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由正弦定理出发,我们可以得到如下定理:△ABC中,以sinA、SinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。且△ABC∽A′B′C′,△A′B′C′外接圆直径为1。证明:设△ABC外接圆半径为R, sinA+sinB=1/2R (a+b)>1/2R·C=sinC。同理可证 sinA+sinC>sinB,sinB+sinC>sinA。因此以sinA、sinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,因此△ABC∽△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。设△A′B′C′外接圆半径为R′,对△A′B′C′施行正弦定理,则sinA/sinA′=2R′=1。由这个定理出发,有下面的二个应用。一、关于三角形中一些恒等式和不等式的互证 相似文献
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“sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8,(A+B+C=π)是三角形中常用到的一个不等式。这个条件不等式可以有多种证法。一般数学习题集、数学资料都把以下二个证法作为基本证法证法一:设sinA/2sinB/2sinC/2=t 则t=1/2(cos(A-B)/2cos 相似文献
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△ABC中的许多不等式,如 sinA+sinB+sinC≤3 3~(1/2)/2, cosAcosBcosC≤1/8, sinA/2+sinB/2+sinC/2≤3/2, cosA/2cosB2/cosC/2≤3 3~(1/2)/8 , sin~2A+sin~2B+sin~1C≥2 3~(1/2)sinAsinBsinC等等,均可统一于以下两个不等式(因本文将给出较一般的结果,故推导过程从略): 设x,y,z∈R,A,B,C为△ABC的内角,则 (1)x~2+y~2+z~2 ≥2(xycosC+yzcosA+zxcosB), (2)x~2+y~2+z~2 ≥2 3~(1/2)/3(xysinC+yzsinA+zxsinB), 本文将上述不等式(1)与(2)推广为: 若A,B,C,x,y,z均为实数,且A+B+C=π,n∈Z,则 相似文献
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1987年,苏化明未加证明地介绍了如下不等式链:在△ABC中,有 -cos2A-cos2B-cos2C ≤cosA+cosB+cosC ≤sinA/2+sinB/2+sinC/2 ≤3/2. (1) 杨学枝老师在文中给出了△ABC中的一个不等式: sin~2A/2+sin~2B/2+sin~2C/2≤1/4 (ctgB/2ctgC/2+ctgC/2ctgA/2+ctgA/2ctgB/2)~(1/2) (2) 相似文献
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在△ABC中,不等式:sinA/2·sinB/2·sinC/2≤1/8(等号只在正三角形中成立)即三角形三内角之半的正弦积不大于1/8。兹将几种证法罗列如下。为了方便,记y=sinA/2·sinB/2·sinC/2,A、B、C和a、b、c分别表示△ABC的三内角和三边长,sinA/2、sinB/2、sinC/2均为正数。下不一一赘述。 相似文献
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数列复习课上有这样一例:ABC中,a,b,c成等差数列,求证:(1)B≤60°;(2)2cosA+2C=cosA2-C.在学生有足够的时间思考以后,提问学生甲:“如何证第(1)小题B≤60°?”学生甲的回答过程如下:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.∵sinaA=sinbB=sincc,∴sinAa++scinC=sinbB=2si2nbB,∴sinA+sinC=2sinB.∵sinA+sinC=2sinA2+CcosA2-C,2sinB=2sin(A+C)=4sinA2+CcosA2+C,又∵sinA2+C≠0,∴2cosA2+C=cosA2-C.同学们露出惊讶的表情,歪打正着,证第(1)小题却证出了第(2)小题.从这个同学的回答中反映了一部分同学在解题过程中存在思路不清的现象:(1)只… 相似文献
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本文先给出含双圆半径的几何性质: 定理1:设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,顶点A、B、C到内心的距离分别为a0,b0,c0,则4Rr2=a0b0c0. 证明:因为r=(a0sin)A/2.=(b0sin)B/2=(c0sin)C/2. 所以r3=(a0b0c0sin)A/2(sin)B/2(sin)C/2因为△=1r/2(a+b+c)=Rr(sinA+sinB+sinC)=2R2sinAsinBsinC所以r/2R=sinA·sinB·sinC/sin+sinB+sinC又因为易证sinA+sinB+sinC= 相似文献
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在△ABC中:tg~2A/2 tg~2B/2 tg~2C/2≥2—8sinA/2·sinB/2·sinC/2,等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。 上述不等式就是所谓的“Garfunkel—Bankoff”不等式(以下简称“G—B”不等式)。下面给出“G—B”不等式的一个新的证法。 相似文献
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题在△ABC中,证明或否定不等式:40/27＜sinA/sinA+sinB+sinB/sinB+sinC+sinC/sinC+sinA＜41/27. 相似文献
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设A、B、C为三角形的三内角,则有 sin2A sin2B sin2C≤3(3~(1/2))/2 (1) sinA sinB sinC≤3(3~(1/2))/2 (2) sinA/2 sinB/2 sinC/2≤3/2 (3) sinA/3 sinB/3 sinC/3≤3·sinπ/9 (4) ……………… sinA/k sinB/k sinC/k≤3·sinπ/3k (5) 相似文献
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在△ABC中,设△ABC的面积为S,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有下列不等式链:a^2+b^2+c^2≥bc+ca+ab≥4√3S.①类比此不等式,文[1]得到一个类似不等式:a^2 sinA/2+b^2 sinB/2+c^2 sin C/2≥bcsin A/2+ca sin B/2+ab sin C/2≥2√3S. 相似文献
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设 x,y,z 为任意实数,在△ABC 中,则有不等式x~2 y~2 z~2≥2xycosC 2zxcosB 2yzcosA (1)其中等号当且仅当 x:sinA==y:sinB=z:sinC 时成立.不等式(1)是三角形中著名的“母不等式”经我国数学工作者的努力,发现由它可以导出许多著名的不等式.本文准备建立一个与不等式(1)“孪生”的新的三角不等式,并给出十分简洁的证明. 相似文献
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定理:△ABC中,A妻B<=”sinA)sinB 证明:’:在△ABC中,A)B<=冷a)b <=”ZRsinA妻ZRsinB<=冷sinA)sinB (R是三角形外接圆半径,当A二B时取等号)应用该定理可以巧妙地求解某些三角间题. 例1锐角△ABC中,AsinZB>sinZC 证明:’:A、B、C为锐角,A B十C~二, ‘一ZA、‘一ZB、二一ZC均大于零,且(二一ZA)十(『一ZB)十(汀一ZC)一几 即7r一ZA、7r一ZB、二一Zc可为某三角形三内角,由A汀一ZB>7r一ZC. …sin(汀一ZA)>sin(『一ZB) >sin(盯一ZC). 5 inZA>sinZ刀>sinZC. 例2正数a、夕、a、b满… 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2008,(6)
1.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且sinB·cosC=2sinAcosB-cosBsinC,求cosB的值.(zhanghong@163.com)解答:由已知得sin(B C)=2sinA·cosB.由A B C=180°,得sin(B C)=sinA.∴sinA=2sinAcosB.因为sinA≠0,所以cosB=21.2.(北京何乃忠)已知等比数列{an},a1 a3=10,a4 a6 相似文献
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课时一 数列归纳法 基础篇 诊断练习一、选择题1.用数学归纳法证明 1n +1+1n +2 +… +12 n>132 4 时由 k到 k +1,不等式左端变化是 ( )( A)增加 12 ( k +1) 一项 .( B)增加 12 k +1和 12 k +2 二项 .( C)增加 12 k +1和 12 k +2 二项且减少 1k +1项 .( D)以上结论均错 .2 .用数学归纳法证明 1+12 +13+… +12 n - 11) ,第一步是证明不等式 ( )( A) 1<2成立 . ( B) 1+12 <2成立 .( C) 1+12 +13<2成立 .( D) 1+12 +13+14 <2成立 .3.若命题 p( n)对 n =k成立 ,可以推出它对 n =k+2也成立 ,又若 p( n)对 n =2成立 ,则 (… 相似文献
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正问题对于ΔABC,求3sinA+4sinB+18sinC的最大值.这是一个形式简捷,内含丰富的三角不等式问题,被选为第三届全国大学生数学竞赛试题(数学类).解答:三角形三个角A,B,C的取值范围为(A,B,C)∈D={(α,β,γ)|α+β+γ=π,α0,β0,γ0}我们首先考虑3sinA+4sinB+18sinC在D的闭包E={(α,β,γ)|α+β+γ=π,α≥0,β≥0,γ≥0}上的最大值. 相似文献
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1984年第三期数学问题李 1.选择一个正确的答案:设a、b、。、x都是实数,bZ一4a。<。是使不等式ax“+bx+‘>。恒成立的(A)充分条件,(B)必要条件;(C)充要条件,(D)既非充分条件又非必要条件。2.在△ABC中,三内角A、B、c(A>B>C)成等差数列的充要条件是5 inA+sinB+sinCeosA+eosB+eosC二了了。 3.求证:四面体中,从两顶点所引对面的高线相交的充要条件是连接这两顶点的棱垂直其对棱。 4.证明:用那ine一x+cose二O形式的方程表示的直线中至少有一条通过点(a,b)的充要条件是a“一bZ《1。上期问题解答1.已知函数f(二)二华共,且二,二f(二。一:)… 相似文献
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文[1]给出了如下两个命题: 命题1:设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、占、‘,则有sinA一sinB ab十5 inB一sinC 肠.sinC一sin火.十—~O,sinA一sinB—十sinB一sinC ba sinC一sinA eb(0‘ 命题2:若A、B、C、a、b、‘的意义同命题1,n为任意实数,则有:sin.A一sin.B 护沙sin.A一sin’B 召臼b.sin.A一sin口B C.口月 圣些髯单些十 Ca)O, sin.B一sin.Cb门c. sin.C一sin.A 砂夕sin.C一51记 ‘.口.O,扩些典澳丝 “O衬丝只于弃竺 U‘(O事实上,上述命题是下列命题的特例:命题3:设x>o,y>。,z>。,n为任意实数,则有:(1烤派兴尸飞番兰 … 相似文献