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以圆锥曲线准线上的两点为直径端点的圆称之为准线圆,本文给出准线圆的一个有趣定点性质,介绍如下.定理设A1,A为横向型圆锥曲线对称轴上的两顶点,P是曲线上不同于A1,A的一个动点,直线PA1,PA与同一条准线分别交于M1,M两点,则以线段M1M为直径的圆必经过曲线与该准线相应的焦点及曲线外的一个定点.证明以圆锥曲线对称轴所在直线为x轴,F为坐标原点建立直角坐标系.设焦点F到相应准线l的距离为p,则F(0,0),准线l的方程为x=-p.设R(x,y)是圆锥曲线上的一点,它到准线的距离为d,则由题设及圆锥曲线统一定义得|PF|d=e|PF|2=d2e2x2 y2=e2(x p)2.… 相似文献
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徐加生 《数理化学习(高中版)》2006,(22)
圆是二次曲线中最基本,最简单的一种图形,但它与一般的圆锥曲线在定义及几何性质方面有着千丝万缕的内在联系·圆与圆锥曲线交汇的问题是高考命题中“在交汇点处设计问题”的良好素材,应引起我们足够的重视·一、由圆的性质导出圆锥曲线的轨迹问题例1已知直线l:y=-1及圆C:x2 (y 相似文献
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圆锥曲线的第一定义和第二定义反映了圆锥曲线的本质特征,在解析几何问题中,凡题目中涉及焦半径、准线、离心率等有关问题,用定义解题是一种重要的基本方法,常常达到事半功倍的效果.下面列举几例以作参考.一、求轨迹例1已知两圆C1:(x 4)2 y2=9与C2:(x-4)2 y2=169,动圆P与C1外切 相似文献
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对于有些解析几何题,正面思考或按常规方法求解较难时,若能利用圆锥曲线系,巧设未知数,往往能起到事半功倍的效果,下举例说明.一、得用共交点的圆锥曲线系解题一般地过圆锥曲线C1:f(x,y)=0与圆锥曲线C2:g(x,y)=0的交点的圆锥曲线系方程都可以表示成:f(x,y)+λg(x,y)=0(λ≠-1)(不包括圆锥曲线C2),如过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).例1已知圆C1:x2+y2+3x+4y+3=0,圆C2:x2+y2+4x+5y-1=0,求过已知两圆的交点,且过原点的圆的方程.解由已知不妨设过已知两圆的交点圆的方程为:x2+y2+3x+4y+3+λ(x2+y2+4x+5y-1)=0(λ≠-1).又圆过原点,将(0,0)代入圆方程可解得λ=3,从而所求的方程为:4x2+4y2+15x+19y=0. 相似文献
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我们知道,下列不等式: x2+y2＜1,x2/a2+y2/b2＜1(a＞b＞0),y2＜2px 表示的区域分别是圆、椭圆、抛物线的内部.有关圆锥曲线的问题,我们常常是从定义和性质出发来考虑的,至于圆锥曲线的内部区域往往易被忽视,其实圆锥曲线的内部在数学中有许多重要的应用,现举例说明. 相似文献
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在高二解析几何教材的圆锥曲线一章中有这样的一个结论 :若P(x0 ,y0 )是圆 :x2 + y2 =r2 上的一点 ,那么过该点的圆的切线方程是x0 x + y0 y =r2 .(证明见教材 ) .问题 :若点P(x0 ,y0 )在圆x2 + y2 =r2 外(或圆内 )时 ,直线l:x0 x + y0 y =r2 是什么样的直线 ?与圆x2 + y2 =r2 有什么关系 ?不妨设点P(x0 ,y0 )不在坐标轴上 .直线l:x0 x + y0 y =r2 的斜率是kl =-x0y0(y0 ≠ 0 ) ,而kOP =y0x0(x0 ≠ 0 ) .∵klkOP =-1,∴直线l⊥OP .圆心O(0 ,0 )到直线x0 x + y0 y=r2 的距离为d =r2x20 + y20=r2｜OP｜.①由①可见 ,直线l与圆的关系由｜… 相似文献
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曾洪根 《数学大世界(高中辅导)》2003,(11):6-7
著名数学教育家波利亚说过,“回到定义去”是一项重要的智力活动.圆锥曲线的定义深刻地揭示了圆锥曲线的内涵,对解圆锥曲线问题有着广泛的应用,下面举例说明. 一、利用定义直接解题[例1] 已知椭圆x2/25+y2/16=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离为( ) 相似文献
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正圆锥曲线中的切线问题是近几年竞赛、高校自主招生考试的考查热点之一,但教材中关于切线问题涉及较少.以下基于有心二次曲线的统一特征,对有关切线问题进行探讨,以飨读者.1有心二次曲线的统一特征(1)定义相似:圆和椭圆、双曲线的定义都可以围绕动点到定点的距离展开.(2)曲线方程相似:圆和椭圆、双曲线的曲线方程可以统一用x2m+y2n=1(mn≠0)来表示. 相似文献
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鄢志俊 《数理天地(高中版)》2002,(6)
圆锥曲线定义是推导圆锥曲线方程的依据,也足解题的方法.面对一个解析几何题首先要想:“可否用圆锥曲线定义?”由此,往往町以发现快捷的通道.例1 点M与点F(0,5)的距离比它到直线y+6=0的距离小1,求点M的轨迹方程.解由题意知,点M到点F(0,5)的距离与它到直线y+5=0的距离相等,故点M的轨迹为抛物线,焦点为(0,5),准线为直线y+5=0,其方程为x2=20y. 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(11)
<正>一、利用定义陌生问题熟悉化圆锥曲线问题涉及的概念、定义比较多,只有深刻理解、运用这些基本概念,才能真正把握解题途径,实现陌生问题熟悉化。例1如图1,已知定圆C_1:x2+y2+y2+4x=0,圆C_2:x2+4x=0,圆C_2:x2+y2+y2-4x-60=0,动圆M与定圆C_1外切,与定圆C_2内切,求动圆的圆心M的轨迹方程。 相似文献
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刘红霞 《数理化学习(高中版)》2006,(19)
圆锥曲线是中学数学教学的重点内容之一,也是历届高考命题的热点,求解圆锥曲线问题时,学生应注意避免以下常见错误.一、忽视隐含条件例1若点P与定点F(0,2)的距离和它到直线y=7的距离比是2∶3,求动点P与定点P1(8,-2)距离的最大值.错解:设动点P(x,y)到直线y=7的距离为d,则|PF|d=2 相似文献
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一、圆锥曲线的定义与性质问题高考真题(2011年高考辽宁理科卷第3题)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 相似文献
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课本溯源(苏教版必修2第103页探究拓展第10题)已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为12,那么点M的坐标应满足什么关系?经研究得到点M的轨迹是圆.推广到两定点A,B的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆.与圆锥曲线的第二定义类似,我们把"平面内到两个定点的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹"叫做圆的第二定义.圆的第二定义在高考中已热考多年.在解题时,仔细分析题干条件,运用圆的第二定义切入求解,常 相似文献
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与圆锥曲线有关的轨迹问题是解析几何中的一类重要问题,它往往和圆锥曲线的定义和性质有密切的联系,因此,在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时,要特别重视圆锥曲线的定义和性质在求解时的作用.下面谈谈几种常见求轨迹方程的技巧与方法. 一、直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,即直接通过建立 x、y之间的关系,构成F(x,y)=0,这种方法叫直接法.例1 已知两条直线 l1∶2x-3y+2=0 和l2∶3x-2y+3=0。有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2 都相交,且 l1、l2 … 相似文献
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本文就如何运用Authorware绘制圆锥曲线等的运动轨迹谈一点体会。一、圆锥曲线的运动轨迹的绘制方法1.圆运动轨迹的画法原理:把圆划分为无数条微小线段,线段的起点为(x1,y1),终点为(x2,y2)。用计算机绘制出这些小线段近似地代替圆,其中x=acos(ds),y=asin(ds)(ds表示角参数)。 相似文献
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求轨迹或轨迹方程是解析几何中的一个重要问题,而求动圆圆心的轨迹(或方程)贯穿于整个解析几何之中,其轨迹既可以是直线和圆,也可以是圆锥曲线.通过对这类问题的学习,可以帮助学生更好地理解圆锥曲线的定义和性质,帮助学生理清各种多变的动圆圆心的轨迹情形,做到心中有数,胸有成竹.1轨迹是直线若动圆与一定直线相切,且半径为定值时,圆心的轨迹是二条直线.例1一个动圆与直线x+y=0相切,且半径为2,则动圆圆心的轨迹方程是.分析根据直线和圆相切及点到直线的距离公式,不难得到动圆圆心的轨迹方程是y=x±2.2轨迹是圆若动圆与二个给定的同心圆中的… 相似文献
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赵春祥 《数学大世界(高中辅导)》2006,(3)
三、圆锥曲线的焦点弦问题过焦点的直线与圆锥曲线相交,两个交点的线段叫焦点弦,与焦点弦有关的圆锥曲线问题常用定义(特别是第二定义中的焦半径公式)把问题转化.1.如果弦MN过椭圆的焦点F1,设M(x1,y1),N(x2,y2),则|MN|=a ex1 a ex2=2a e(x1 x2).【例6】设椭圆方程为ax22 by22=1 相似文献
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圆锥曲线极点与极线的一组性质 总被引：3，自引：0，他引：3
1圆锥曲线极点和极线的定义
已知圆锥曲线C：Ax^2＋Cy^2＋2Dx＋ZEy＋F=0（A^2＋C^2≠0）,则称点P（x0,y0）和直线l：Ax0x＋Cy0y＋D（x＋xo）＋E（y＋y0）＋F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线． 相似文献
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在平面几何中,设O是圆中定弦AB的中点,过O作两条任意弦CD和GH,若CH和GD分别交AB于P和Q,则OP=OQ(如图)。这就是著名的“蝴蝶定理”。笔者认为上述结论,可以推广到圆锥曲线中,为此,先证明以下引理:引理:以圆锥曲线的一条对称轴为y轴,轴上的点O为原点建立直角坐标系,若过点O的直线l1:y=k1x交圆锥曲线于两点C(x1,y1)、D(x2,y2),直线l2:y=k2x交圆锥曲线于两点G(x3,y3)、H(x4,y4),则有k1x1x2(x3+x4)=k2x3x4(x1+x2)………………………(!)证明:由圆锥曲线的对称轴为y轴,可设圆锥曲线的一般方程为ax2+cy2+dy+f=05(a≠0)……………(1)将直… 相似文献
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平面解析几何知识包括直线和圆的方程,圆锥曲线方程,还有极坐标方程,这是高考必考内容。在近几年全国统一高考试题中,主要考查学生计算能力,逻辑推理能力,分析问题、解决问题的综合能力等。笔者结合近几年的高考题,分类说明如下:一、直线与圆位置关系①直线与圆相切问题,主要利用圆心到切线的距离等于圆的半径(点到直线的距离公式)。例如:1.若直线(1 !) y 1=0与圆x2 y2-2x=0相切,则a的值为A1,-1B2,-2C1D-12.设直线l过点(-2,0)且与圆x2 y2=1相切,则的斜率是A±1B±21C±!33D±!3②有关弦长问题,通常利用弦心距、弦半径、圆半径所构成的直… 相似文献