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我们熟知两个数列恒等式1．α_1 (α_2-α_1) (α_3-α_2) … (α_n-α_(n-1))=α_n．2．α_1·α_2/α_1·α_3、α_2……α_n、α_(n-1)=α_n(α_n≠0)．笔者在教学中发现这两个恒等式在求数列通项及数列恒等式与不等式的证明中有着不可低估的作用．下面举例说明上述恒等式的应用． 相似文献
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已知数列{a_n}中,a_1=p,a_(n 1)=qa_n r,求通项公式a_n,其中p、q、r为常数,且q≠0,q≠1。 显然r=0时,a_(n 1)=qa_n,这时{a_n}为等比数列,易推得a_n=pq~(n-1);当r≠0,q=1,a_(n 1)=a_n r,{a_n}是等差数列,易推得a_n=a_1 (n-1)r。 相似文献
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高中代数(甲种本)第二册77页上有这样一道习题: 已知数列{a_n}的项满足 a_1=b a_(n+1)=ca_n+d(c≠1),证明这个数列的通项公式是 a_n=(bc~n+(d-b)c~(n-1)-d)/(c-1) 我们把这题推广成: 已知数列{a_n}的项满足 a_1=a a_(n+1)-ba_n=c_0+c_1n+c_2n~2+…+c_mn~m,其中b≠0,求这个数列的通项公式. 这类问题,可以用待定系数法解决.以 相似文献
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焦景会 《河北理科教学研究》2006,(1):45-46
对于函数f(x),若存在x_0∈R,使f(x_0) =x_0成立,则称x_0为函数f(x)的不动点．数列与函数密切相关．对于a_(n 1)=(pa_n q)/(ra_n s)型递推数列,利用不动点可以妙求其通项公式．先推导a_(n 1)=pa_n q(p≠1)型递推数列的通项公式．∵p≠1,所以存在α满足α= 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(9)
<正>数列的通项公式是高考重点考查的知识点之一,求数列通项公式的方法也很多,在具体的问题中选择最适当的方法来解决是重中之重。本文主要介绍用特征根法求数列通项公式。若常系数齐次线性递归数列的递归关系为:a_(n+k)=c_1a_(n+k-1_+c_2a_(n+k-2)+…+c_ka_n,则称方程xk=c_1xk=c_1x(k-1)+c_2x(k-1)+c_2x(k-2)+…+c_k为其特征方程,方程的根称为{a_n}的特征根。定理:如果x_1,x_2是递推关系a_n= 相似文献
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在新教材第一册 (上 )第 1 1 4页 ,有这样一道习题 .写出下面数列 {an}的前 5项 :a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 )下面就此题作探讨 .一、引申递推公式的概念既然在新教材中出现 ,那么已知递推公式求通项公式 ,学生将乐于接受 .因此对上述习题作下面引申 :【例 1】 已知数列 {an}的项满足a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 ),求通项an.【例 2】 (旧教材P12 63 4题变式 )已知数列{an}的项满足 a1=ban + 1=can +d 其中c≠ 0 ,c≠ 1 ,求这个数列的通项an.其实 ,在an+ 1=can+d(c≠ 0 )中 ,若c =1 ,则该数列是公差为d的等差数列 ;若d=0 ,因为c≠ 0 ,则该数… 相似文献
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文[1]给出了求一类递推数列通项公式的若干技巧,读后颇受启发.文[1]指出:“若数列{an}有递推式pan qan ran s=0,其中 1?1p、q、r≠0,当p q r=0时,可变形为rsan?an= 1(an?an)?,这时用换元法不p?1p难求得数列的通项公式;当p q r≠0时,则用换元法无法解答,只能用公式法解答.”但事实并非如此,其实与“p q r=0”的情形类似,当p q r≠0时,同样可以用换元法解答.当s=0时,在原递推式两边同时加上λan,并整理为qr/pan λan=(? 1 λ)(an?an),p?q/p λ?1r/p再令λ=?,解出λ的值,即可用换元?q/p λ法求解;当s≠0时,在原递推式两边同加上λan μ,并整理… 相似文献
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题目 设a1=5，a(n 1)=2an 3，求数列{an}的通项公式．这是一道非常有研究价值的常见数列题，其不同解法涵盖了求数列通项公式的主要方法和知识点，不仅可以加深“形如a(n 1)=pan r(p≠0，p≠1)的递推数列问题”的认识，而且对解题能力的提高和训练思维的灵活性都大有益处． 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(5)
<正>求数列的通项公式是高考的重点之一,因此掌握数列通项公式的求法至关重要,本文就构造辅助数列求通项公式的几种情况进行论述。1.递推公式形如:a_n=pa_(n-1)+q(p,q为常数,pq(p-1)(q-1)≠0)。处理方法:(1)利用待定系数法变形为a_n+λ=p(a_(n-1)+λ),即构造数列{a_n+λ}为公比为p 相似文献
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若x0 满足方程 f(x0 ) =x0 ,则称x0 是函数f(x)的一个不动点 .利用递推数列 f(n)的不动点 ,可将某些由递推关系an =f(an- 1 )所确定的数列转化为较易求通项的数列 (如等差数列或等比数列 ) ,这种方法称为不动点法 .下面举例说明两种常见的递推数列如何用不动点法求其通项公式 .结论 1 若f(x) =ax +b(a≠ 0 ,a≠1) ,p是f(x)的不动点 ,an 满足递推关系an= f(an- 1 ) (n >1) ,则an-p=a(an - 1 -p) ,即 an-p 是公比为a的等比数列 .证明 ∵p是f(x)的不动点 ,∴ap+b =p ,∴b -p=-ap .由an =a·an- 1 +b ,得an-p=a·an- 1 +b -p=a·an- 1 -ap=a(a… 相似文献
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数列的递推关系是给出数列的一种重要方法 ,2 0 0 0～ 2 0 0 3年的高考试题都有涉及及数列递推关系的题目 ,而由数列的递推关系确定数列的通项往往是解决数列问题的关键 ,同时也是对学生进行数学思想方法教学的重要载体 ,比如参数法、叠加法、迭代法、换元法、构造法等 .下面笔者对常见的几种数列递推关系的求通项策略进行解析 .类型 1:an+ 1 =p an +q解析 :当 p =1时数列为等差数列 ,当 q =0 ,p≠ 0时数列为等比数列 .当 p≠ 1,p≠ 0 ,q≠ 0时 ,引入参数λ,令an+ 1 -λ =p( an -λ) ,整理得 an+ 1 =pan+( 1-p )λ,由 ( 1-p)λ=p,所以λ=q1-… 相似文献
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高中代数下册第132页有这样一道习题:“已知数列{a_n}的项满足,其中c≠0,c≠1,证明这个数列的通项公式是:a_n=[bc~n (d-b)c~(n-1)-d]/(c-1)。” 以这道题为引子,可作如下思考。 思考之一:如果将此题的证明改为求这个数列的通项公式,该如何求呢?很显然这是属于已知数列的递推关系式求其通项公式的问题。而这类问题本身对高中学生来说就是一个难点,但对培养学生能力来说的确是一类较好的题型。此题当c=1时就是等差数列;当c≠0,d=0时就是等比数列;当c≠0,c≠1就可以看成由等差或等比数列生成的新数列,不妨称它为等比差数列。下面就当c≠0,c≠1时介绍几种中学生可以接受的方法。 相似文献
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给出数列{an}的递推公式和首项a1,求数列{an}的通项公式,往往我们可以将所给出的递推公式进行变形,使问题转化为所熟知的bn+1=f(n)bn形式,当bn≠0时,变形得到(b(n+1))/bn=f(n),则由累乘法可得bn=bn/(b(n-1))·(b(n-1))/(b(n-2))…b3/b2·b2/b1·b1= f(n-1)f(n-2)…f(3)f(2)f(1)b1,若f(n-1)、f(n-2)、…、f(3)、f(2)、f(1)的积容易求出,则数列{bn}的通项公式可求出,从而得到数列{an}的通项公式. 相似文献
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本文介绍求一类数列的前n项和的方法. [定义] 满足循环方程u_k+λ_1u_(k-1)+λ_2u_(k-2)+…+λ_ru_(k-r)=0(k≥r,λ_r≠0)的数列{u_k}称为r阶循环数列.若{u_n}是r阶循环数 相似文献
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由数列的递推公式求通项公式,往往是通过变形转化为等差或等比数列来解决.变形是关键,有着较强的技巧.这里介绍一种利用不动点来求通项的方法,对解决以下几种类型的题目简单、易行.对于函数f(x),若存在x0,使f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.1.形如an+1=pan+q(p≠0).例1已知数列{an},满足a1=1,an=-12an-1+1,求an.解令f(x)=-12x+1,解x=-12x+1得f(x)的不动点x=23.在an=-12an-1+1的两边分别减去23,得an-23=-12(an-1-23),即数列{an-23}是以a1-23=13为首项,q=-12为公比的等比数列.所以an-23=13(-12)n-1,即an=23+13(-12)n-1.总结对于an+1=pan+q,构造… 相似文献
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在数列{an}中,若已知a1,且满足
an 1=pa2n qan r, (1)
其中p、q、r为常数,p≠0,则数列{an}叫做常系数一阶二次递归数列,(1)式叫做该数列的递归方程.…… 相似文献