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1.
《中学数学教学参考》2007,(Z1)
文[1]给出:若△DEF 是锐角△ABC 的垂足三角形,且记 BC=a,CA=b,AB=c,△ABC 的面积、外接圆半径分别为△和 R,△DEF 旁切圆半径依次为 r_D,r_E,r_F,则有(r_D)/(cot A)=(r_E)/(cot B)=(r_F)/(cot C)=△/R.(*)定理设△DEF 为锐角△ABC 的垂足三角形,记号同 相似文献
2.
关于垂足三角形旁切圆半径之间有下面一个恒等式: 定理 若△ DEF 是锐角△ ABC 的垂足三角形,且 BC = a,CA = b,AB = c , p = (a b c) /2, △ ABC 的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为? 、R 、r ,△ DEF 的旁切圆半径依次为rd 、re 、rf ,则有 rd = re = 相似文献
3.
胡耀宗 《湖南城市学院学报》1986,(6)
所谓垂足三角形是三角形的高线足所成的三角形。关于垂足三角形与原三角形的关系我们已经知道了一些,比如三角形的三条高线平分垂足三角形的内角或外角;锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形的周界最小。这里,我们通过对垂足三角形面积和一些长度的计算,进一步说明垂足三角形与原三角形的关系。 1)已知△ABC的三内角为A、B、C,AD、BE、CF为三边上的高. 求证 垂足三角形与原三角形面积之比只与原三角形三个角的余弦有关. 证明 设△ABC的面积为S,垂足三角形DEF的面积为S_1,令A、B、C的对边分别为a、b、 相似文献
4.
再探一个有趣的几何不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
文[1]中给出了一个有趣的几何不等式: 定理1 若△DEF是△ABC的垂足三角形,△ABC的外接圆半径为R,面积为S,△DEF的外接圆半径为R0,则有 相似文献
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命题 设△DEF是△ABC的内接三角形,D、E、F关于所在边中点的对称点为D′、E′、F′,则 (1)S_(△DEF)=S_(△D′E′F′) (2)S_(△DEF′)=S_(△D′EF),S_(EF′D′)=S_(△E′FD),S_(△FD′E′)=S_(F′DE) 相似文献
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(本讲适合初中)若点 D,E,F 分别、在△ABC 的边 BC,CA,AB上,则称△DEF 为△ABC 的“内接三角形”,而△ABC 为△DEF 的“母三角形”.关于“母子三角形”的面积关系,有下述重要结论.定理如果△DEF 为△ABC 的“子三角形”,且 相似文献
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文[1]证明了三角形垂心的一个性质:定理0若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.本文将这一关于垂心的性质推广至平面上任一点,证明垂足三角形的一个性质.过△ABC所在平面上任一点P,作边BC、CA、AB边所在直线的垂线,垂足分别为D、E、F,则△DEF叫做△ABC关于点P的垂足三角形.定理1设△ABC关于任一点P的垂足三角形为△DEF,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,证则明△DEF≌△H1H2H3.如图1,依题设知FH2∥PD… 相似文献
8.
已知△ABC,∠A、∠B、∠C所对的三条边分别记作a、b、c。今从三顶点A、B、C分别引对边的斜线AA_1、BB_1、CC_1,使得在保持同一顺序之下,有∠AA_1C=∠BB_1A=∠CC_1B=θ。则由三斜线AA_1、BB_1、CC_1相交所得的三角形△HJK称为原三角形△ABC的等斜角三角形。(图1) 定理1 设△HJK是△ABC的等斜角三角形,S_(△HJK)与S_(△ABC)分别表示△HJK与△ABC的面积,则有 相似文献
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文[1]给出了一个涉及垂足三角形内切圆半径的恒等式:设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,p=(a b c)/2,△ABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为?、R、r,若△AEF、△BDF、△CDE的内切圆半径依次为rA、rB、rC,则cot cot cotA2B2C2r A r B rC=?r??R.(1)本文给出(1)式 相似文献
10.
众所周知,若P为△ABC的重心,连结AP、BP、CP并延长分别交对边BC、CA、AB于D、E、F,则 S_(△DEF)=1/4S_(△ABC)。如果P为△ABC内的任意一点,那么S_(△DEF)和1/4S(△ABC)又有何大小关系呢?本文将回答这一问题。定理:若P为△ABC内的任意一点,分别连结AP、BP、CP并延长交对边BC、CA、AB于D、E、F,则 相似文献
11.
关于三角形的内接三角形面积估值问题,我们已有以下结论: 将△ABC分为四个较小的小三角形,中间的那一个△DEF内接于△ABC,其余三个在△DEF的三边上,则△DEF的面积≥main≥{△AEF的面积,△BDF的面积,△CED的面积}。(参见O.Bottema等著,单墫译《几何不等式》)。 相似文献
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题:在△ABC中,O是AB边的中点,E、F分别在AC、BC上。求证:△DEF的面积不超过△ADE与△BDF的面积之和。有一本初中数学复习资料对这题作如下的分析和证明。分析要证△DEF的面积不超过△ADE与△BDF的面积之和,只要证 S_(△ADE)+S_(△BDF)>S_(△DEF)…证明延长ED到G,使DG=ED。连结BG和FG,又AD=BD,(已知) ∠ADE=∠BDG,(对顶角相等) ∴△ADE≌ 相似文献
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我们在《几何不等式》([荷兰]O.Bottema等著,单尊译)一书中.见有下述一道命题:将△ABC分为四个较小的小三角形,中间的那一个△DEF内接于△ABC,其余三个在△DEF的三边上,则△DEF的面积≥min(△AEF的面积,△BDF的面积,△CED的面积) ①当且仅当D、E、F为△ABC三边中点时,等号成立. 相似文献
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贵刊1987年第二期刊《有关三角形面积的一个不等式》,读后深受启发,但感到文中对定理——若P为△ABC内的一个任意点,分别连结AP、BP、CP并延长交对边BC、CA、AB于D、E、F,则S_△DEF≤1/4S_△ABC——的证明过于繁复。这里提供一个简单的证法。证明如图设BD:DC=;λ_1,CE:EA=λ_2AF:FB=λ_3,则 相似文献
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垂足三角形的几个有趣性质及其猜想 总被引：1，自引：0，他引：1
设△DEF为锐角△ABC的垂足三角形(如图).并设△ABC的三内角为A、B、C;三边BCa=、CAb=、ABc=;0EFa=、FD0b=、0DEc=.分别设△ABC、△DEF、△AEF、△BDF、△CDE的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积依次为R、0R、1R、2R、3R;r、0r、1r、2r、3r;P、0P、1P、2P、3P和D、0D、1D、2 相似文献
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定理设P是锐角△ABC内部的任意一点,△ABC、△BPC、△CPA、△APB的面积分别为△、△a、△b、△c、;△ABC的外接圆半径为R;PA=Ra,PB=Rb,PC=Rc,则有 Σ△aRa≤△·R (1) 等号成立当且仅当△ABC是正三角形且P是△ABC的中心. 其中Σ表示循环和,下同. 为证明定理,需要下面的 引理 1P为锐角△ABC内部的任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥CA于E,PF⊥AB于F,垂足△DEF的面积为△p,则有 相似文献
19.
《中学生数理化(高中版)》2020,(2)
<正>以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形,垂足三角形和原三角形之间存在很多特殊的数学关系,下面我们就来浅探其中之一二。一、构建垂足三角形如图1所示,△ABC是锐角三角形,AD、BE、CF是三角形的三条高,三条高相交于点H,连接DE、EF、FD,△DEF构成垂足三角形。 相似文献
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如右图,设△ABC是任一三角形,△DEF是△ABC的外角平分线所围成的三角形,则称△DEF是△ABC的旁心三角形. 相似文献