三角函数中最值问题的求解策略     

《中学生数理化(高中版)》2017,(9)

<正>三角函数最值问题是初等数学中经常涉及的问题,解决这类问题的基本策略:一要充分利用三角函数的自身特征;二要注意将求解三角函数最值问题转化为我们熟悉的求函数的最值问题。一、利用三角函数的自身特征例1求f(x)=sin⁴x+2sin4x+2sin³xcosx+sin3xcosx+sin²xcos2xcos²x+2sinxcos2x+2sinxcos³x+cos3x+cos⁴x的最大值和最小值。解析:f(x)=(si4x的最大值和最小值。解析:f(x)=(siⁿ2x+cosn2x+cos²x)2x)²-  相似文献   

关于一个三角不等式的证明     

王正宪 《数学教学通讯》1985,(6)

《数学教学通讯》1983年第4期上“证明不等式的若干特殊方法”一文中的例9:若θ∈(0,π/2),求证:cos(sinθ)>sin(cosθ)。笔者认为条件“θ∈(0,π/2)”可以取消,没有必要。现证明如下: 设f(x)=cos(sinx)-sin(cosx) (x∈R) 则 f(x)=cos(sinx)-cos(π/2-cosx)=-2sin((sinx-cosx+π/2)/2)×sin((sinx+cosx-π/2)/2)  相似文献   

单调性的应用(高一、高二、高三)     

樊宏标 《数理天地(高中版)》2005,(Z1)

1.求方程的根 例1 求满足方程2sin2x sinx-sin2x=3cosx的锐角x的值.(03年湖南省高数竞) 分析 对于同一单调区间内的两个变量x1,x2,若f(x1)=f(x2),则必有x1=x2. 解 因为 x为锐角,所以 cosx≠0.方程两边同除以cosx得 2sinx·tanx tanx-2sinx=3,即 (2sinx 1)(tanx-1)=2.因为 函数f(x)=(2sinx 1)(tanx-1)在(0,π/4)内f(x)<0,在[π/4,π/2)内严格单调递  相似文献   

函数f(x)=│sinx│+│cosx│的最小正周期的求法     

林周梅 《福建中学数学》2005,(12)

在高中数学教学中,对于函数f(x)=sin x cosx的最小正周期的求法,总避开不提.问题的提法,多以选择题或是证明题的形式出现.如求证:f(x)=sin x cosx的最小正周期是2π.解题过程很简单:证明∵对任意的x∈R,都有f(x π2)=sin(x π2) cos(x π2)=cos x ?sin x=f(x).∴T=π2是函数f(x)=sin x cosx的周期.假设存在0相似文献   

辅助角公式在解题中的应用     

费新慧 《中学生百科》2006,(23)

我们知道,asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ),其中ab≠0,tanφ=ab,这个公式叫做辅助角公式.该公式可将异名三角函数化为同名三角函数,在解题中具有广泛的应用.现举例说明,以引起同学们的重视.一、求最值例1当-2π≤x≤2π时,函数f(x)=sinx+3cosx的()(A)最大值是1,最小值是-1(B)最大值是1,最小值是-21(C)最大值是2,最小值是-2(D)解最大值是2,最小值是-1f(x)=sinx+3cosx=2sinx+3π,因为-2π≤x≤2π,所以-6π≤x+π3≤65π,所以-21≤sinx+3π≤1,所以-1≤f(x)≤2·故选(D).例2求函数y=sin2+2sinx·cosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的解x…  相似文献   

利用特殊值 巧解数学题     

凌瑞官 《中学教研》1989,(6)

解数学题方法颇多,但根据题意,巧妙地借助特殊值解题不乏是一个事半功倍的好方法。只要在有关数学知识基础上,善于观察、思考,就不难掌握。下面列举数例说明之。一、解选择题例1 对于任何x∈(0,1/2π),都有(). (A)sin(sinx)相似文献   

三角函数最值的求解方法     

刘红漫 《高中生》2005,(13)

一、利用三角函数的性质求最值1.若函数形如y=asinx+b(或y=acosx+b),可直接利用函数的下列性质来求解:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1.例1求函数y=sin(x-π6)cosx的最值.解析y=sin(x-π6)cosx=12[sin(2x-π6)-sinπ6]=12sin(2x-π6)-41.当sin(2x-π6)=1时,ymax=21-14=41;当sin(2x-π6)=-1时,ymin=-21-41=-43.2.若函数形如y=acssiinnxx++db(或y=acccoossxx++db),先逆向解得sinx(或cosx)的表达式,再结合性质｜sinx｜≤1(或｜cosx｜≤1)来求解.例2求函数y=8cos2x+83cos2x+1的最值.解析由原式逆向解得cos2x=38y--y8,由0≤cos2x≤1,得0≤8-y3y-8≤1,解…  相似文献   

数学问答     

《中学生数理化(高中版)》2008,(3)

1.已知函数f(x)=tanx,x∈0,2π,并且x1≠x2,求证:12[f(x1) f(x2)]>fx12 x2.(maidewei@163.com)解答:∵tanx1 tanx2=csionsxx11 sinx2cosx2=scions(xx11c osxx2)2=cos(x12 sixn2()x 1c osx(2)x1-x2),而x1、x2∈0,2π且x1≠x2,∴2sin(x1 x2)>0,cosx1cosx2>0且0相似文献   

刍议三角函数教学中的错题     

黄加卫  徐晓红 《河北理科教学研究》2008,(4)

1 利用"错题"展现,促使数学概念的正确建构 错题1 已知f(sinx)=sin2x,则f(cosx)等于( ). A.sin2x B.-sin2x C.±sin2x D.cos2x  相似文献   

求函数解析式八法     

秦新义 《高中生》2007,(20)

一、配凑法形如f[g(x)]=F(x),可以从F(x)中凑出g(x),然后再直接把g(x)换成x即可.例1 (2006年全国卷二)若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)= A.3-cos2x B.3-sin2x C.3 cos2x D.3 sin2x解(解法一)f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=3-cos2(π/2-x)= 3-cos(π-2x)=3 cos2x.选C.  相似文献   

用均值不等式求最值易陷于的一些误区     

聂文喜 《数理化学习(高中版)》2006,(17)

均值不等式是解决最值的重要工具,但由于其约束条件苛刻,不少同学在使用时常常顾此失彼,导致解题失误.下面以同学们易陷于的误区举例分析如下:一、忽视等号成立条件例1求y=sinxcosx+sinx1cosx(0相似文献   

数学问答     

《中学生数理化(高中版)》2008,(2)

1.已知函数f(x)=(sinx cosx)22 2sin2x-cos22x,(1)求此函数的定义域、值域,(2)若f(x)=2,-4π相似文献   

莫斯科大学1997年入学考试数学试题选(续)     

《中学数学月刊》1998,(11)

11.求表达式的(-3((1-cos2x)/2)~(1/2) ((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1)·((1-cos2y)/2 (11-3~(1/2)cosy 1))最大值与最小值。(土壤学系,第6题) 解 记表达式的第一个因式为f(x),第二个因式为a(y)有: f(x)=-3|sinx| ((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1. ∴f(x)≤((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1,且f(0)=((2-3~(1/2))~(1/2)-1. 又f(x)=-3sinx ((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1 当sinx≥0时,2sinx ((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1 当sinx<0时.  相似文献   

三角函数问题的常见错误     

姚友春 《数学教学通讯》2002,(Z4)

三角函数由于内容繁杂、公式众多、变换复杂,同学们在解题时稍有不慎就会进入误区且不易觉察,本文列举几类常见错误并分析如下,供参考.一、忽视定义域致误例1 求函数y=4sinxcosx/1+sinx+cosx的值域.错解:令sinx+cosx= 2 sin(x+π/4)=t,则  相似文献   

2010年浙江省高中数学竞赛     

越君 《中等数学》2011,(7):29-33

一、选择题(每小题5分,共50分)1.化简三角有理式cos4x+ sin4x+ sin2x· cos2x/ sin6x+ cos6x+ 2sin2x·cos2x 的值为( ).(A)1(B)sinx+cosx(C)sin x·cosx (D)1 +sin x·cosx2.设p:(x2 +x+1)(√—)x+3≥0,q:x≥-2.则p是q的( )条件.  相似文献   

“2006”趣题六则     

史浩春 《高中数学教与学》2005,(12):47-48

1.已知f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,求ff((21))+ff((32))+ff((34))+…+ff((22000065))的值.2.已知函数f(x)=log21(x2+2x+4),试比较f(-2006)与f(-2005)的大小.3.已知数列{an}的前n项和Sn=log12006(1+n),求a2006+a2007+…+a20062-1.4.已知a≠0,且sinx+siny=a,cosx+cosy=a,求(sinx+cosx)2006的值.5.求证:log321006+log222006+1log1672006<1.6.已知直线kx+(k+1)y-1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为Sk,求S1+S2+…+S2006.参考解答1.取y=1,则f(x+1)=f(x)·f(1)=2f(x),即f(fx(+x)1)=2.所以ff((21))+ff((23))+f(4)f(3)+…+ff((22000065))=2+22…  相似文献   

2010年莫斯科大学数学力学系入学考试试题解答     

郑元禄 《中学数学月刊》2012,(1):62-64

第1卷1解方程组2解不等式（1-x）/x>（（3x-2）/（3x+4））^1/2.3求函数f（x）=4/（3cos²x+2sin x-1）的最小正函数值.4如果已知在ΔABC中,∠ABC=π/（12）,BC=5,2AC>AB,中线CD与三角形的边AC所成的角为（5π）/12,求这个三角形的面积.  相似文献   

三角解题失误例析     

封幸力  虞金龙 《数学教学通讯》2002,(4):45-46

三角函数是中学数学的重要内容之一,除具有一般函数的性质以外,还具有一系列特殊的性质,求解时,稍有不慎就会进入误区且不易觉察.多年来的教学发现,三角解题有以下几类常见失误,本文归纳如下:1 忽视函数定义域例 1 求函数y=4sinxcosx/1+sinx+cosx的值域.误解:令sinx+cosx=2~(1/2)sin(x+π/4)=t,则t∈[-2~(1/2),2~(1/2)]  相似文献   

浅谈求解数学中的最值问题     

刘政学 《宜春学院学报》2004,(Z1)

在很多实际问题中 ,我们要面对各式各样的最值问题 ,利用三角函数的最值 ,如正、余弦函数y=Asinx ,y =Acosx的有界性 ,数学中的均值不等式 ,函数的单调性等知识结合起来 ,常常能使问题化腐朽为神奇 ,在解题的思路、技巧上 ,有章可依、有规可寻 ,使问题得到快速、圆满的解决 现举数例加以说明 :例 1:设f (x) =2sinxcosx 52sinx cosx ,x∈ [0 ,π2 ],(1) ,求f (π12 ) ,(2 )求f (x)的最小值 例 2 :求f (θ) 4sinθcosθ - 1sinθ cosθ 1,θ∈ [0 ,π2 ]的最值 上两例是典型的三角函数最值应用题 ,其思路可能是利用正、余弦函数的有界性 |sinx|≤ 1,|cosx|≤ 1或利用均值不等式、或利用函数的单调性 ,经过适当三角变换 ,使问题得到解决 例 1求解如下 :f (x) =2sinxcosx 52sinx cosx =sin2x 522sin (x π4 ),当x =π12 时 ,f (π12 ) =sin π6 522sin π3=6 注意f (x) =1 2s...  相似文献   

一道数学竞赛题的解后反思     

戴志祥 《河北理科教学研究》2013,(2):44-46

问题 设x∈(0,π/2),则函数y=225/4sin2x+2/cosx的最小值为_____. 此题是2007年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第10题,竞赛组委会给出的标准答案如下: 解:因为x∈(0,π/2),所以sinx＞0,cosx＞0,设k＞0,y=225/4sin2x+ksin2x+1/cosx+1/cosx+kcos2x-k≥15(√)2kk+3(√)3k-k①.等号成立当且仅当{225/4sin2x=ksin2x 1/cosx=kcos2x＜＝＞{sin2x=15/2(√)2k cos2x=1/(√)3k2,此时15/2(√)2ｋ+1/(√)3ｋ2＝1,设1/k=t6,则2t4+15t3-2=0,而2t4+ 15t3-2=2t4-t3+16t3-2=t3(2t-1)+2(2t-1)(4t2+ 2t+1)=(2t-1)(t3 +8t2 +4t +2),故(2t-1)(t3+8t2+4t+2)=0.  相似文献