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有这样一道题,其多种解法可贯串复数这一单元的所有内容,因之,设计了如下边复习、边解题的教学方案,就教于同行。 1 识属 题 已知p,q都是正实数,复数z满足条件|z-p|=p和z (q/z)是实数,求z 首先引导学生识题。依题意,显然z≠0,欲求的解答是用p,q表示z。当z是实数时,容易由条件|z-p|=p求出z=2p(注意z=0应舍去),因而,解出此题的关键是求满足题意的虚数。这样就自然地考虑应用复数的概念,复数的三角形式、共轭复数或复数的几何意义等来求解。 相似文献
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复数是高中代数的重要内容 ,由于它有多种表示方法 (代数法、三角法和指数法等 ) ,能将代数、三角、几何等知识紧密地联系起来 ,因此 ,在数学竞赛中常有有关复数的考题 .另外 ,复数本身也可作为一种方法 ,运用复数法可以解决函数最值、三角恒等式、组合问题、不等式问题、数列问题等 .1 求函数最值例 1 若 x,y,z∈ ( 0 ,+∞ ) ,且 x+ y+ z= 1 ,求 u=x2 + y2 + xy + y2 + z2 + yz+x2 + z2 + xz的最小值 .略解 令 z1 =( x+ 12 y) + 32 yi,z2 =( y+ 12 z) + 32 zi,z3=( z+ 12 x) + 32 xi,∴ u=| z1 | + | z2 | + | z3|≥ | z1 + z2 + z3|=3.… 相似文献
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周作杰 《数理天地(高中版)》2002,(2)
第十二届高二第2试,有一题是: 已知复数z,ω满足:|z-1-i|-|z|=2~(1/2),|ω+3i|=1,则|z-ω|的最小值为( ) (A)2.(B)17~(1/2)(C)-1 (D)不能确定的. 解此题,若是考虑设z=a+bi,w=x+yi(a,b,x,y∈R)如此下去,则推算很艰难!最好的方法是从几何背景去想,则很容易破解.方程 相似文献
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对于一个复数方程,两边取模会导致增解,而两边同时取共轭得到的是与原方程同解的方程,怎么会导致增解呢?但这样的奇怪事情却发生了:请看下面两例. 例1 已知z是复数,且z~3=z,求z. 解法一:在z~3=z两边取模得|z|~3=|z|,即|z|=1或|z|=0.若|z|=1,则在z~3=两边同乘以z得z~4=1,z=±1或z=±ι.连同z=0共五个解,代入原方程知都是原方程的解. 解法二:z~3=. ①两边同取共轭得=z ②把①中的=z~3代入到②式中得z~9=z,解得 z=0或z~8=1. 显然比上面解法多出4个根.奇怪的是①式与②式互为充要条件,是同解的,由它们联立的方程组所得的结果应该是它们的公共解,而解为什么能多呢?我们再看一例. 相似文献
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1 对一道常见的复数题的推广 下面是一道常见的复数题,我们记作 命题1 若z是非零复数,那么 z 1/z是实数的充要条件是z是实数或│z│=1. 推论 若z是虚数,则z 1/z是实数的充要条件是│z│=1. 很自然地,我们会思考式子z 1/z中的常数若不是1而是任一正实数α,将会推得什么结果?于是,有: 命题2 若z是非零复数,a∈R~ ,则z a/z∈R的充要条件是z是实数或│z│~2=a. 证明 充分性显然,下证必要性. 相似文献
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第12届“希望杯”高二第2试17题是:复数z满足z+z·|z|3=0,则z=____.本文从不同角度给出六种解法,繁简有别,各有特色,体现了求解复数方程的方法. 解法1 用复数的代数形式令z=a+bi(a,b∈R),则 相似文献
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有关三角函数的问题,角式变形公式求解. 设复数三角形式 之=cogo+艺sino, :一丈二eoso一艺sino。 (1)·:一(2)·z整理,得 月可应用复数的三:2“+1 2全”⑥(l) (2)二2’‘一1乞(呀云不万’艺(z艺”+1)⑦5 ino二(1)。之十:2一12艺二(2)·z整理,得 z艺+1 2之COS左0二tgn口二e七gno二,2月1① 上述八个变形公式,把角分别用复数z的代数式来表示⑧0的三角函数,可把三角函C080=②数的问题转化为代数式的恒等变形的问题.由同角三角函数关系,得例1求sin等一s‘n磊的值·tgs22一1叔二「不乃一,③解:设z=cos工十10乞5 Ine七90=玄(z“+1)④由棣莫佛定理… 相似文献
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若复数z1,z2,z3满足z1 z2 z3=0且|z1|=|z2|=|z3|=1，则复平面内以z1，z2，z3所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形． 相似文献
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解决复数问题时 ,若能巧妙利用共轭复数的性质 ,不仅能使学生更好的理解这些性质 ,熟练的进行复数运算 ,而且还会使解题过程大为简化 ,计算结果迅速呈现 ,下面就利用共轭复数的一些性质所解决的几类问题举例说明 .1 利用“z1=z2 z1= z2 ”巧解复数方程方程问题的常规解法是设z =a+bi (a ,b∈R) ,然后依复数相等的条件解关于a ,b的方程组 ,但若利用上述性质来解 ,效果更佳 .例 1 在复数C中解方程z2 = z ,解 ∵z2 = z ①∴ ( z) 2 =z ,②把①代入②得z4 =z ,即z(z3- 1) =0 ,∴z=0 ,或z=1,或z =- 12 ± 32 i,例 2 解方程z z- 3i z =1+… 相似文献
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贵刊文（*）中例2是一道复数方程题:已知复数z的模|z|=1,且z~(11) Z=1,求Z.(1988年苏州竞赛题)文（*）所给解法如下:由条件得z~(11)=1-z,两边取模得|z~(11)|=|1-z|.∵|z|=1,∴|z~(11)|=1,于是|z|~2=|1-Z|~2,即zz=(1-z)(1-z）=1-z-z zz,∴z z=1.令z=a bi代入上式,得 a=1/2,由 a~2 b~2=1,得b=±(3~1/2)/2,∴z=1/2±(3~1/2)/2i.文对这种解法进行了概括:“此例采用复数取模,使复数转化为实数,又在新层次上将实数转化为复数”. 相似文献
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|z|~2=z·z是复数模的一个很重要的性质。利用它解决与复数模有关的问题特别有效。例1 若|z|=1,试证:z/(1 z~2)∈R(z~2≠-1)。证明:∵|z|=1,∴|z|~2=z·z=1, z/(1 z~2)=z·z/(z z~2z)=1/(z z), ∵z z∈R, z/(1 z~2)∈R。例2 已知复数a、b、c的模均为1,且a b c≠0,求证: 相似文献
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复数问题在中学数学中,涉及面广,知识跨度大,与代数、三角、几何等知识有着密切的联系.在高考数学试题中,对复数内容在注重考查基础知识和基本技能的同时,还把一些基本数学思想方法列为重要考查内容.因此在高三复习阶段,应引导学生结合课本,把复数问题中所蕴含的几种基本数学思想方法予以充分揭示.一、化归思想.化归思想在复数问题中应用非常广泛.复数模的性质及复数相等的定义,提供了复数问题与实数问题实行双向化归的可能;而利用复数的三角式又可以把复数中的许多求值问题化归为三角问题来解决,反之亦然.例1.解方程 z |(?)|=2 i,(高中代数(下)P222题14①)解:令z=a bi(a,b∈R)则 a (a~2 b~2)~(1/2) bi=2 i∴a (a~2 b~2)~(1/2)=2 (1)b=1 (2) 相似文献
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苏州大学《中学数学》编辑部编写的《高三数学教学与测试》（上册1996年3月第一版）第115页有这样一道典例:若|z_1|=3,|z_2|=5,|z_1-z_2|=7,求(z_1)/(z_2),粗看此题只不过是一道常见的复数计算题,但经仔细分析就会发现这是一道相当典型的综合复习题,可用复数的不同知识点进行求解,通过一题多解,有机地把复数知识网络串联,达到解决一道题,复习一系列知识点的目的。1 用于复习复数的代数形式的知识点 解法1 设z_1=a bi,z_2=c di（a,b,c,d∈R）∵|z_1-z_2|=7,∴（a-c）~2 （ b-d）~2=49,即a~2 b~2 c~2 d~2-2（ac bd）=49,而|z_1|=3, |z_2|=5, ∴a~2 b~2=9, C~2 d~2=25,可求得ac bd=-15/2（1）.又∵|z_1·z_2|=15,∴|(a bi)(c-di)|=15即（ac bd）~2 （bc-ad）~2=15~2（2）. 相似文献
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在复数中 ,由于有些学生对复数的模和实数的绝对值两个概念的联系和区别理解不深刻不全面 ,而它们的表示符号相同 ,故在解复数题时常常容易混淆 ,导致解答错误。试看以下几例 :例 1 :若ｘ∈Ｃ ,则方程 |ｘ|=1 3ｉ -ｘ的解是( )(Ａ) 12 32 ｉ (Ｂ)ｘ1=4 ,ｘ2 =-1(Ｃ) -4 3ｉ (Ｄ) 12 32 ｉ误解 |ｘ|=±ｘ ,则方程为±ｘ =1 3ｉ-ｘ。若 -ｘ =1 3ｉ-ｘ ,则无解 ;若ｘ =1 3ｉ-ｘ ,则ｘ =12 32 ｉ。故选 (Ｄ)。评析 在实数中有 |ｘ|=±ｘ ,但在复数中不一定成立。有些学生把复数的模 (或绝对值 ) |ｘ|误当成实数的绝对值 |ｘ|,… 相似文献
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高考中的复数试题,历年来重税考查复数的概念及运算,但往往运算繁杂,影响临场的解题速度及正确性,而灵活运用诸如|z|~2=z(?)等复数的有关概念及性质,便可达到化繁为简,化难为易的功效.1 求模例1 (1995年全国高考文科试题)设复数 z=cosθ isinθθ∈(π,2π),求复数 z~2 z 的模.解:∵|z|=1,∴z(?)=1,z (?)=2cosθ.∴|z~2 z|~2=|z|~2|z 1|~2=|z 1|~2 相似文献
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复数知识将代数、三角、几何融为一体 ,是中学数学的一个重要内容 ,在考试中也常常是一道亮丽的风景 .复数的“数”(代数形式 )、“角”(三角形式 )、“形”(几何形式 ) ,使我们可以从不同的侧面去研究复数问题 ,得到既相联系又相互独立的解法 ,有时还可根据复数的一些性质得到一些巧解 .2 0 0 3年全国高考理科第 17题 :已知复数z的辐角为 60°,且｜z-1｜是｜z｜和 ｜z -2｜的等比中项 .求｜z｜ .解这道题 ,考生很久找不到切入点 ,计算量也大 ,花了很多时间仍得不出正确结果 ,究其原因还是基础问题 .这道高考题的标准答案是 :设z=r(cos 60°… 相似文献
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复数具有代数形式、三角形式、指数形式等多种表述方式,所蕴含的实际意义是以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系,由此,该知识点是高校自主招生考试(也是高考与数学竞赛)的一个重要内容.
1复数知识
1.1 复数的表示形式与运算
代数形式:z=a+bi(a、b∈R);
三角形式:
z=r(cosθ+i sinθ)(r≥0,θ∈R);
指数形式:z=reiθ(r≥0,θ∈R).
例1 设复数
ω1=-1/2+√3/2i,
ω2 =cos2π/5+isin2π/5.
令ω=ω1ω2.则复数
ω+ω2+…+ω2011=(______).
(2011,复旦大学自主招生考试)
解 显然,ω1=e 2πi/3,ω2 =e2πi/5.
则ω=ω1ω2=e16πi/15.
故ω+ω2+…+ω2011=ω(1-ω2011)/1-ω
而ω2011=ω2010·ω=ω,于是,
ω+ω2+…+ω2011 =ω. 相似文献