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金中鲜 《初中生学习(中考新概念)》2004,(11)
在证明四条线段成比例时,我们常常会遇到要证明的四条线段在同一直线上的特殊情形.此时,由于在同一直线上找不到平行或相似三角形,这给证题带来一定的困难.代换法是解决这类问题的行之有效的方法.下面举例说明:一、用等线段代换一般证题思路:要证a:b=c:d,可先证a:b=c:x,再证x=d即可.例1 如图1,在△ABC中,AB=AC,G是中线AD上的一点,过点C作CF∥AB,连结BG延长并分别交AC、CF于点E、F.求证:BG:GE=GF:BG.证明: 连结GC,∵AD是等腰△ABC的底边BC上的中线,∴BG=CG,∠GBC=∠GCB.又∵∠ABC=∠ACB,∴∠ABF=∠ECG.∵CF∥AB… 相似文献
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在平面几何中,求证线段等式a·b=c·d±e·f一类命题,是比较繁难的问题之一。本刊84年第1期发表的《“a·b=c·d±e·f”型命题的一种证明方法》。介绍了这类命题的几何证法,本文谈谈这类命题的三角证法。这类几何命题,可用正弦定理证明,也可用余弦定理证明。设a、b、c、d、e、f都是已知图形中的线段,用正弦定理证明a·b=c·d±e·f,其方法是: 第一步,利用正弦定理,考察已知图形中有关的边和角之间的关系,写出c·c±e·f/a·b的三角表达式; 第二步,根据已知条件,将这个三角表达式化简,证明它的值等于1。例1 在△ABC中(图1),已知∠A=2∠B, 求证BC~2=AC~2 AB·AC。证明设∠B=θ,则∠A=2θ,∠C=180°-3θ。在△ABC中,由正弦定理得 相似文献
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勾股定理是初中几何中的一个极为重要的定理，它在数学解题中有着广泛的应用．本文举例说明勾股定理在几何证题中的应用．例1如图1，在△ABC中，AB=AC，BDAC于D．求证：分析在Rt△BDC和Rt△ADB中，由勾股定理，得于是，要证结论成立，只要证即可．这只要经过适当的恒等变形即得．事实上，故结论可证．证明略．例2如图2，在锐角三角形ABC中，CD是高．求证：分析要证结论成立，只要证：（1）（2）要证．这由勾股定理即得．要证，只要证因为AD＋DB=AB，所以此结论成立．故命题结论可证．证明略．例3如图3，在△ABC中，是BC边的… 相似文献
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定理“平行于三角形一边的直线在其他两边上截得的对应线段成比例”及定理“若干条平行线截两条直线,则截得的对应线毁成比例”统称为平行截割定理。平行截割定理可用来证明包含有(或隐含有)线段平行的几何图形的几何命题。证题类型有:直接应用于证明线段的比例式或乘积式;结合题设、图形性质及有关定理间接地证明线段相等、角相等、定值等多种类型。还可以结合成比例线段定理,如相似三角形判定及性质定理、三角形内(外)角平 相似文献
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正弦定理在任何三角形中,边和对角的正弦成正比：
a/sin A=b/sin B=c sin C.
证明：令A、B和C是任意三角形的内角,并令a、b和c为它们的对边．我们考察两种三角形,一种是所有角都为锐角的三角形（图1（a））,另一种是有一个角为钝角的三角形,这里这个角为角A（图1（b））． 相似文献
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平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.这是一个重要的定理,它反映了平面向量分解的唯一性,利用此唯一性可解决求相交线交成线段比的问题.这类题的关键是:首先选择恰当的基底,再将同一向量用两种不同方法表示,由平面向量基本定理得出方程组解出.例1求证:平行四边形ABCD的对角线互相平分.图1证明:如图1,设AB=a,AD=b,AC与BD相交于O,AO=λAC=λ(a+b),BO=μBD=μ(a-b),则b=AB=AO-BO=λ(a+b)-μ(a-b)=(λ-μ)a+(λ+μ)b由平面向量基本定理知… 相似文献
8.
华腾飞 《青苹果(高中版)》2010,(8):21-23
在△ABC中，正弦定理可以写成：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径），这个关系不仅揭示了三角形的边角关系，而且也表明了圆中的弦和所张圆周角之间的关系，因此利用正弦定理，我们既可以解三角形，又可以将三角形中边的关系及角的关系相互转化来证明几何问题。为了实现快速转化，请大家一定要熟练掌握正弦定理的如下变换形式： 相似文献
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证明线段比例式（或等积式），特别是证明圆中的线段比例式（或等积式）是全国各省市中考命题的重点和热点．因此，同学们学习因这一意时，要系统掌握这类命题的证题思路．证明这类命题的基本思路是：1．利用相似三角形．2．利月圆幕定理（相支弦定理、切割线定理和割线定理统称国幕定理）．3利用平行线分线段成比例定理或其推论．其中用得最多的是相似三角形．下面举例说明，供参考．例1已知：如图1，四边形ABCH内接于00，过点D的切线HP／／AB，DP与AC的延长线相交于点P．求证：CD‘一CB·CP．（1996年河北省中考题）分析欲证CD’… 相似文献
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在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC本文试图从多角度探索这一定理的证明方法,供大家参考考。以下均以锐角三角形为例,钝角三角形的情况可仿照证明。 相似文献
11.
证明在同一条直线上的三线段a,b,c成b~2=ac形式,同学们常感困难.究其原因,由于线段a、b、c不显见于两个三角形中,无法直接通过三角形相似达到目的.本文想通过具体例子谈谈这个问题的基本证题思路. 相似文献
12.
臧继 《山西教育(综合版)》2003,(2):37-37
1.a∶ b=c∶ d型这类比例式一般分两种情况 , .成比例线段的前项和后项在一条直线上。即在 a∶ b=c∶ d中 ,a、b在一条直线上 ,c、d在一条直线上。它的证题方法是用平行线分线段成比例定理及其推论证明。 .成比例的线段的前项和后项不在同一直线上。它的证题方法是找两个角相等的相似三角形。例 1.如图 :由△ ABC中 BC边的中点 D引直线交 AC及 BA的延长线交于 E、F。求证 :EA∶ EC=FA∶ FB。分析 :若过 A点作 AG∥ BC交 FD于 G点。则易知 FA∶ FB=AG∶ BD=AG∶ DC=AE∶ EC。2 .an∶ bn=c∶ d型欲证等式 an∶ bn=c∶ d形… 相似文献
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证明线段成比例时,应先观察所证的成比例的四条线段在图形中的分布情况:(1)若恰有两条线段在同一直线上且是比的形式时,符合平行线(parallel lines)截得比例线段定理,因此必须要有平行线或添加平行线;(2)若是对应线段恰好分布在一对三角形中时,往往要证明线段所在的这两个三角形相似。 相似文献
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本文介绍证明线段相等的新方法——比例式法.用比例式法证明线段相等有以下几种类型:一、要证线段a=b,可先证a/b=b/a例1 已知:从△ABC的AB边上一点P作PQ//BC,交AC于Q;从Q作QR//AB,交BC于R;从R作CA的平行线,恰好过P点.求证:P是AB的中点.分析 如图1,要证AP=PB,可从关于AP、PB的比例式着手.由PQ//BC,PR//AC知道AP:PB=AQ:QC,PB:PA=BR:RC.而QR//AB,则AQ:QC=BR:RC,故得AP:PB=PB:AP.∴AP=PB.即P是AB的中点. 相似文献
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贾崇武 《数理天地(高中版)》2006,(1)
题在△月汪弓C中，若匕A一1200，AB一5， BC~7，则△乃BC的面积S一 (05年上海高考题) 正弦定理和余弦定理是解三角形的重要工 具，本题我们分别用正弦定理与余弦定理解之. 所以 14派.二._、 b一一一不下一.sin弋八十七) j 用正弦定理解 在△ABC中，由正弦定理得 B狄 A‘esr自C 相似文献
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申志荣 《数理天地(初中版)》2004,(2)
有一道好题,它囊括了所有与“相似形”有关的知识点:比例线段及其性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质. 题如图1,已知△ABC中,D、E分别在AB、AC上,且DE∥BC,DE=a,BC=b(b>a).求作线 相似文献
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众所周知；a=5的一个充要条件是a≥b且a≤b.利用这一事实证明有关恒等式，思路别致，独树一帜．下面举例说明．例1（1983年合肥市数学竞赛题）在是直角三角形证将已知等式变形，得由(2)知，A、B均为锐角，于是综合(2)、(3)，命题获证．例2已知a、β、γ为锐角.且cosa=证由对称性，不妨设将题设代入(2)，得比较(1)、(3),得由β=γ及题设命题获证．例3已知证由已知不等式，得两式相乘，得例4在矩形ABCD中，BC=2AB，E为AD上一点，且∠DCE=15°，求证：BC=BE.证如图1结合假设假设BE≤BC，则上述推理过程中不等号均反向，导出BC≤BE… 相似文献
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余国清 《数理化学习(高中版)》2006,(7)
正弦定理和余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角函数与几何产生联系.为求与三角形有关的量:如面积、外接圆半径、内切圆半径等提供了理论依据,也是判定三角形形状、证明与三角形有关的三角恒等式的重要依据.正弦、余弦定理是沟通三角形中有关边与角之间的关系的重要定理,应用时要注意对一些变式进行灵活地应用.如正弦定理sianA=bsinB=sincC(R为三角形ABC的外接圆半径),有三种变形:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.利用这些公… 相似文献
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（一）国中线段比例式（或等积式）的证明，是一类综合性较强的几何证明题．证明这类问题，要综合应用相似形和圆的有关知识和方法．它能有效地考查学生综合应用所学知识和方法解决问题的能力．因此，它是全国各省市中考命题的又一个热点．同学们在中考复习中一定要加强这方面的训练，牢固掌握圆中线段比例式（或等积式）的证题思路和证题方法．证明圆中的线段比例式（或等积式）的基本思路有：1．利用相似三角形的性质给出证明；2．利用国幂定理（即相交弦定理、切割线定理和割线定理）给出证明；3．利用平行线分线段成比例定理给出证明．… 相似文献