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定理在凸四边形ＡＢＣＤ中,对角线ＡＣ与ＢＤ交于Ｏ点,设△ＡＯＢ、△ＢＯＣ、△ＣＯＤ、△ＤＯＡ的面积分别为Ｓ１、Ｓ２、Ｓ３、Ｓ４,则有Ｓ１·Ｓ３＝Ｓ２·Ｓ４．图１证明如图１,∵Ｓ１Ｓ２＝ＡＯＯＣ,Ｓ４Ｓ３＝ＡＯＯＣ,∴Ｓ１Ｓ２＝Ｓ４Ｓ３,即Ｓ１·Ｓ３＝... 相似文献
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线面距离及面面距离通常都是转化为点面距离进行求解，异面直线的距离也常常须转化为线面距离，进而转化为点面距离求解．所以掌握点面距离的求法是学习线面距离、面面距离的基本和关键．以下谈谈求点面距离的几种策略．１ 先作后求 先作后求的思路是：先过点作平面的垂线段，再利用解三角形的方法求出垂线段的长度．但这种解法一般要确定垂足的位置，通常是利用面面垂直的性质来确定垂足的位置． 例１已知正三棱锥Ｐ—ＡＢＣ底面边长为４，二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ为６０°，求Ｐ在底面内的射影Ｏ到平面 ＰＢＣ的距离． 解 如图１，过Ｐ作＊ｏ上… 相似文献
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立几是高中数学的难点部分,学生在答题时往往暴露出一个倾向性的问题———运算“不过关”．本文就如何减少运算量介绍几种常用的处理方法．１ 位变图１在解立体几何题时,常需配上一目了然的图,因而从变换图形位置入手,使其看得真切,想得透彻,是减少运算量的一个直接方法．例１ 三棱锥Ｓ－ＡＢＣ（如图１）中,已知三条侧棱ＳＡ、ＳＢ、ＳＣ的长度为ａ、ｂ、ｃ,且两两相互垂直,求三棱锥Ｓ－ＡＢＣ的体积．分析 解这道题,一般学生易受图１和文字叙述的影响,把ＳＡ、ＳＢ、ＳＣ看作侧棱,形成如下思维定势：由Ｓ向底面△ＡＢＣ作… 相似文献
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直角三棱锥中的三角等式王小平（江苏省东台市四灶中学２２４２４８）图１如图１,在△ＢＣＤ中,ＢＣ⊥ＣＤ,ＡＢ⊥平面ＢＣＤ,则ＡＢ⊥ＢＣ,ＡＢ⊥ＢＤ．由三垂线定理证得ＡＣ⊥ＣＤ,即△ＢＣＤ、△ＡＢＣ、△ＡＢＤ、△ＡＣＤ都是直角三角形．故通常把这种四个面全... 相似文献
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初中平面几何中关于证明线段等积式的问题 ,是常见的一种题型 ,它是教学的一个重点．现举例介绍八种常用方法．一、利用平行线分线段成比例定理例１ 如图（１） ,ＡＤ是△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线 ,交ＢＣ于Ｄ点 ,求证ＡＢ·ＤＣ＝ＢＤ·ＡＣ．ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．四、利用射影定理例４ 如图（４） ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ＝ＡＣ ,以ＡＢ为直径作圆交ＢＣ于Ｄ ,Ｏ是圆心 ,ＤＭ是⊙Ｏ的切线交ＡＣ于Ｍ ,求证ＤＣ２ ＝ＡＣ·ＣＭ．思路分析 :证明△ＡＤＣ是Ｒｔ△ ,并且ＤＭ⊥ＡＣ ,就可利用射影定理证得结论．五、利用圆幂定理例５ 如图（５… 相似文献
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ｗｈｃ１７５的限定《初等数学研究的问题与课题》中的ｗｈｃ１７５是叶中豪提出的如下问题：设ＰＱＲＳ是四边形ＡＢＣＤ的内接四边形,Ａ′、Ｂ′、Ｃ′、Ｄ′分别为ＳＰ、ＰＱ、ＱＲ、ＲＳ的中点,则ＡＡ′、ＢＢ′、ＣＣ′、ＤＤ′共点的充要条件是什么？本文将其极特殊化（令Ｄ重合于Ｃ）,得到定理 设△ＰＱＲ内接于△ＡＢＣ,Ａ′、Ｂ′、Ｃ′分别是ＲＰ、ＰＱ、ＱＲ的中点．记ＡＰＰＢ＝λ１,ＢＱＱＣ＝λ２,ＣＲＲＡ＝λ３,则ＡＡ′、ＢＢ′、ＣＣ′共点的充要条件是λ１λ２λ３＝１．ＢＱＣＡＰｙ图１Ａ′′ＣＢ′ｘＲＯ证明… 相似文献
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垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线,它具有如下重要性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等．求解某些几何证明问题,从构造线段垂直平分线人手,然后利用其性质,可简化思维过程,收到事半功倍的效果．例１如图１,Ｄ、Ｅ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上两点,ＡＢ＝ＡＣ,ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＡＤ＝ＡＥ．证明过Ａ作ＡＦ⊥ＢＣ于Ｆ．∵ＡＢ＝ＡＣ,∴ＢＦ＝ＣＦ．∵ＢＤ＝ＣＥ,∴ＤＦ＝ＥＦ．∴ＡＦ是ＤＥ的垂直平分线．∴ＡＤ＝ＡＥ．例２如图２,Ｅ为△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线ＡＤ上一点,ＡＢ＞ＡＣ．求证：ＡＢ… 相似文献
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等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合．这就是等腰三角形的“三线合一”定理．这个定理可分解为下面三个定理：（１）在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是顶角平分线，则ＡＤＢＣ，ＢＤ＝ＤＣ．（２）在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是底边上的高，则ＢＤ＝ＤＣ，∠ＤＡＢ＝∠ＤＡＣ．（３）在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是底边上的中线，则ＡＤ上ＢＣ，∠ＤＡＢ＝∠ＤＡＣ．由此可知，等腰三角形“三线合一”定理有三个基本功能：（１）利用“三线合一”定理可以证明两条线段相等．（２）利用“三线合一”定理… 相似文献
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王淑兰 《中学数学教学参考》1999,(10)
１．ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ型如果欲证的等式是ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ形式,一般要考虑证明分别含有ａ、ｂ为对应边的两个三角形相似,然后利用面积关系或射影定理进行证明．图１例１ 从圆外一点Ｐ引圆的切线ＰＡ,割线ＰＣＢ．求证ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．分析：含ＡＢ、ＡＣ、ＰＢ、ＰＣ的三角形是△ＰＡＢ和△ＰＣＡ,而易证△ＰＡＢ∽△ＰＣＡ,∴ＡＢ２ＡＣ２＝Ｓ△ＰＡＢＳ△ＰＣＡ＝１２ＰＢ·ＡＨ１２ＰＣ·ＡＨ＝ＰＢＰＣ．例２ 已知矩形ＣＥＤＦ内接于圆Ｏ,过Ｄ作圆的切线与ＣＥ、ＣＦ的延长线分别交于点Ａ、Ｂ．求证：ＢＣ３Ａ… 相似文献
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谢守宁 《中学数学教学参考》1999,(11)
文［１］给出了三角形内接平行四边形的两个性质定理,笔者发现很容易将其移植到空间中去．为了便于说明,先将文［１］中两个定理抄录如下：定理１ △ＡＢＣ中,Ｄ为ＢＣ上一点,Ｅ、Ｆ分别在ＡＣ、ＡＢ上,且ＤＥ∥ＡＢ,ＤＦ∥ＡＣ,分别记△ＢＦＤ、△ＣＥＤ、ＡＦＤＥ、△ＡＢＣ的面积为Ｓ１,Ｓ２,Ｓ′,Ｓ△,则（１）Ｓ′＝２Ｓ１Ｓ２;（２）Ｓ△＝（Ｓ１＋Ｓ２）２．（图１）定理２ △ＡＢＣ中,四边形ＤＥＦＧ为内接平行四边形,分别记△ＡＤＥ、△ＢＤＧ、△ＥＦＣ、ＥＦＧＤ、△ＡＢＣ的面积为Ｓ１,Ｓ２,Ｓ３,Ｓ′,… 相似文献
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1996年全国高中数学联赛第二试平面几图 1何题是 :如图 1,圆Ｏ1和圆Ｏ2与△ＡＢＣ的三边所在直线均相切 ,Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ为切点 ,并且ＥＧ、ＦＨ的延长线交于Ｐ .求证 :直线ＰＡ与ＢＣ垂直 .这道题有许多证明方法 ,已被大家广泛发掘 ,此处不再重复 .利用这个竞赛题的结论并借助一些熟知的定理 ,我们得到与三角形的旁切圆有关的两个新结论如下 :命题 设△ＡＢＣ为不等边三角形 ,∠Ａ内的旁切圆分别与边ＡＢ和ＡＣ切于Ａ3 和Ａ4,直线Ａ3 Ａ4与直线ＢＣ交于点Ａ1,相仿地可定义Ｂ3 、Ｂ4、Ｂ1和Ｃ3 、Ｃ4、Ｃ1.又设直线Ａ3 Ａ4与Ｂ3 Ｂ4交于点… 相似文献
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玉邴图 《中学数学教学参考》1999,(11)
正余弦定理是三角中非常重要的公式,它们具有广泛的应用,故值得我们研究和总结．为此,文［１］对余弦定理作了多方位探讨．本文再给出正弦定理的别证、变式及应用,供读者参考．正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且等于外接圆的直径,即ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ＝２Ｒ．１．定理的证明教材中是运用三角形的面积公式Ｓ△＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝１２ｃａｓｉｎＢ来证明的,除此之外我们可利用几何法构造直角三角形或利用余弦定理来证明．证明：如图１,在△ＡＢＣ中,作ＣＤ⊥ＡＢ,… 相似文献
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林风 《中学数学教学参考》1999,(12)
数学公式教学是中学数学教学的重要组成部分．为了深刻理解公式的内在本质,就要进行适当的变形．公式变形是公式教学不可缺少的内容,在教学中要讲究“三有”．１．变之有用公式变形的目的最终应体现在其实用的价值．一个公式的等价变形往往有多种,教学中教师应择其有用的变形,以提高应用公式的效能．例如应用棱台体积公式Ｖ台＝１３ｈ（Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ１Ｓ２）解决问题：正三棱台ＡＢＣＡ１Ｂ１Ｃ１的上、下底边长之比为２∶３,连结Ａ１Ｂ、ＢＣ１及ＡＣ１把正三棱台分成三个棱锥,则这三个三棱锥的体积之比（由小到大）是多少？如果… 相似文献
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《中学数学教学参考》1999,(9)
分割梯形面积的一个不等式定理 在梯形ＡＢＣＤ中,底ＡＢ＝ａ,ＣＤ＝ｂ,ａ＞ｂ,过对角线交点的直线ｌ分梯形为两部分,其面积之差为Δ,梯形面积为Ｓ,则ΔＳ≤（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ２＋４ａｂ）（ａ＋ｂ）３（＝｜ｌ∥ＡＢ）．设梯形对角线交点为Ｏ,过Ｏ作ＥＦ∥ＡＢ,Ｍ、Ｎ分别为ＡＢ、ＣＤ的中点,则ＭＮ过点Ｏ,如图．以下用△ｘｙｚ同时表示三角形和它的面积,Ｓｘｙｚｗ表示四边形的面积．我们分两种情形讨论．（１）ｌ处于ＰＱ位置．作ＥＲ∥ＣＢ交ＯＰ于Ｒ,则Ｒ在ＯＰ上,则△ＰＲＥ≥０,从而△ＰＯＥ≥△ＱＯＦ,同样,△… 相似文献
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郝世富 《中学数学教学参考》1997,(11)
两个平面垂直的一个充要条件及其应用陕西省南郑县江南压铸总厂子校郝世富定理由一点Ｓ引不共面的三条射线ＳＡ、ＳＢ、ＳＣ，设∠ＡＳＢ＝θ１，∠ＢＳＣ＝θ２，∠ＡＳＣ＝θ，其中θ１、θ２、θ均为锐角，则平面ＡＳＢ⊥平面ＢＳＣ的充要条件是ｃｏｓθ１·ｃｏｓθ２... 相似文献
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公式 若正三棱锥的侧棱长为ｌ,侧面顶角为θ,则高ｈ =33ｌ 1 2ｃｏｓθ ( 0 <θ<2π3)。证 如图 ,已知在正三棱锥Ｐ -ＡＢＣ中 ,ＰＯ⊥平面ＡＢＣ ,用向量法证明如下 :∵ＰＯ =ＰＡ ＡＯ =ＰＢ ＢＯ=ＰＣ ＣＯ ,∴ 3ＰＯ =(ＰＡ ＰＢ ＰＣ) (ＡＯ ＢＯ ＣＯ)。又因点Ｏ是正△ＡＢＣ的中心 ,易证ＡＯ ＢＯ ＣＯ =Ｏ ,∴ＰＯ =(ＰＡ ＰＢ ＰＣ) / 3。∴ |ＰＯ|2 =( |ＰＡ|2 |ＰＢ|2 |ＰＣ| 2 |ＰＡ|·|ＰＢ|ｃｏｓθ 2 |ＰＡ||ＰＣ|ｃｏｓθ 2 |ＰＢ||ＰＣ|ｃｏｓθ) / 9=(ｌ2 ｌ2 ｌ2 2ｌ2 ｃｏｓθ 2ｌ2 ｃｏｓθ 2ｌ2 … 相似文献
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三角形内角和定理三角形三个内角的和等于１８０°．它是揭示三角形三个内角关系的一个基本定理．本文试对该定理的证明思路作分析，供同学们参考．要证明三个内角之和等于１８０°，需进行这样的联想：什么角才是１８０°？具有何种关系的角的和等于１８０°？回答这两个问题并不困难，平角是１８０°，两平行直线被第三条直线所截，同旁内角之和等于１８０°．这样，就可以按照将三角形三内角转化成一个平角或两个同旁内角的和的思路去证明定理了．证法１过△ＡＢＣ的顶点Ａ作ＤＥ／／ＢＣ（图１），则∠１＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ所以∠Ｂ＋∠… 相似文献
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例１ 如图（１） ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＡＤ⊥ＤＣ ,∠Ａ＝１３５°,ＢＣ＝６ ,ＡＤ＝Ｉ２３ ,求四边形ＡＢＣＤ的面积．学生在解这道题时 ,往往急于连接对角线ＡＣ或ＢＤ ,之后就束手无策了．下面举例介绍求不规则四边形面积的两种方法．一、补形法如例１ 可用两种方法 :１ 将原题中的图形补添辅助线成图（２） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ ＝Ｓ△ＯＢＣ -Ｓ△ＯＡＤ＝ １２ＢＣ·ＯＤ－１２ＡＤ·ＯＤ＝ １２ＢＣ２－ １２ＡＤ２＝ １２ ３６－１２ ＝１２．２ 将原题中的图形补添辅助线成图（３） ,有Ｓ 四边形ＡＢＣＤ＝Ｓ 矩形… 相似文献
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三角形中线定理面面观 总被引：1，自引：0，他引：1
玉邴图 《中学数学教学参考》2001,(5)
三角形中线定理是平面几何中非常重要的定理之一 ,它具有广泛的应用 ,故值得我们进一步总结和研究 .为此 ,本文给出它的证明、变式及应用 ,供同行参考 .中线定理 若ＯＡ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线 ,则 |ＡＢ| 2 |ＡＣ| 2 =2 (|ＯＡ| 2 |ＯＣ| 2 ) .一、定理的证明此定理的证法较多 ,这里仅给出两种较简洁的证法 .证法 1 :以ＢＣ所在直线为ｘ轴、Ｏ点为原点建立直角坐标系 ,如图 1 .设点Ａ的坐标为 (ｂ,ｃ) ,Ｃ的坐标为(-ａ ,0 ) ,则Ｂ的坐标为(ａ ,0 ) ,由此得|ＡＢ| 2 =(ａ -ｂ) 2 ｃ2 ,|ＡＣ| 2 =(ａ ｂ) 2 ｃ2 ,|ＯＡ| 2 =ｂ2 ｃ… 相似文献