辅助角公式的应用     

叶节茂 《数学教学通讯》1986,(4)

在六年制重点中学高中数学课本代数第一册上有这样一道例题,化asinα bcosα为一个角的三角函数形式,课本上最后解答是这样的: asinα bcosα=(a~2 b~2)~(1/2)sin(α φ)……(A)(其中φ角所在象限由a,b符号确定,φ角的值由tgφ=b/a确定) 因为角φ通常称为辅助角,故本文中把公式(A)称为辅助角公式,此公式在求值,证恒等式,不等式,求极值等方面均有十分广泛的应用,现举例如下。 [例一] 已知:a、b不同时为零,且 asinx bcosx=0 … (1) Asin2x Bcos2x=c … (2) 求证:2abA (b~2-a~2)B (a~2 b~2)c=0 证明:将(1)式变形为 (a~2 b~2)~(1/2)sin(x φ)=0 … (3) ∵ a,b不同时为零,由(3)得 sin(x φ)=0  相似文献   

对一个例题的补注     

黄春继 《数学教学通讯》1982,(5)

阅读了本刊81.5(封三)《一个例题的注记》之后,受益非浅。但文中说“φ由sinφ=b/(a~2+b~2)~(1/2),cosφ=a/(a~2+b~2)~(1/2)确定”,我看还可以把这个条件改得更为简单确切。  相似文献   

辅助角公式在高考三角题中的应用     

柳毓 《数理化学习(高中版)》2006,(20)

对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:y=asinx+bcosx=a2+b2(sinx·a22+cosx·b a2+b2).由于上式中的aa2+b2与ba2+b2的平方和为1,故可记aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ,则y=a2+b2(sinxcosθ+cosxsinθ)=a2+b2sin(x+θ).由此我们得到结论:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+θ),()其中θ由aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ来确定.通常称式子()为辅助角公式.它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析.一、求周期例1(2006年上海卷选)求函数y=2cos(x+π4)cos(x-π4)+3sin2x的最小…  相似文献   

例说函数y=Asin(ωx+φ)+κ的应用     

范运灵 《理科考试研究》2012,(3):17-18

一、考查函数的奇偶性对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)(φ≠0),当φ=kπ(k∈z)时,函数f(x)为奇函数;当φ=kπ+π/2(k∈z)时,函数f(x)为偶函数;否则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.例1函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ=  相似文献   

asinx+bcosx=c的判别式及其应用     

于志洪 《数学教学研究》1984,(4)

已知方程 asinx+bcosx=c。①其中a、b、c都是给定的实数,且a、b不同时为零,x∈[x_0,x_0+2π),x_0是任一固定常数。设△=a~2+b~2-c~2,则当△>0时,方程①有两个不相等的实数根; 当△=0时,方程①有两个相等的实数根; 当△<0时,方程①没有实数根; 证明∵a、b不同时为零, ∴(a~2+b~2)~(1/2)≠0。∴sin(x+φ)=C/((a~2+b~2)~(1/2))。②(其中φ是辅助角,a≠0时,tgφ=b/a;b≠0  相似文献   

三角中一个重要命题及其应用     

翟小军 《中学数学月刊》2005,(8):44-45

1 命题及其证明 命题三角方程asin x bcosx=c有解的充要条件是a2 b2≥c2. 证明原方程可化为(a)/(a2 b2)sin x (b)/(a2 b2)cos x=(c)/(a2 b2),即sin(x θ)=(c)/(a2 b2)(其中θ角所在象限由a,b的符号确定,θ角的值由tan θ=(b)/(a)确定).  相似文献   

方程asinx+bcosx=c有解的充要条件在解题中的应用     

田文清 《中学数学研究(江西师大)》2002,(3):40-41

大家知道,三角式asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+ψ),其中tanψ=b/a,而|sin(x+ψ)|≤1,由此可知三角方程asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2,对于这个充要条件中等号何时成立,我们可做如下推导: ∵ a2+b2-c2=a2+b2-(asinx+bcosx)2=a2+b2-a2sin2x-2ab·sinxcosx-b2cos2x=a2(1-sin2x)-2absinxcosx+b2(1-cos2x)=b2sin2x-2absinxcosx+a2cos2x=(acosx-bsinx)2.∴当且仅当bsinx=acosx时a2+b2=c2成立.  相似文献   

一类条件等式的行列式证法     

汪祖亨 《数学教学通讯》1984,(1)

线性方程组的行列式解法,以其思路清晰、排列整齐、运算简便而见长。在处理一些条件等式的证明问题时,如果可以将各已知条件视为关于某些量的线性方程组。则用行列式的方法往往能方便地完成证明。试举两例: 例1 已知a cosθ+b sinθ=c a cos φ+b sinφ=c ((φ-θ)/2≠kπ,k∈J) 求证: (a/(cos(θ+φ)/2)=b/(sin(θ+φ)/2)=c/(cos(θ+φ)/2). (统编高中数学第一册、复习题三,25题) 证明:将两个已知条件视作a、b为未知数的二  相似文献   

一个不等式证法的优化     

徐彦明 《中学数学月刊》1998,(11)

本文给出不等式x/(1 x xy) y/(1 y yz) z/(1 z zx)≤1(其中x,y,z∈R_ )的一种最简单的证法。这种证法只需引用不等式(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9 (*)其中a,b,c∈R~ 。 令a=x/(1 x xy),b=y/(1 y yz),c=z/(1 z zx)易知 1/a 1/b 1/c=1/x 1 y 1/y 1 z 1/z 1 x=3 (x 1/x) (y 1/y) (z 1/z)≥3 2 2 2=9,当且仅当x=y  相似文献   

一个三角问题的再思考     

刘宜兵  闫正国 《高中数学教与学》2013,(19):44-45

<正>几乎每年的高考题中,都有涉及asin x+bcos x形式的三角问题.处理这类问题时,我们常用到辅助角公式asin x+bcos x=(a2+b2)～(1/2)sin(x+φ).此法对简化三角问题的处理有积极的作用,但由于涉及辅助角,有时应用不太方便.实际上,对于三角方程asin x+bcos x=  相似文献   

数学奥林匹克高中训练题(143)     

李潜 《中等数学》2011,(7):40-46

第一试一、填空题(每小题8分,共64分)1.已知正实数a、b、c满足(1+a)(1+b)(1+c)=8.则abc+9/abc的最小值是____.2.设O是锐角△ABC所在平面内一点(在△ABC外),CD⊥AB于点D.若→OA=a,→OB =b,→OC=c,则→OD＝____(用a、b、c表示).3.函数f(x)=│sinx+1/2sin 2x｜(x∈R)的值域是____.  相似文献   

向量考题的三个交汇点     

王秀奎  李成国 《高中数学教与学》2003,(11):37-39

向量及其运算是高中教材的新增内容 ,它融数、形于一体 ,具有代数形式和几何形式的“双重身份” ,使它成为中学数学知识的一个交汇点 ,成为联系多项内容的媒介 .下面举例说明向量与三角函数、解析几何、立体几何的交汇 .一、向量与三角函数的交汇例 1　已知 ,a=cos32 x ,sin32 x ,b=cos x2 ,-sin x2 且x∈ 0 ,π2 .( 1)求a·b及 ｜a +b｜ ;( 2 )求函数 f(x) =a·b -4 ｜a +b｜的最小值 .解　 ( 1)按向量运算的意义 ,有a·b=cos32 xcosx2 +sin 32 x　· -sin x2=cos 32 x +x2=cos 2x .a+b =cos32 x+cos x2 ,sin32 x-sin x2 ,｜a +b｜ =cos32 …  相似文献   

探究运用三角函数对称性、奇偶性解题     

张炳存 《数理化解题研究》2013,(9):12-13

一、三角函数对称问题三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象具有对称性.根据图象,由ωx+φ=κπ+π/2,得对称轴方程是x=1/ω（κπ+π/2-φ）;再由ωx+φ=κπ,得对称中心是（（κπ-φ）/ω,0）（以上k∈Z）.下在同通过一道高考题,给出求解三角函数图象对称问题的几种处理策略.例1函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/8对称,求实数a的值.分析一般地,可考虑利用公式asinx+bcosx=（a²+b²）^1/2sin（x+φ）,将f（x）化为只含一个三角式的形式,f（x）=（a²+1）^1/2(sin2x·1/（a²+1）^1/2+cos2x·a/（a²+1）^1/2)=（a²+1）^1/2sin（2x+φ）,其中sinφ=a/（a²+1）^1/2,cosφ=  相似文献   

研究怎样求三角函数的角与解析式提高解题能力     

徐友 《数理化解题研究》2013,(8):29

一、求有关角例1如图1,它是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的一段图象,试求它的一个解析式.解由图象易见它的振幅A=2.又由周期T=2π/ω=2(5π/4-π/2)=3π/2,得ω=4/3.此时已得到y=2sin(4/3x+φ)(*).以下是求初相角φ的几种不同方法.方法1(直接代点法)图象过点(π/2,0),可直接把这点坐标代入式子(*)中,有sin(2π/3+φ)=0.但注意到点(π/2,0)是在图象递减的那段上,故有2π/3+φ=2kπ+π(k∈Z).又题目中要求|φ|<π/2,故上式可取k=0,得  相似文献   

圆锥曲线的渐屈线和曲率圆     

杨胜  梁双凤 《楚雄师范学院学报》2009,24(6):29-34

曲线C在点P(x0,y0)曲率圆是与该曲线C相切于点P(x0,y0)(凹侧)的最大圆,曲率圆的圆心D的轨迹曲线G称为曲线G的渐屈线.抛物线y2=2px(p>0)、椭圆x2/a2+y2/b2=1和双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐屈线方程分别为y2=8/27P(x-p)3、x3/(c2/a2/3=1和x3/(c2/a2/3-y3/(c2/b)2/3=1.抛物线、椭圆和双曲线的最小曲率圆都是它们的内切圆,其方程分别为(x-P)2+y2=p2、(x±c2/a)2+y2=b4、(x±c2/a)2+y2=b4/a2.  相似文献   

利用辅助角公式探讨函数y=(a_1sinx b_1cosx c_1)/(a_2sinx b_2cosx c_2)的值域     

李毅 《内江师范学院学报》1998,(4)

本文将利用辅助用公式asinx bcosx=(a~2 b~2)～(1/2)sin(x φ)(tgφ=b/a)对函数a_1sinx b_1cox c_1/a_2sinx _2conx c_2的值域进行探讨,并对所对值域的可靠性进行讨论.用此方法求函数y=a_sinx b_1cos c_1/a_2sinx b_2cosx c_2的值域具有一定的广泛性,实用性  相似文献   

一个不等式的初等证明     

马占山  魏光敏 《中学数学研究(江西师大)》2013,(7):24

题目设a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=了1时取到等号.文[1][2]给出了不同的证明方法,本文再给出更简单的证明方法.证明:注意到b~2-b+1=(b-1/3)~2+1/9(8-3b)≥1/9(8-3b),同理有c~2-c+1≥1/9(8-3c),  相似文献   

化asinα+bcosα为一个角的三角函数式的两种方法     

陈松青 《零陵学院学报》1994,(Z1)

化asinα+bcosα为一个角的三角函数式,是高一代数中的重要内容之一。公式asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+φ),对于高一学生最棘手的是φ值的确定。笔者在近几年的教学中采用下面两种方法,化解了难点,学生便于接受,效果较好。方法一:由tgφ=b/a及a、b的符号确定φ的值。  相似文献   

辅助角公式在解题中的应用     

林明成  汪建 《中学生理科应试》2012,(9):9-11

我们知道,辅助角公式asinx＋bcosx=√a^2＋b^2sin（x＋φ）（其中a、b是不为零的实数,φ角由cosφ=a/√a^2＋b^2,sinφ=b/√a^2＋b^2确定）,  相似文献   

怎样证明条件等式     

李琴堂 《数学教学通讯》1986,(4)

有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z  相似文献