相似文献   

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<正>命题如图1,P是抛物线y=1/4x2-1上任意一点,点P到直线l:y=-2的距离为PH,则有OP=PH.证明设点P的坐标为(m,n),则n=1/4m2-1上任意一点,点P到直线l:y=-2的距离为PH,则有OP=PH.证明设点P的坐标为(m,n),则n=1/4m2-1,OP=(m2-1,OP=(m2+(1/4m2+(1/4m2-1))2-1))2)2)(1/2)=1/4m(1/2)=1/4m2+1.因为直线l过点E(0,-2)且平行于x轴,所以点H的纵坐标为-2,所以PH=1/4m2+1.因为直线l过点E(0,-2)且平行于x轴,所以点H的纵坐标为-2,所以PH=1/4m2-1-(-2)=1/4m2-1-(-2)=1/4m2+1,所以PO=PH.  相似文献   

19.
为了求解非线性方程f(x)=0,本文给出一个新的迭代算法,即 x_(n 1)=x_n-(x_n-x_(n-1))/(3f(x_n)-4f((x_n x_(n-1)/2) f(x_(n-1))f(x_n)这个新方法集弦割法和抛物线法的优势于一身,具有更快的收敛速度,已经证明:这个新方法的收敛阶至少是二阶的。  相似文献   

20.
<正>1试题呈现(连云港中考第16题)若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x,y为实数),则W的最小值为_____。2解法探究思路1整体思想+配方法把2x—y看作一个整体,利用完全平方式进行配方。解法1:W=4x2-4xy+y2+4x-2y+1+x2+4x+2=(2x-y)2+2(2x-y)+1+(x+2)2-2=[(2x-y)+1]2+(x+2)2-2,显然当(x+2)2=0且[(2x-y)+1]2=0,即x=-2,y=-3时,Wmin=—2。思路2主元思想+配方法  相似文献   

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