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一、向量的概念向量是既有大小又有方向的量 .向量不同于数量 ,向量运算法则与数量运算法则既有相似的地方 ,也有不同的地方 .我们要特别重视向量运算法则与数的运算法则的差别 .这些差别概括如下 :(1 )数可以比较大小 ,向量因为有方向不能比较大小 .(2 )向量运算中没有定义除法 ,故ａ·ｂ=ａ·ｃ(ａ≠ 0 )不一定有ｂ=ｃ.(3 )向量的数量积不满足结合律 ,即 (ａ·ｂ)·ｃ≠ａ· (ｂ·ｃ) ,因此 (ａ·ｂ) 2 ≠ａ2 ·ｂ2 .(4)向量平行与直线平行是两个不同的概念 .向量平行时其中之一可以是 0向量 ,或表示两向量的有向线段可以平移到同一条直线… 相似文献
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高中数学新教材第五章教学问答(二) 总被引：2，自引：0，他引：2
蔡上鹤 《中学数学教学参考》2001,(6)
10 5.在教学平面向量的数量积及其运算律时 ,要注意些什么 ?答 :( 1 )向量的数量积是向量之间的一种乘法运算 .它是向量与向量的运算 ,结果却是一个数量 .( 2 )当ａ≠ 0时 ,ａ·ｂ =0不能推出ｂ =0 ,因为ａ·ｂ=0的充要条件是ａ⊥ｂ .( 3)由ａ·ｂ =ｂ·ｃ不能推出ａ =ｃ.例如 ,当ａ =0 ,ｂ⊥ｃ时 ,ａ·ｂ =ｂ·ｃ=0 ,但推不出ｃ=0 .( 4) (ａ·ｂ)ｃ不一定等于ａ(ｂ·ｃ) ,因为前者与ｃ共线 ,后者与ａ共线 ,而ｃ、ａ不一定共线 .( 5)由 |ａ|=ａ·ａ ,ｃｏｓθ =ａ·ｂ|ａ|·|ｂ|,以及ａ·ｂ =0 ａ⊥ｂ ,可知平面向量的数量积可用来处理有关… 相似文献
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例说向量的广泛应用 总被引：1，自引：0，他引：1
高考命题中对知识综合性的考查 ,往往在知识网络交汇点上设计试题 ,而向量则是三角函数、解析几何等多学科知识的交汇点 ,因此也是新高考的命题热点 .例 1 已知 (ｘ-1) 2 + (ｙ-2 ) 2 =2 5 ,求3ｘ+ 4ｙ的最值 .解 设ａ =(3 ,4) ,ｂ =(ｘ-1,ｙ -2 ) ,ａ与ｂ的夹角为θ,则3ｘ + 4ｙ =ａ·ｂ + 11=｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ+ 11=2 5ｃｏｓθ + 11.∴ 3ｘ+ 4ｙ的最大值为 3 6,最小值为-14 .例 2 已知ｘ2 + ｙ2 =4,ａ2 +ｂ2 =6,求ａｘ +ｂｙ的最值 .解 设ａ=(ｘ ,ｙ) ,ｂ=(ａ ,ｂ) ,ａ与ｂ的夹角为θ ,则ａｘ +ｂｙ =ａ·ｂ=｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ… 相似文献
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(续上期 )1 0 5 在教学平面向量的数量积及其运算律时 ,要注意些什么 ?(注 :本章均用黑体字母表示向量 ,如ａ即ａ ,ＡＢ即ＡＢ 。)答 :(1 )向量的数量积是向量之间的一种乘法运算。它是向量与向量的运算 ,结果却是一个数量。(2 )当ａ≠ 0时 ,ａ·ｂ =0不能推出ｂ =0 ,因为ａ·ｂ=0的充要条件是ａ⊥ｂ。(3 )由ａ·ｂ =ｂ·ｃ不能推出ａ =ｃ。例如 ,当ａ =0 ,ｂ⊥ｃ时 ,ａ·ｂ =ｂ·ｃ=0 ,但推不出ｃ=0。(4 ) (ａ·ｂ)ｃ不一定等于ａ(ｂ·ｃ) ,因为前者与ｃ共线 ,后者与ａ共线 ,而ｃ、ａ不一定共线。(5 )由 |ａ|=ａ·ａ ,ｃｏｓθ =ａ·ｂ|ａ… 相似文献
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对于某些不等式的证明 ,若认真分析题目的条件和结论 ,构造适当的向量 ,然后借助向量的数量积的性质｜ｍ·ｎ｜≤｜ｍ｜·｜ｎ｜ ,往往可以使某些不等式得到证明 .例 1 已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,求证 :ａ +ｂ22 ≤ ａ2 +ｂ22 .证明 设ｍ =(ａ ,ｂ) ,ｎ =( 1,1) .由 ｜ｍ·ｎ｜2 ≤｜ｍ｜2 ·｜ｎ｜2 ,得(ａ +ｂ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 )· 2 ,∴ ａ +ｂ22 ≤ ａ2 +ｂ22 .例 2 设ａ ,ｂ ,ｃ,ｄ∈Ｒ .证明 :ａｃ+ｂｄ≤ ａ2 +ｂ2 · ｃ2 +ｄ2 .证明 设ｍ =(ａ ,ｂ) ,ｎ =(ｃ,ｄ) .由｜ｍ·ｎ｜≤｜ｍ｜·｜ｎ｜ ,得｜ｃａ+ｂｄ｜≤ ａ2 +ｂ2 ·ｃ2 +ｄ2 … 相似文献
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尚宇林 《中学数学教学参考》2001,(10)
这里有一个课例片断 .课题 :“平面向量数量积的坐标表示 .”教师 :前一节课 ,我们学习了向量的数量积 ,主要包括 :(1 )向量数量积的定义 ;(2 )向量数量积的几何意义 ;(3 )向量数量积的性质 ;(4 )向量数量积的运算规律 .今天这节课我们再来学习“平面向量的数量积的坐标表示”(教师板书课题 ) .下面先请大家阅读课本第 1 1 9～ 1 2 0页 .学生阅读课本约 5分钟左右 ,按老师要求停了下来 .教师 :刚才大家已经阅读了课本 ,下面我们一起讨论这样几个问题 :第一 ,为了讨论“平面向量数量积ａ ·ｂ 的坐标表示” ,首先要求“平面向量的数量积ａ ·… 相似文献
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平面向量及其运算是高中教材的新增内容 ,它融数、形于一体 ,具有代数形式和几何形式的双重身份 ,使它成为中学数学知识的一个交汇点 ,成为联系多项内容的媒介 .下面对近三年全国新课程高考试题及上海试题 ,分类进行分析 ,供复习参考 .1 考查平面向量的基本概念和运算律例 1 ( 2 0 0 2年上海高考题 )若ａ ,ｂ,ｃ为任意向量 ,ｍ ∈Ｒ ,则下列等式不一定成立的是 ( )Ａ .(ａ+ｂ) +ｃ=ａ +(ｂ +ｃ)Ｂ .(ａ+ｂ)·ｃ=ａ·ｃ+ｂ·ｃＣ .ｍ(ａ +ｂ) =ｍａ +ｍｂＤ .(ａ·ｂ)·ｃ =ａ· (ｂ·ｃ)解析 : 因为向量的数量积不满足结合律 ,故显… 相似文献
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先介绍以下结论 :如果ａ =(ａ1 ,ａ2 ,ａ3) ,ｂ =(ｂ1 ,ｂ2 ,ｂ3)为平面α上的两个不共线向量 ,又ｎ =(ｘ ,ｙ,ｚ) ,且ｎ·ａ=ａ1 ｘ +ａ2 ｙ +ａ3ｚ =0 ,ｎ·ｂ =ｂ1 ｘ+ｂ2 ｙ+ｂ3ｚ=0 ,则ｎ⊥平面α ,向量ｎ叫做平面α的法向量 .利用平面α的法向量ｎ,可解决立体几何中有关线面夹角、线面垂直、面面垂直、求二面角的大小和求点到平面的距离等问题 ,且思路清晰 ,解题快捷、准确 .以下举例说明它的应用 .一、直线与平面垂直要证直线与平面垂直 ,只要直线上的向量与该平面的法向量平行即可 .例 1 在棱长为 1的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 … 相似文献
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夏锦府 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):8-9
一、忽视向量夹角范围例 1 若向量ａ =(ｘ ,2ｘ) ,ｂ =( - 3ｘ ,2 ) ,且ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,求ｘ的取值范围 .错解 :因ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,故ａ·ｂ <0 .即 - 3ｘ2 +4ｘ <0 ,ｘ <0或ｘ >43.故ｘ的取值范围为 ( -∞ ,0 )∪43,+∞ .辨析 :向量ａ ,ｂ的夹角θ的取值范围为 [0 ,π] ,当ａ·ｂ <0时 ,π2 <θ≤π .而已知θ为钝角 ,故θ≠π ,即ｃｏｓθ =ａ·ｂ|ａ||ｂ|≠ - 1,解得ｘ≠ - 13,故ｘ的取值范围为-∞ ,- 13∪ - 13,0∪ 43,+∞ .例 2 设正三角形ＡＢＣ的边长为 1,ＡＢ =ｃ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,求ａ·ｂ +ｂ·ｃ+ｃ·ａ的值 .错… 相似文献
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用均值不等式证明一些不等式 ,通常有以下的几种策略 .1 乘 1给不等式的一端乘上 1,再根据题目的特征 ,对1变形 .例 1 (《数学教学》2 0 0 1(3) ,数学问题 5 38)已知ａ>1,ｂ >1,ｃ>1,且ａ2 +ｂ2 +ｃ2 =12 ,求证 :1ａ - 1+ 1ｂ - 1+ 1ｃ - 1≥ 3.证 左端 =(1ａ - 1+ 1ｂ - 1+ 1ｃ - 1)· 1=(1ａ- 1+1ｂ- 1+1ｃ- 1) ·(ａ - 1) +(ｂ - 1) +(ｃ - 1)ａ+ｂ +ｃ- 3≥ 33 1ａ - 1· 1ｂ - 1· 1ｃ - 1·33 (ａ - 1) (ｂ- 1) (ｃ - 1)ａ +ｂ+ｃ - 3= 9(ａ+ｂ+ｃ) 2 - 3≥ 93(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) - 3= 93· 12 - 3=3.2 化 1把用于证明的均值不等式… 相似文献
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在数学运算中 ,利用因式分解的方法 ,往往使运算由繁化简 ,化难为易 :一、解决计算问题例 1 计算 32 0 0 2 - 5× 32 0 0 1+ 6× 32 0 0 0 + 2 0 0 2 .分析 :前三项含公式 32 0 0 0 ,因此先提公因式后 ,变为简单的计算。解 :原式 =32 0 0 0 ( 32 - 5× 3+ 6) + 2 0 0 0 =32 0 0 0 × 0 + 2 0 0 2 =2 0 0 2 .二、解决求值问题例 2 已知 (ａ +ｂ) =15 ,ａ·ｂ =2 ,求代数式ａ2 ｂ + 2ａ2 ｂ2 +ａｂ2 的值 .分析 :本题关键是通过因式分解把代数式变形为只含 (ａ +ｂ)、ａ·ｂ的代数式 ,从而求出代数式的值。解 :ａ2 ｂ + 2ａ2 ｂ2 +ａｂ2 =ａ… 相似文献
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1 求证 :ｓｉｎ2 0 0 3° >12 ·ｃｏｓ2 0 0 2°。 (不要使用计算器等工具。)2 试求出两条抛物线 ｙ2 =2 5 -6ｘ与ｘ2 =2 5 -8ｙ的所有的交点的坐标。 (不要使用一元四次方程求根公式。)3 试求出所有的有序正整数对 (ａ ,ｂ) (ａ≤ｂ) ,使得ａ能整除ｂ2 +ｂ +1 ,且ｂ能整除ａ2 +ａ +1。4 试求出所有的函数 ｆ :Ｒ -{0 ,1 }→Ｒ -{0 },使得对于任何的满足“ｘ·ｆ(ｙ) ,ｙ -ｘ∈Ｒ -{0 ,1 }”的ｘ∈Ｒ -{0 },ｙ∈Ｒ -{0 ,1 },都有 ｆ(ｘ·ｆ(ｙ) ) =(1 -ｙ)·ｆ(ｙ -ｘ)。5 试求出所有的函数 ｆ :Ｒ→Ｒ ,使得对于任何的ｘ、ｙ∈… 相似文献
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平面向量是高一数学试验教材中的新增内容 ,怎样教好这章内容 ?大家都在摸索 .笔者根据自己的课堂教学实践 ,浅谈两点体会 .1 深入挖掘数学思想1 .1 数形结合思想向量是数形交融的典型知识 ,数形结合思想在本章中体现得淋漓尽致 .例 1 平面向量数量积的分配律 ( ａ+ ｂ)· ｃ= ａ· ｃ+ ｂ· ｃ ,教材是用图形证明的 .为什么要构造图形 ?怎样构造图形 ?笔者作如下分析 .要证 ( ａ+ ｂ)· ｃ= ａ· ｃ+ ｂ· ｃ ,即要证｜ ａ + ｂ｜｜ ｃ｜ｃｏｓθ =｜ ａ｜｜ ｃ｜ｃｏｓθ1+ ｜ ｂ｜｜ ｃ｜ｃｏｓθ2 ,其中θ、θ1、θ2 分别是 ａ… 相似文献
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一、选择题 (本题共有 12个小题 ,在每小题给出的 4个选项中 ,只有一个是正确的 .本题每小题 3分 ,满分 3 6分 )1.已知α =9π8,则点Ｐ(ｓｉｎα ,ｔａｎα)所在的象限是 ( ) (Ａ)第一象限 (Ｂ)第二象限 (Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限2 .对于向量ａ、ｂ、ｃ,下列命题中正确的是( ) (Ａ) ｜ａ·ｂ｜=｜ａ｜｜ｂ｜ (Ｂ) (ａ·ｂ) 2 =ａ2 ｂ2 (Ｃ)若ａ⊥ (ｂ-ｃ)则ａ·ｂ=ａ·ｃ (Ｄ)若ａ·ｂ =ａ·ｃ ,则ｂ =ｃ3 .已知ａ·ｂ是两个非零向量 ,则ａ与ｂ不共线是‖ａ｜-｜ｂ‖ <｜ａ -ｂ｜ <｜ａ｜+｜ｂ｜的 ( ) … 相似文献
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向量是新编高中数学的基本内容 .向量的引入可以启迪学生从一个新的角度分析、解决一些综合问题 ,有益于开发学生智力 ,提高学生能力 .下面就近几年高考题中的部分解析几何题目用向量法给予解答、阐述 .1 利用两个非零向量 ａ =(ｘ1,ｙ1) , ｂ =(ｘ2 ,ｙ2 )的数量积 ａ· ｂ=ｘ1ｘ2 +ｙ1ｙ2 .例 1 (2 0 0 0年全国高考题 )椭圆 ｘ29+ｙ24 =1的焦点为Ｆ1、Ｆ2 ,点Ｐ为其上的动点 ,当∠Ｆ1ＰＦ2 为钝角时 ,点Ｐ横坐标的取值范围是 .解 由题意设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,Ｆ1(- 5 ,0 ) ,Ｆ2 (5 ,0 ) ,则ＰＦ1=(- 5 -ｘ0 ,-ｙ0 ) ,ＰＦ2 =(5 -ｘ0 ,-… 相似文献
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邓建书 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):26-28
1 .反弹琵琶 ,独辟蹊径例 1 在椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )上取一点Ｐ ,Ｐ与长轴两端点Ａ、Ｂ的连线分别交短轴所在直线于Ｍ、Ｎ两点 ,设Ｏ为原点 ,求证 :|ＯＭ |·|ＯＮ|为定值 .证明 :设Ｍ ( 0 ,ｍ)、Ｎ( 0 ,ｎ) ,则ｌＰＡ:ｙ=ｍ - 00 +ａ(ｘ +ａ) ,①ｌＰＢ:ｙ =ｎ - 00 -ａ(ｘ -ａ) . ②①×② ,得 ｙ2 =- ｍｎａ2 (ｘ2 -ａ2 ) .又 ｙ2 =ｂ2 1- ｘ2ａ2 ,故ｂ2 ａ2 -ｘ2ａ2 =- ｍｎａ2 (ｘ2 -ａ2 ) .ｍｎ =ｂ2 ,为定值 .即 |ＯＭ |·|ＯＮ| =ｂ2 ,为定值 .评注 :本题没有设出Ｐ点坐标进而求出Ｍ、Ｎ两… 相似文献
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庄严 《中学生数理化(高中版)》2003,(1):28-29
题目 :已知直线ｌ过点Ｍ( 3,2 )且与ｘ轴正半轴、ｙ轴正半轴交于点Ａ、点Ｂ .当△ＡＯＢ面积最小时 ,求直线ｌ的方程 .解法 1:设Ａ(ａ ,0 ) ,Ｂ( 0 ,ｂ) (ａ >0 ,ｂ >0 ) ,易知ａ >3,直线ｌ的截距式方程为ｘａ + ｙｂ =1,以点 ( 3,2 )代入得 3ａ + 2ｂ=1,于是ｂ =2ａａ - 3.Ｓ△ＡＯＢ=12 ａｂ=12 ·ａ·2ａａ - 3=ａ2ａ - 3=ａ2 - 9+ 9ａ - 3=ａ + 3+ 9ａ - 3=ａ - 3+ 9ａ - 3+ 6≥ 2 (ａ - 3)· 9ａ - 3+ 6 =12 .当且仅当ａ - 3=9ａ - 3且ａ >3,即ａ =6时取等号 ,此时ｂ =4 ,直线ｌ的方程为 ｘ6 +ｙ4 =1.解法 2 :同上…… 1=3ａ + 2ｂ ≥ … 相似文献
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第 一 试一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1.已知 ａ3+ｂ3+ｃ3- 3ａｂｃａ +ｂ +ｃ =3.则(ａ -ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ａ -ｂ)·(ｂ-ｃ)的值为 ( ) .(Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 42 .规定“△”为有序实数对的运算 ,如下所示 ,(ａ ,ｂ)△ (ｃ,ｄ) =(ａｃ +ｂｄ ,ａｄ +ｂｃ) .如果对任意实数ａ、ｂ都有 (ａ ,ｂ)△ (ｘ ,ｙ) =(ａ ,ｂ) ,则 (ｘ ,ｙ)为( ) .(Ａ) (0 ,1) (Ｂ) (1,0 ) (Ｃ) (- 1,0 ) (Ｄ) (0 ,- 1)3.在△ＡＢＣ中 ,2ａ=1ｂ+1ｃ.则∠Ａ( ) .(Ａ)一定是锐角 (Ｂ)一定是直角(Ｃ)一定是钝角 … 相似文献
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向量不仅是解决立体几何、解析几何的有力工具 ,也是解决代数和三角问题的有力工具 ,它可使许多代数和三角问题的求解过程变得轻松 ,生动 ,给人以数学美的享受 .它为解决中学数学问题开避了一条新的途径 .一、比较大小例 1 已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,0 <ｘ<1,试比较ａ2ｘ + ｂ21-ｘ 与 (ａ +ｂ) 2 的大小 .解 设向量ｍ=ａｘ,ｂ1-ｘ ,ｎ=(ｘ ,1-ｘ) .由 (ｍ·ｎ) 2 ≤｜ｍ｜2 ｜ｎ｜2 ,得(ａ +ｂ) 2=ａｘ·ｘ + ｂ1-ｘ· 1-ｘ2≤ ａ2ｘ + ｂ21-ｘ ｘ+ (1-ｘ)=ａ2ｘ + ｂ21-ｘ.例 2 (2 0 0 0年河北省高中数学竞赛试题 )已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｒ+… 相似文献
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文 [1 ]提出了猜想 :∏ ａ2ｍ2 ｂ+ｍ2 ｃ≥ 82 7 ①笔者经研究发现 ,上述不等式不成立 ,可修正为 :命题 1 设ｍａ、ｍｂ、ｍｃ 分别为△ＡＢＣ的三条中线长 ,则∏ ａ2ｍｂ2 +ｍｃ2 ≤ 82 7 (∏表示循环积 ,下同 )②证明 由ｍａ=12 2ｂ2 +2ｃ2 -ａ2 ,有ｍａ2 =14 (2ｂ2 +2ｃ2 -ａ2 )等 ,得ｍｂ2 +ｍｃ2 =14 (ｂ2 +ｃ2 +4ａ2 ) =14 (Ｔ2 +3ａ2 ) ,这里Ｔ2 =ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ,则②式等价于∏ 4ａ2Ｔ2 +3ａ2 ≤ 82 7 ∏ (Ｔ2 +3ａ2 )≥ 2 7× 8ａ2 ｂ2 ｃ2 4Ｔ6 +9(ａ2 ｂ2 +ｂ2 ｃ2 +ｃ2 ａ2 )Ｔ2 ≥ 2 7× 7ａ2 ｂ2 ｃ2③由于Ｔ6 =(ａ2 +ｂ… 相似文献