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1.
一、巧变公式 等差 (比 )数列的通项公式与其首项ａ1有关 ,但实际问题中未必给出ａ1,或者根本不需要考虑ａ1,若还用通项公式求解会造成运算繁琐 ,故将等差 (比 )数列 ａｎ 的通项公式变通为 :ａｎ=ａｍ+(ｎ -ｍ)ｄ(ａｎ =ａｍｑｎ-ｍ) ,其中ｎ ,ｍ∈Ｎ .例 1 等比数列 ａｎ 中 ,ａ2 =- 3,ａ5= 36 ,求ａ8.解 ∵ ａ5=ａ2 ｑ3 ,∴ ｑ3 =ａ5ａ2 =- 12 ,∴ ａ8=ａ5ｑ3 =- 4 32 .例 2 在等差数列ａｎ 中 ,ａｍ +ｎ =ｐ ,ａｍ-ｎ =ｑ,求ａｍ 和ａｎ.解 ∵ ａｍ+ｎ =ａｍ-ｎ+[(ｍ+ｎ) - (ｍ -ｎ) ]ｄ ,即=ｑ+ｎ(ｐ- ｑ)2ｎ=ｐ+ｑ2 .∴… 相似文献
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擂台题 (5 4 ) :证明或否定若ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的三边长 ,实数λ≥ 2 ,则(ｂ+ｃ-ａ) λｂλ+ｃλ +(ｃ+ａ -ｂ) λｃλ+ａλ +(ａ +ｂ -ｃ) λａλ+ｂλ ≥ 32①引理 若ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,实数 ｐ≥ 1 ,则(ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ②证明 (1 )当 ｐ =1时 ,②式等号成立 ,(2 )当 ｐ >1时 ,令 ｆ(ｘ) =ｘｐ(ｘ >0 ) ,这时 ,ｆ′(ｘ) =ｐｘｐ- 1,ｆ″(ｘ) =ｐ(ｐ -1 )ｘｐ - 2 >0 ,所以 ｆ(ｘ)是 (0 ,+∞ )上的凹函数。因为ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,由琴生不等式知ｆ(ｍ +ｎ2 )≤ ｆ(ｍ) +ｆ(ｎ)2 ,即有 (ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ,当且仅当ｍ =ｎ… 相似文献
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题目 设ｍ、ｎ、ｐ为正数 ,且ｐ >ｍ ,ｐ >ｎ .求证 :ｍ2 +ｎ2 +(ｐ-ｍ) 2 +ｎ2 +(ｐ-ｎ) 2 +ｍ2 +(ｐ-ｍ) 2 +(ｐ -ｎ) 2≥ 2 2ｐ.初见此题 ,感到十分困惑 ,不知从何入手去解 .用代数法来解这道题 ,会非常繁杂 .但仔细观察会发现这样一个规律 ,那就是不等式左面几个代数式的形式都如勾股定理变化后的形式 ,即ｃ=ａ2 +ｂ2 ,你想到了什么 ?对 !就是用几何方法去解决它 .图 1 证明 作边长为ｐ的正方形ＡＢＣＤ ,如图 1 ,在ＡＢ边上截取ＡＥ =ｎ ,在ＡＤ边上截取ＡＧ =ｍ ,则ＢＦ =ｐ -ｎ ,ＧＤ=ｐ -ｍ .再分别过Ｇ、Ｅ作ＡＢ、ＡＤ的平行… 相似文献
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一、数论部分1.设ｋ和ｎ是正整数 ,且ｎ >2 .证明 :方程ｘｎ -ｙｎ=2 ｋ无正整数解 .(第 5 3届罗马尼亚数学奥林匹克决赛 )证明 :反证法 .设ｎ0 >2是满足ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｍ(ｍ >0 )中最小的一个 .若ｎ0 是偶数 ,设ｎ0 =2ｌ,ｌ∈Ｎ ,则ｘ2ｌ-ｙ2ｌ =(ｘｌ-ｙｌ) (ｘｌ+ｙｌ) ,于是ｘｌ-ｙｌ 是 2的整数次幂 ,与ｎ0 的最小性矛盾 .若ｎ0 是奇数 ,定义集合Ａ ={ｐ|ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ,ｐ、ｘ、ｙ均为正整数 } .设ｐ0 是Ａ中最小的一个元素 ,则ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ0 ,所以ｘ、ｙ的奇偶性相同 .又因为(ｘ -ｙ) (ｘｎ0 -1+ｘｎ0 -2 ｙ +… +ｘｙｎ… 相似文献
5.
某些不等式 ,我们通过观察其结构特点 ,可发现与三角形有着某种直接或间接的联系 ,特别是当题中含有“ａ2 ｂ2 =ｃ2 ”这一信息时 ,则可构造直角三角形 ,利用三角形边、角之间的关系 ,使不等式获得自然、直观、简捷的证明 .下面举例加以说明 .1 直接由题设“ａ2 ｂ2 =ｃ2 ”构造直角三角形 .例 1 设ｍ ,ｎ ,ｐ为正实数 ,且ｍ2 ｎ2 =ｐ2 ,求证 :ｐｍ ｎ ≥ 22 . 图 1证明 注意到ｍ ,ｎ ,ｐ为正实数 ,且ｍ2 ｎ2 =ｐ2 ,故可构造一个直角三角形 .如图 1,构造Ｒｔ△ＡＢＣ ,使ＡＣ =ｍ ,ＢＣ =ｎ ,ＡＢ =ｐ ,则ｍ ｎｐ =ｃｏｓ… 相似文献
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知识链接 二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的顶点坐标是- ｂ2ａ,4ａｃ-ｂ24ａ .所以 ,当ａ <0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最大值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ >0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最小值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ .例 1 用长 8ｍ的铝合金条制成如图 1形状的矩形窗框 ,使窗户的透光面积最大 ,那么这个最大透光面积是 ( ) .(Ａ) 6 42 5 ｍ2 (Ｂ) 43ｍ2 (Ｃ) 83ｍ2 (Ｄ) 4ｍ2(2 0 0 1年浙江省金华市中考题 ) 解 设窗户的宽为ｘｍ ,高为ｙｍ ,则 3ｘ+2ｙ=8.∴ ｙ =4- 32 ｘ .设透光面积为Ｓｍ2 ,则Ｓ =ｘｙ=ｘ 4- 32 ｘ … 相似文献
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训练思维 ,提高能力 ,是学好数学的根本保证 .如何提高数学思维能力 ?同学们在平时学习中可从以下三方面着手 .一、重视一题多解玻利亚曾指出 :“掌握数学就是善于解题” .根据问题的条件探索多种解题思路 ,一方面可以巩固所学知识 ;另一方面可以提高思维能力 .例 1 已知ｍ、ｎ、ｐ都是正数 ,且ｍ2 -ｐ2 ｎ2=0 .求 ｍ ｎｐ 的最大值 .解法 1:ｍ、ｎ、ｐ都是正数 .ｍ2 ｎ2 ≥ 2ｍｎ .再由已知 :ｐ2 =ｍ2 ｎ2(ｍ ｎｐ ) 2 =ｍ2 ｎ2 2ｍｎｐ2 ≤ｍ2 ｎ2 ｍ2 ｎ2ｐ2 =2即 :ｍ ｎｐ 的最大值为 2解法 2 :设ｍ =ｐｃｏｓα ,ｎ=ｐｓｉ… 相似文献
8.
汪显林 《中学数学教学参考》2000,(9):59-61
本文目的是探讨一个自然数如果是奇完全数 ,则其应具有的一些性质 .主要引理在本文中ｎ =ｐ1α1ｐ2 α2 … ｐｋαｋ,其中 ｐ1,ｐ2 ,… ,ｐｋ 为ｎ的不同素因子 .引理 1 若ａ >ｂ >0 ,ｍ >0 ,则 ａｂ>ａ ｍｂ ｍ .引理 2 ｐ≠ 2 (1 -1ｐ2 ) -1=π28(此处 ｐ经过一切奇素数 ) .证明 :由文 [1 ]知 ｐ(1 -1ｐ2 ) -1=π26 (ｐ经过一切素数 ) ,∴ ｐ≠ 2 (1 -1ｐ2 ) -1=π26 × (1 -12 2 ) =π28.引理 3 (1 )若 (1 1ｐｉ-1 )≤ 2 (ｐｉ 为ｎ的不同素因子 ) ,则ｎ不是奇完全数 .(2 )若 (1 1ｐｉ)≥ 2 (ｐｉ 为ｎ的不同素因子 ) … 相似文献
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同学们在学习了一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系以后 ,很容易形成思维定势 :只要是一元二次方程的根 ,就用根与系数的关系 .有时会出现计算量很大的情况 .若能巧妙运用方程的根 ,则可化繁为简 .例 1 已知α、β是关于ｘ的方程 :ｘ2 +(ｍ + 2 )ｘ +ｍ + 7=0的两个实根 ,且α2 + β2 =5 ,ｐ、ｑ是关于ｙ的方程ｙ2 + (ｎ -1)ｙ +ｍ =0的两个实根 .求(ｍ +ｎｐ +ｐ2 ) (ｍ +ｎｑ +ｑ2 )的值 .(1999年北京市八一中学中考模拟题 )解法一 (略解 )由α2 + β2 =5 ,易得ｍ =-5 .∴ (ｍ +ｎｐ +ｐ2 ) (ｍ +ｎｑ +ｑ2 )=(-5 +ｎｐ +ｐ2 … 相似文献
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1 (孙文彩供题 ) 在△ＡＢＣ中 ,任何关于其内角的不等式Ⅰ满足如下条件 :(1 )经代换Ｔ1:∑ｃｏｓＡ =2ｎ 1 ,∑ｓｉｎＡ =2ｍ后 ,Ⅰ能等价化为关于ｍ、ｎ的二元实不等式形式 ｆ(ｍ ,ｎ)≥ 0 (≤ 0 ) (其中ｎ∈ (0 ,14],ｍ∈ (0 ,3 34]) ( )(2 )不等式 ( )经等腰代换Ｔ2 : 相似文献