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(一) 我们知道,方程z~n-1=0(n是自然数)有n个复根α_0,α_1,……,α_(n-1),其中α_k=cos2k/nπ+isin2k/nπ(k=0,1,2…,n-1),根据一元n次方程的韦达定理,有α_0+α_1+α_2+…+α_(n-1) 相似文献
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题目:求麟。一。了绍撰猛的值域,以下各种思路及解法都来目脸生.思路一:化为“能认(二+们十b”型. 工劣/劣解法一:。一‘S’n二i些空仁l兮{渔世功‘了2· 二一51且,艺 兀、吸X月~-几下少一 4笋一1.也即红” 5 In火COS义l+5 ijl工eos:变型为*华女叮劣一卜岛义、2夕后取值应去掉g井一1.,引n着cos香+ZcOSZ着所‘”域应为!了2十1 2一])U(一1,.戈.乙cos百“In劣/。x万气COS“万一5 111:,\ Z/2005普(s‘。普(S‘”讼一十cos云)了2一1 2〕思路二:解法三:化为“f(才,妇~。”型. _劣.大\co‘丁一“’且丁) 劣拦宜卜十犷了丫“52二,进行万帐于… 相似文献
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,、、、,了了 北京市一九五七年中学生数学竞赛高三第二试第3题是 “方程51矛月十si价B十si护C=1中设刁,但A与B+O是锐角, s‘n“》“‘n(即有二一B一OB,C都是锐角,求证:号叹“十”十叮《‘”·从而A》要一B一c,即A 乙十B十。》粤. 艺- 该题的原证法[l1如下:由题设 51护」=1一sin,B一sin,G=cos,B一sin,O =eos,B一sin,Ceos,B+sin,口eos,B 一日i扩O 二eos,刀cos,口一Sin.口Sin,B =(eosBeosC一sinCsinB)(cosBeosO +sinC3inB) 二eos(B+C)eos(B一C).今B和o都是锐角,故eos(B一a))o,从而eos(B+O))0,即B+G也是锐角,因此刁+B十C簇忿… 相似文献
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张广学 《中学数学教学参考》2006,(7)
定理1 设α_1,α_2,…,α_n∈[2kπ,(2k+1)π],其中 k 取自然数,α_1+α_2+…+α_n=θ(θ为定值),则 sin α_1+sin α_2+…+sin α_n≤nsin θ/n,当且仅当α_1=α_2=……α_n=θ/n 时等号成立(其中 n≥2).证明:采用数学归纳法.①当 n=2时,sin α_1+sin α_2=2sin((α_1+α_2)/2)cos((α_1-α_2)/2)=2sin(θ/2)cos((α_1-α_2)/2)≤2sin(θ/2).②假设 n=m 时命题成立(这里的 m 是大于2的自然数), 相似文献
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设a:,aZ,…,a.是不相等的正数,则成立著名的Cauchy不等式ln些吐l+ln旦丝生卫+ UU a。一 ._.,、一户之之、’二下1 11_~ Uak+1一(T a 兰_”7厄二一,,、幸乏lak户了、性la“’、‘’ak+2一a a+…+a。一口 a(6) 不等式(1)有很多证明,本短文借助于不等式化简得 lnak+zak+2‘”an任n一k(2)(ak,,+ak+:+…+an)一(n一k)a(7)(ak十z+ak+:+…+an)一(n一k)aV/但a一b_,a_a一b 了、咬In百久而『,此处a>b>0,给Cauchy不等式一个较简的证明。不等式(2)的证明是简单的。事实上, 1据拉格朗日中值定理ln“一Inb二万〔“一b),其中a>c>b>0.由此推得不等式(2).… 相似文献
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“数学教学通讯”1982年第1期的“关于复数题的分类”一文中,有这样一个例题: “已知x+1/x=1,求x~(14)+1/(x~(14))~n此题可以看成是下面问题的特例:(θ=π/3n=14) “已知,x+1/x=2cosθ.求x~n+(1/x~n)~n一般的解法是由已知条件求出x=cosθ±isinθ, 相似文献
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命题均可表为任一勾股数组(a,白,c)(a(b)(a。,a。+k,cn),其中a。二无(e矛。、:+e少。、,.2+…+C矛J十:·Zn一‘)c。=k(C绪n十;+C萝。、1·2+…+C矛J草亡.zn).(k,n任N)证明因a<白,可设b=a+k(k任N).因aZ+(a+k)“=cZ:·(,+窄)2=一工,一Zk训丝十无一(华)‘‘)(1十令-二~1。因(1+侧丁)““辛=(一1)么n十‘=一1,.(1一侧玄)2”+‘ 可令十侧2kc=(1+侧丁)2“+‘,+毕一哗一“一(l一训厄一户·1 K尤(n任N)。。日、。k。,月‘,二、。。_贝tJI苛a二丁比、上卞V乙)一’ q+(1一训丁)Zu宁‘一2〕C〔(1+侧丁)之”+1k一︷4 一(1一训丁):n+,展开整理即… 相似文献
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)(xy一3). 2.902士+4b枯()2. 3.若a、b互为相反数.则a(x一即卜b(2y一)的值是__. 4.若1一xk=(l+x2)(l+x)(-一),则k=_. 5。在一个半径为12.75 cm的圆内剪去一个半径为7.25 cm的圆,则 剩下的面积是 6.如果(;n+n)(m一n)2+Zmn(m+n)=M(m+n),则M=_. 7.如果梦十加+b2一6b+1O=0,则二_,b=_. 8.下列式子中,包含(b、)这个因式的是(). ①a(b一e)+e一b②a(b一e)一6一e ③。(a+b)一a(,e)④。(b+e)一b(b+c) A.①和②B.除②以外C.②和③D.除④以外 ,.已知x+y=l声)二一50,则x分+x尹的值为(). A一50 B.50 C.0 D.l 1众若49+k,+10Q‘2可以分解为(l价+7)2,那… 相似文献
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二项标准式(a+b)”的通项公式为:Tk+,一。者an一kb“,其应用是多方面的,现用实例阐明。求展开式特定项的系数例‘求‘X一士,’展开式中系数最大项的系数。__7一1_.7+1解’:k,~—一3,kz-—~4, 2 .2 T3+1一c拿‘X’“一士,’一35x圣,T4+,一c李‘x,’‘一士,‘一35x。 系数最大项的系数是35.、最大系数:当n为奇数时,展开式的项数是偶数,有两个绝对值相等的最大系数,__n十1_.‘,,__.‘.__._、二__…_、_._二_.和k~-二厂一叮,c言的但最大.兰n为偶数时,展升式的项数是奇数,有一个最大系 艺,11工一 一一9自 n一 注:即当k=数,即当k-粤时,c李的值最… 相似文献
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当m-十x十l。n不是3的倍数的正整数,m>n,且m与n之和是3的倍数时,则代数式xm+x”十]必有因式x“.二这是一个分解因式的方法,现证明如下。设f(劝二xm+xn+1,要证xZ十x+1是f(x)的一个因式,只需证明x,,2=一1土亿 2多1是方程f(劣)的根。由于卫主了互左一cos夸物l7n粤·“了“!,2,=(co,夸“sin争)+(co,兰二:i:in卫卫一、n+i 、33,cos竺性干1 sin 3旦塑些 3十COS4拄派3干isin些丝丝 3=2‘l,S鲤望竺卫王.cos~些竺二竺二』王 66油in生些竺竺生cos土业生少王+1令m+n二3k(左=1,2,3,…),由于m>n,m和n均不是3的倍数,所以m一n=3艇1,_~,,、~__‘~‘___/。… 相似文献
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题:函数习=“inxeo:x 。in: eo。。的最大值是,一___,_.。(1990年高考理科数学题) 1。三角法 解法1夕二sinxcosx sinx cos二=专“详2x 了百成n(x十士幻,当x二2寿”十寺二(k任Z)时,sinZx和sin(x 像一二)同时取得最大值,故夕。。二=专十了万。 解法2’.’,=(1 eoox)(1 “inx)一1 =4eos之士xeo32(十兀一士x)一1 =〔eo。十厂 co。(x一去万)〕“一1 《(专了丁十1)2一1=专 训万,=专十了丁。3,.’百=士(5 inx cosx 1)2一1=于〔训丁:in(x 十二) 1〕2一1(一爹(了丁十1)2一1=专十训丁,故y。。:二士 了丁。 2。不等式法 解法4,.’g《于(s inZ丈十c。… 相似文献
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戴志祥 《河北理科教学研究》2013,(2):44-46
问题 设x∈(0,π/2),则函数y=225/4sin2x+2/cosx的最小值为_____.
此题是2007年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第10题,竞赛组委会给出的标准答案如下:
解:因为x∈(0,π/2),所以sinx＞0,cosx＞0,设k＞0,y=225/4sin2x+ksin2x+1/cosx+1/cosx+kcos2x-k≥15(√)2kk+3(√)3k-k①.等号成立当且仅当{225/4sin2x=ksin2x 1/cosx=kcos2x＜＝＞{sin2x=15/2(√)2k cos2x=1/(√)3k2,此时15/2(√)2ｋ+1/(√)3ｋ2＝1,设1/k=t6,则2t4+15t3-2=0,而2t4+ 15t3-2=2t4-t3+16t3-2=t3(2t-1)+2(2t-1)(4t2+ 2t+1)=(2t-1)(t3 +8t2 +4t +2),故(2t-1)(t3+8t2+4t+2)=0. 相似文献
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题:求函数f(二)一小正周期.。,l一tg艺二、:0气二~-甲一—一f一, 1十tg‘x的最解:‘:r,一、。,1一tg艺x、:J、汪j一J气二一~厂一二厂一少-一1 1十tg一x=5(eosZx)“一l 。_、,l·十cos4x~勺入— 乙一1 53一万cos仃十万··,.了(了’的最“、正周期是譬一今上面的结果是错误的,因为:如x一。时, _1一0、二~~~,,、,。一、、,J LU少一匕气了一万一不,‘一1一4;久幽狱J戈x)阴正义 1丫卜U域是{x{x任R且二半k二十粤,k任z},…f(0 乙不尤一2十粤) 乙无意义二,.f(。)共f(。十粤)二,. ‘是函数厂(x)的周期. 因这个函数的定义域是实数集中除去一些弧… 相似文献
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牛普选 《开封教育学院学报》1994,(4)
本文对三角函数有限和式sum from k=1 to n(sec~m)(2k)/(2n+1)π进行了化简计算,得到了结果sum from k=1 to n(sec~m)(2k)/(2n+1)π=2~(m-1)(2n+1)A_1_0(m,n)-2~(m-1)(n+1)~m其中m≥2,41_0≡-m(mod2n+1),A_1_0(m,n)是与m,n有关的式子。为简便起见,本文中将使用如下记号: 相似文献
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1.指出,对于任意自然数n,有将以上不等式相加,得典一琦一琴 …*-2‘3‘1厂<旦卫 ll1 .11二1/‘1砰十乎十班十“’十平火1一万=n一1111 一一证明,因为<共 1.乙 1一丁’所以22 l,1-二歹一峨几、又一万O一乙.j万一万’琴灯一工4‘’3一414’岁·矗·扣…乒<宁一2.化简、‘X ·,‘XZ 一)…(xZn一‘ 。2“一‘),.一八Q若x年a,则(x、a)(xZ a“)1,1吸、牙甲一.下二一一二 气fi一1少1111n一In·…了Zn一‘2’‘一‘、 \X a/犷 /Zn一‘2飞一’、(x一a)(x a)(x乙 a‘)…\x、a/_(xZ一a“)(x“ a“)(x名 a弓)…/2九一‘2几一‘\、·x a/X一aX一a,… 相似文献
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在三角恒等式sin(二+掩6)。竺逻叫·+丫吟口一2 n Scos(x+存6)二醋一(·+号“)~~~,.~.,.‘.,.-1习h-..-1名柯中,令 一1 口。2才=拜,口=”(,:〔N,。)2)则有一a+殊兀。5 In-一—---一一二二U云。os。绝一,壳一0艺曰 运用这两个公式,值计算问题. 例1计算:(1)可方便地解决一类三角式的求 4几+cos~了一十毋舀6汀7纷︸7 O+cos瞥+。05‘号‘+。05垮些 7,‘、兀(名)COS石ee COS O通1 5﹁曰.0兀r、/.r OU 解:(1)原式==一1。Zk才eos一7一e0SO二0一1(2)注意到eos 衬=cos万,CoS加扬 3对=cos百 cos石 2对一cos一万 介=COS~二.十COS b旦丝6 1/兀… 相似文献
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《天津教育》1981,(7)
,二、工、m只仁IJ气a夕—一,丙一 COS口(b)研ag(1 5 ino)tgo(e)(1)(d)(2)(e)n._:1,r、。」__、,_01=tg‘—气I)。恶=19一卜(2)(h)v《矿林ag(i)(j)(1) (g)(2)(k)矿ag(i 5 ino:)tg(0:一02)(l)了ag(1 sino:)etg(0:一0:)(m)(1)(a)(n)、》‘/鲤 V林〔2〕(1)典(b)典t(e)m曰mU丫.2mD艺 eV(d)eV(2)D一x Dne(‘)号ne (e)(g)}neZVmDZ(h)件 (3)〔3〕(a)(i)ne(j 2(b)7(e)电子(f) neV4(e)He(d)6(g)一C了ZML(MP一ML一ma)ma(ML ma)(h)2(i)Xl=Zmavsino qB betgo(j)tA=Zmao qB bvsino(k)tp二4〕(A) 3Mlg P介nlaqB(a)=1 .3 x 10一7(秒)O(B)(b… 相似文献
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1989年全国高中数学联合竞赛试题第二试共三题,其中二、三两题均可用从特殊到一般的方法予以解决. 第二题已知x‘任天(i=1,2,…,:,(习x:)O习x‘<0 一1X试乏之-二~一 乙甘二12儿”)2)满足又}汽习x‘二O。=又 x‘妻OX艺i一十习今x忆相似文献
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三、C(s~m,r)数的三组求和公式引理1.任一和式f(x)=∑a_kx~k,记w为1的n次根 (w=cos(2π)/n+isin(2π)/n-e~(i(2π)/n)), 则对任二整数n>k≥0,有 a_kx~k+a_(k+u)x~(k+k)+a_(k+2n)x~(k+2n)+… =(1/n)sum from j=0 to n-1 (w~(-jk)·f(w~j,x).(A) 相似文献