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1.
于志洪 《苏州教育学院学报》1986,(1)
本文主要研究用极坐标系中两点P_1(P_1,θ_1)、P_2(P_2,θ_2)间的距离公式:P_1P_2│=(p_1~2+p_2~2-2p_1p_2cos(θ_1-θ_2))~(1/2)和过这两点的直线P_lP_2的斜率公式:Kp_1p_2=(p_2sinθ_2-p_1sinθ_1)/(p_2cosθ_2-p_1cosθ_1),及过这两点的直线方程:sin(θ_2-θ_1)/p=sin(θ_2-θ)/p_1+sin(θ-θ_1)/p_2 (p_1≠0、p_2≠0)来对部分几何题进行证明. 相似文献
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由平面直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ,可得极坐标系中两点P_1(ρ_1,θ_1)、P_2(ρ_2,θ_2)所决定的直线的斜率公式为: K_(p_1P_2)=(ρ_2sinθ_2)-ρ_1sinθ_1)/(ρ_2cosθ_2)-ρ_1cosθ_1)。本文拟应用这一公式来证明平面几何中有关直线互相垂直的一些问题。 相似文献
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运用极坐标法证明这类问题时,主要利用两点p_1(ρ_1,θ_1)、p_2(ρ_2,θ_2)间的距离公式:|p_1p_2|=(p_1~2+p_2~2-2ρ_1ρ_2cos(θ_1-θ_2))~(1/2)和过这两点的直线p_1p_1的方程:sin(θ_2-θ_1)/ρ=sin(θ_2-θ)/ρ_1+sin(θ-θ_1)/ρ_2。这一公式和方程都可利用坐标互化公式:x=pcosθ、y=ρsinθ代入直角坐标系的相应公式和方程中,结合三角知识得到, 这类问题的证法和步骤是: 第一步,首先按照几何图肜的特点,适当建立极坐标系,并根据题设,设置有关各点的坐标; 第二步,再应用上述公式和方程求出有关线段的 相似文献
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<正>有奖征解[1]对于任意给定的常数ρ≠0,ρ∈R,如果等式sinρθ+cosρθ+(sinθcosθ)ρ+1/sinρθ+cosρθ=2(2)ρ+(2)ρ2+(12)ρ(0<θ<π2)成立,求证sinθ+cosθ=2.证明显然,当ρ=2时,由已知等式化简,可得sinθcosθ=1/2,所以(sinθ+cosθ)2=2.又 相似文献
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全日制十年制学校高中数学二册课本P181推导出极坐标和直角坐标的互化公式,即 x=ρcosθ,y=ρsinθ.(1) ρ~2=x~2+y~2,tgθ=y/x,(x≠0) (2) 教材接着指出:在一般情况下,ρ取正值,由tgθ确定θ角时,应根据点M所在的象限取最小正角。利用公式(1)、(2),可以把点的坐标或曲线的方程由直角坐标的化成极坐标的,或由极坐标的化成直角坐标的。课本强调在一般情况下,ρ取正值,这在练习与习题中绝大多数题都是奏效的,正因为这一点,不少人,甚至有些书刊都忽视在某些问题中,ρ必须取正、负值,或者只能取负值。例如,由人民教育出版社出版的“全日制十年制学校高中数学第二册教学参考书P218对课本P189习题二十三第12题所作答案是极坐标方程为ρ=2αsinθcosθ,即ρ=αsin2θ(1), 相似文献
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于志洪 《昭通师范高等专科学校学报》1987,(Z1)
平面几何中的定理较多,每个定理都有它原来各自的论证方法。但其中某些定理的证明改用极坐标法后,不仅能使证法简捷,而且能使我们触类旁通,开阔视野,从而不断提高自己的解题能力。 下面就应用极坐标系中,过P_1(ρ_1,θ_1)和P_2(ρ_2,θ_2)两点的直线方程: 相似文献
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定理若 a>0,则将等速螺线ρ=ρ_0+aθ绕极点旋转((2ρ_0)/a-π)弧度即得等速螺线ρ=ρ_0-aθ.证明将等速螺线ρ=ρ_0+aθ(a>0)连同所在的极坐标系绕极点旋转((2ρ_0)/a-π)弧度,则所得的等速螺线在新系中的方程为:ρ′=ρ_0+aθ′.又由全日制十年制学校高中课本第二册第202页第6题之结论得: 相似文献
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张广学 《中学数学教学参考》2006,(7)
定理1 设α_1,α_2,…,α_n∈[2kπ,(2k+1)π],其中 k 取自然数,α_1+α_2+…+α_n=θ(θ为定值),则 sin α_1+sin α_2+…+sin α_n≤nsin θ/n,当且仅当α_1=α_2=……α_n=θ/n 时等号成立(其中 n≥2).证明:采用数学归纳法.①当 n=2时,sin α_1+sin α_2=2sin((α_1+α_2)/2)cos((α_1-α_2)/2)=2sin(θ/2)cos((α_1-α_2)/2)≤2sin(θ/2).②假设 n=m 时命题成立(这里的 m 是大于2的自然数), 相似文献
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现行全日制普通中学数学教科书 (试验修订本·必修 )第二册 (上 )第七章“直线和圆的方程”中有这样一道习题 :求函数 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 的最大值和最小值 .编者把此题放在这里 ,意图十分明显 ,就是可把 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 看成是定点 ( 2 ,1 )与单位圆 x2 + y2= 1上的动点 ( cosθ,sinθ)连线的斜率 ,从而问题转化为求斜率的最大值和最小值 .笔者由此得到启发 ,对动点在常见曲线上的“分式三角函数”的最值问题作如下探讨 ,供教与学中参考 .1 构造直线例 1 求 y=3sin x- 1sin x+ 2 的最值 .分析 因为 y=3sin x- 1sin x- … 相似文献
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圆锥曲线的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)……(1)中,当01时,它表示有心的二次曲线(椭圆,或双曲线),如果极坐标方程(1)化成直角坐标方程是(x-m)~2/a~2±y~2/b~2=1……(2),下面给出极坐标方程(1)中顶点的极径ρ与直角坐标方程(2)中a、b、c之间既简单又便于记忆的转化公式。 [定理一] 在极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)中…(1) 当01)时,设椭圆长轴两端点(或双曲线或实轴两端点)的极坐标分别是(ρ_1,0)和(ρ_2,π),则: 相似文献
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椭圆以某定点为中点的弦并非一定存在,那么,中点弦存在的充要条件是什么?有何应用,本文作下列探讨: 一中点弦方程的一种求法。设椭圆b~2x~2 a~2y~2-a~2b~2=0,(a>0,b>0)…(1) 及定点P_0(x_0,y_0),若以P_0为中点的弦存在,且两端点分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) 则:b~2x_1~2 a~2y_1~2-a~2b~2=0 b~2x_2~2 a~2y_2~2-a~2b~2=0 两式相减整理得: (y_1-y_2)/(x_1-x_2)=(x_1 x_2)/(y_1 y_2)·b~2/a~2 =-b~2/a~2·x_0/y_0 (x_1≠x_2) 即k=-(b~2x_0)/(a~2y_0),代入点斜式得中点弦方程:a~2y_0y b~2x_0x=a~2y_0~2 b~2x_0~2……(2) 如果x_1=x_2,那么y_0=0,中点弦方程为x=x_0仍包含在(2)中。 相似文献
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在直角坐标系下,对形如 x~2 y~2 Dx Ey F=0 (D~2 E~2-4F>0) 及(x-a)~2 (y-b)~2=r~2的方程,易知都是圆的方程。其圆心坐标分别是(-D/2,-E/2)及(a,b),半径分别为(D~2 E~2-4F)~(1/2)/2及r。但对极坐标系下圆方程的一般形式,在统编教材高中数学二册未作介绍。在教学中,学生对什么形式的极坐标是圆的方程以及如何根据圆的极坐标方程,找出它的圆心坐标和半径,往往感到困难。笔者认为有必要对此作一般性地讨论。在极坐标系中(如图),已知圆心C(ρ_0,θ_0),半径为r。设P为圆上任意一点, 相似文献
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本文例谈应用方程根的定义解题,方法新颖,简捷明快. 例1 已知a、b是关于z的方程 z2 sinθ z cosθ-1=0 的两个不等实根,求证:无论θ为何值,在坐标平面上过点A(a,a2)、B(b,b2)的直线恒切于一定圆. 相似文献
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周作杰 《中学数学教学参考》1994,(9)
2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ)cos2θ=cos~2θ-sin~2θ=(cosθ sinθ)(cosθ-sinθ) =2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ) ·2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ-2~(1/2)/2sinθ), 则得cos2θ=2cos(θ π/4)cos(θ-π/4)或者cos2θ=2sin(π/4 θ)sin(π/4-θ). 应用上面的结论求解某些余弦函数或正弦函数的乘积时则显得简洁又明快,现举例如下. 例1 求证sin15°sin30°sin75°=1/8. 证明:sin15°sin30°sin75°=1/2sin15°sin75° 相似文献
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本文介绍利用直线两点式参数方程来证明比例式的一种规范化有效方法,供参考。一、直线两点式参数方程如图, 设P_1(x_1,y_1)、P(x_2,y_2)、P(x,y)都是直线l上的点,且P_1P/PP_2=λ则(x=x_1+λx_2/1+λ)/(y=y_+λy_2/1+λ)(λ为参数,λ≠-1) 即为过P_1、P_2两点的直线的参数方程。∵由(x_1-x_2)/(x-x_2)=1+λ 及 相似文献
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本文用极坐标法对一几何定理及其推广进行证明。引理已知A、B为圆ρ=2acosθ上二点,它们的极角分别为θ_1和θ_2。从极点O作OH⊥AB,H为垂足。求证:ρ_H=2acosθ_1cosθ_2。证明如图1,∵∠ACO=∠ABO,△OAC和△OHB都是Rt△,∴∠BOH=∠COA=θ_1,∴ρ_H=|OH|=ρ_Bcosθ_1=2acosθ_2cosθ_1。 相似文献
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设P_1（x_1,y_1),P_2（x_2,y_2）是坐标平面上的两点,直线L的方程为f(x,y) =ax by C=0,二次曲线G的方程为 F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx十Ey十F=0.1 若记直线P_1P_2与直线L的交点为P（x,y）,并且P点分所成的比为λ（λ≠-1).则 x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y=(y_1 λy_2)/(1 λ).代入方 程f（x,y）=0得:a（x_1 λx_2） b（y_1 λy_2） c（1 λ）=0,即ax_1 by_1 c λ(ax_2 by_2 c)=0. 相似文献