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对于线段的和差倍分在几何论证中视为简单的一类 ,但方法选得不当其证明常带来困难 ,这里介绍利用截长补短 ,加倍折半法转化为证明线段的相等 ,特举例说明。例 1 在梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ∥ＤＣ ,ＡＤ⊥ＡＢ ,∠ＢＣＤ平分线ＣＭ过ＡＤ的中点Ｍ ,求证 :ＡＢ +ＣＤ =ＢＣ。图 (1 )证一 :如图 (1 )在ＣＢ上截取ＣＮ =ＣＤ ,连结ＭＮ ,则△ＣＤＭ≌△ＣＮＭ ,∴∠ 3 =∠ＤＭＮ =ＭＤ =ＭＡ ,连结ＭＢ则Ｒｔ△ＢＭＮ≌Ｒｔ△ＢＭＡ∴ＮＢ =ＡＢ即ＡＢ +ＣＤ =ＣＮ +ＮＢ =ＢＣ图 (2 )这里用的截长法。证二 :如图 (2 )延长ＢＡ ,ＣＭ交于Ｎ∵ＡＢ… 相似文献
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切线长定理告诉我们 ,从圆外一点引圆的两条切线 ,它们的切线长相等 .对于题设中已知或隐含着圆的两条相交切线的求值或证明问题 ,巧用切线长相等这一性质 ,可使解题简捷 .例 1 如图 1 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,直角边ＡＣ =4 ,ＢＣ =3,⊙Ｏ内切于Ｒｔ△ＡＢＣ ,则⊙Ｏ的半径ｒ=.( 2 0 0 0年广东省广州市中考题 )解 设⊙Ｏ与Ｒｔ△ＡＢＣ的三边分别切于Ｄ、Ｅ、Ｆ ,连结ＯＤ、ＯＥ、ＯＦ ,则四边形ＯＥＣＦ是正方形 .∴ ＣＥ =ＣＦ =ｒ.∴ ＡＥ =ＡＣ -ｒ,ＢＦ =ＢＣ -ｒ.∵ ＡＣ =4 ,ＢＣ =3,∴ ＡＢ =ＡＣ2 +ＢＣ2 =5 .∵ ＡＤ与ＡＥ、… 相似文献
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一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,∠Ａ =32°,那么∠Ｂ =.(2 0 0 1年广西壮族自治区中考题 )2 在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,若锐角Ａ的平分线与锐角Ｂ的邻补角的平分线相交于点Ｄ ,则∠ＡＤＢ =. (2 0 0 1年河北省中考题 )3 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =∠Ｃ ,ＦＤ⊥ＢＣ ,ＤＥ⊥ＡＢ ,∠ＡＦＤ =15 8° ,则∠ＥＤＦ =度 . (2 0 0 1年天津市中考题 )4 长度为 5ｃｍ ,7ｃｍ ,10ｃｍ的三条线段能否组成三角形 ?答 :.(2 0 0 1年山东省滨州市中考题 )图 1图 2 5 如图 2 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ在ＡＢ的延长线上 .若∠ 1=6 0° ,∠ 2 =5 0°,则∠Ａ… 相似文献
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全等三角形是能够完全重合的两个三角形 ,它们的对应边相等 ,对应角相等 .巧用这两个相等 ,可顺利地解答一些几何求值和证明问题 .例 1 如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＣＢ =90° ,ＡＣ=ＢＣ ,ＡＥ是ＢＣ边上的中线 ,过Ｃ作ＣＦ⊥ＡＥ ,垂足是Ｆ ,过Ｂ作ＢＤ⊥ＢＣ交ＣＦ的延长线于Ｄ ,ＡＣ =1 2 .求ＢＤ的长 . ( 1 997年浙江省中考题 ) 解 ∵ ∠ＡＣＢ =90°,ＣＦ⊥ＡＥ于Ｆ ,∴ ∠ 1 =90° -∠ 3=∠ 2 .在△ＤＢＣ和△ＥＣＡ中 ,∵ ∠ＤＢＣ =∠ＥＣＡ =90° ,ＢＣ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴ △ＤＢＣ≌△ＥＣＡ .∴ ＢＤ =ＣＥ .∵ Ｃ… 相似文献
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求圆中锐角三角函数值的问题 ,涉及的知识点较多 ,综合性较强 ,解法也较灵活 .每年的中考中都有这种类型的试题 ,用以考查学生综合运用知识的能力 .一、转移线段比例 1 如图 1,Ｐ为⊙Ｏ外一点 ,ＰＡ切⊙Ｏ于点Ａ ,ＰＡ =8,直线ＰＣＢ交⊙Ｏ于Ｃ、Ｂ两点 ,且ＰＣ =4 ,ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,连结ＡＢ、ＡＣ ,∠ＡＢＣ =α ,∠ＡＣＢ =β .求ｓｉｎαｓｉｎβ的值 .(2 0 0 1年湖北省沙市中考题 )思路分析 在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＡＣＤ中 ,ｓｉｎα =ＡＤＡＢ,ｓｉｎ β =ＡＤＡＣ.∴ ｓｉｎαｓｉｎ β=ＡＤＡＢ·ＡＣＡＤ=ＡＣＡＢ.故只需求 Ａ… 相似文献
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题目 如图 1 ,已知四边形ＡＢＣＤ外接圆⊙Ｏ的半径为 2 ,对角线ＡＣ与ＢＤ的交点为Ｅ ,ＡＥ =ＥＣ ,ＡＢ =2ＡＥ ,ＢＤ =2 3.求四边形ＡＢＣＤ的面积 .( 2 0 0 0年全国初三数学竞赛题 )这是一道综合性与技巧性都较强的试题 ,解题的思路开阔 ,方法较多 .图 1图 2 解法一 如图 2 ,∵ ＡＢ =2ＡＥ ,ＡＥ =ＥＣ ,∴ ＡＢ2 =2ＡＥ2 =ＡＥ·2ＡＥ =ＡＥ·ＡＣ .∴ ＡＢＡＣ =ＡＥＡＢ.又∠ＢＡＥ =∠ＣＡＢ ,∴ △ＡＢＥ∽△ＡＣＢ .∴ ∠ＡＢＥ =∠ＡＣＢ .∵ ∠ＡＣＢ =∠ＡＤＢ ,∴ ∠ＡＢＥ =∠ＡＤＢ .∴ ＡＢ =ＡＤ .作直径… 相似文献
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分析近年来各地的中考试题 ,可以发现许多题目都是由课本习题改编而成 .因此 ,同学们应对课本的例、习题给以足够的重视 .立足课本 ,认真探究一题多解、一题多变 ,有助于提高分析问题、解决问题的能力 .图 1题目 如图 1 ,已知在△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =90°.Ｏ是ＡＢ上一点 ,以Ｏ为圆心 ,ＯＢ为半径的圆与ＡＢ交于点Ｅ ,与ＡＣ切于点Ｄ ,ＡＤ =2 ,ＡＥ =1 ,求ＣＤ的长 .(初中《几何》第三册 2 1 4页第 8题 )一、多种解法解法 1 设⊙Ｏ的半径是ｒ,连结ＤＯ .∵ ＡＣ切⊙Ｏ于Ｄ ,∴ ＤＯ⊥ＡＣ .在Ｒｔ△ＡＤＯ中 ,由勾股定理 ,得ＡＤ2 +ＤＯ2 … 相似文献
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综观近几年的中考数学试题 ,一类能较全面的考查学生能力的新题型———材料阅读题正逐渐成为热点 ,并且在试题中所占的比重也越来越大 .下面简要介绍这类试题 .一、补全解题过程型图 1例 1 填空 :如图 1 ,已知ＡＥ与ＢＤ交于点Ｃ ,且ＣＤ =ＣＡ ,ＣＢ =ＣＥ .求证 :ＡＢ =ＤＥ .证明 :在△ＡＣＢ和△ＤＣＥ中 ,ＣＡ =ＣＤ(已知 ) ,∠ 1 =∠ 2 ( ) ,ＣＢ =ＣＥ(已知 ) ,∴ △ＡＣＢ≌△ＤＣＥ( ) .∴ ＡＢ =ＤＥ(全等三角形的对应边相等 ) .( 1 999年陕西省西安市中考题 )解答略 .评注 这种类型的试题一般是考查学生的基… 相似文献
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下面举例说明圆幂定理在几何证题中的常见应用 .一、证明两条线段相等例 1 如图 1 ,已知ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ分别是△ＡＢＣ三边上的高 ,Ｈ是垂心 ,ＡＤ的延长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｇ .求证 :ＤＨ =ＤＧ .( 1 997年甘肃省中考题 )分析 由相交弦定理有ＤＧ·ＤＡ =ＢＤ·ＤＣ ,即ＤＧ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .从而 ,欲证ＤＨ =ＤＧ ,只须证ＤＨ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .为此 ,只须证△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ .证明 如图 1 ,由已知有∠ 1 ∠ 3=90°,∠ 2 ∠ 4 =90°.∵ ∠ 3=∠ 4 ,∴ ∠ 1 =∠ 2 .∵ ∠ＡＤＢ =∠ＣＤＨ =90°,∴ △ＡＢＤ∽△ＣＨＤ… 相似文献
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一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.如图 1,四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形 ,∠ＡＢＣ =115° .那么 ,∠ＡＯＣ等于 ( ) .(Ａ) 115° (Ｂ) 12 0° (Ｃ) 130° (Ｄ) 135°图 1图 22 .如图 2 ,以ＢＣ为直径 ,以Ｏ为圆心作半圆 ,点Ａ、Ｆ把半圆三等分 ,ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ ,且ＢＣ =12 .连结ＢＦ交ＡＤ于点Ｅ .则ＡＥ的长为 ( ) .(Ａ) 2 3(Ｂ) 33(Ｃ) 3(Ｄ) 32 33.已知Ｒｔ△ＡＢＣ外切于⊙Ｏ ,∠ＡＣＢ =90° ,∠ＢＯＣ =10 5° ,ＢＣ =2 0ｃｍ .那么 ,Ｒｔ△ＡＢＣ的面积是( ) .(Ａ) 180 3ｃｍ2 (Ｂ) 2 0 0 3ｃｍ… 相似文献
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唐录义 《中学数学教学参考》2001,(9)
本刊 2 0 0 1年第 1～ 2合期刊登了吴家驷先生“十五点共圆”一文 ,证明了有 1 2个特殊点在三角形外接圆上 .事实上还有 6个点 ,合为 2 1点共圆 .定理 不等边三角形的每个顶点的内外角平分线与对边中垂线的两个交点 ,在其外接圆上 .证明 : 如图 ,ＰＱ为△ＡＢＣ的边ＡＣ的中垂线 ,ＢＰ平分∠ＤＢＣ ,ＢＱ平分∠ＡＢＣ ,作ＰＭ⊥ＢＤ ,垂足为Ｍ ,ＰＮ⊥ＢＣ ,垂足为Ｎ ,ＱＥ⊥ＢＡ ,垂足为Ｅ ,ＱＦ⊥ＢＣ ,垂足为Ｆ ,易知ＱＡ =ＱＣ ,ＱＥ =ＱＦ ,Ｒｔ△ＱＥＡ≌Ｒｔ△ＱＦＣ ,∠ＥＡＱ =∠ＱＣＦ ,Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｑ共圆 ,即Ｑ在△ＡＢＣ的外… 相似文献
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一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ =12 0° ,⊙Ａ与ＢＣ相切于Ｄ ,与ＡＢ相交于Ｅ ,则∠ＡＤＥ等于度 .(2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )2 已知 :如图 2 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ＡＣ =2 ,ＢＣ =1.若以Ｃ为圆心 ,ＣＢ长为半径的圆交ＡＢ于点Ｐ ,则ＡＰ= . (2 0 0 1年江苏省宿迁市中考题 )3 已知⊙Ｏ的半径为 4ｃｍ ,ＡＢ是⊙Ｏ的弦 ,点Ｐ在ＡＢ上 ,且ＯＰ =2ｃｍ ,ＰＡ =3ｃｍ ,则ＰＢ =ｃｍ .(2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )图 1图 2图 3图 4 4 已知 :如图 3,⊙Ｏ的弦ＡＢ平分弦ＣＤ ,ＡＢ =10 ,ＣＤ =8,且ＰＡ … 相似文献
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一、填空题1 已知关于ｘ的方程 3ｘ + 2ａ =0的根是 2 ,则ａ等于 . (2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )2 已知ａ是整数 ,且 0 <ａ <10 ,请找出一个ａ =,使方程 1-12 ａｘ =-5的解是偶数 .(2 0 0 1年云南省昆明市中考题 )3 某种商品按原价的 8折出售仍可获利 2 0 % ,若按原价出售可获利 .(2 0 0 1年湖北省荆门市中考题 )4 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＣＢ =90° ,ＣＤ⊥ＡＢ ,垂足为Ｄ ,ＡＣ =12 ,ＢＣ =5 ,则ＣＤ的长是 .(2 0 0 1年北京市崇文区中考题 )5 如图 2 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,Ｄ是ＢＣ边上的点 ,且ＡＤ =2ＣＤ ,则∠ＡＤＣ… 相似文献
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应用勾股定理解题时 ,若忽视图形的位置 ,易造成漏解 .例 1 已知直角三角形两边的长为 6和8,试求第三边的长 .误解 设第三边长为ｘ,由勾股定理 ,得ｘ =62 +82 =1 0 .剖析 上述解法是不正确的 .原因在于误认为第三边是斜边 .事实上 ,已知条件中并没有指明已知的两边是直角边 ,因此长度为 8的边可能是直角边 ,也可能是斜边 .若 8为斜边 ,则第三边的长ｘ =82 -62 =2 7.故第三边的长为 1 0或 2 7.例 2 已知 :在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =2 4,ＡＣ =2 0 ,∠Ｂ =3 0°.求ＢＣ边的长 .误解 如图 1 ,作ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,∵ ∠Ｂ =3 0°,∴ ＡＤ =12 … 相似文献
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构造法是初中几何中常用的解题技巧 ,它对于拓展同学们的视野 ,培养同学们的创新能力有很重要的作用。1 构造直角三角形例 1 四边形ＡＢＣＤ中 ,∠ＡＢＣ与∠ＢＣＤ互余 ,设ＡＤ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,求ＡＣ2 ＢＤ2 。[分析 ] 由结论中求线段平方和的特点 ,再结合∠ＡＢＣ与∠ＢＣＤ互余的条件 ,分别延长ＢＡ与ＣＤ交于Ｏ点 ,得∠Ｏ =90°则在Ｒｔ△ＢＯＤ和Ｒｔ△ＡＯＣ中 ,ＢＤ2 =ＯＢ2 ＯＤ2 ,ＡＣ2 =ＯＡ2 ＯＣ2 ,有ＢＤ2 ＡＣ2 =ＯＢ2 ＯＤ2 ＯＡ2 ＯＣ2 =(ＯＢ2 ＯＣ2 ) (ＯＡ2 ＯＤ2 ) =ＡＤ2 ＢＣ2 =ａ2 ｂ2 。注 :此题补… 相似文献
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1 若一个四位数等于它的各位数字的和的 4次方 ,则这个四位数是 .图 12 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,ＤＥ∥ＢＣ ,分别交ＡＢ、ＡＣ于Ｄ、Ｅ .若Ｓ△ＡＤＥ=4,Ｓ△ＢＤＥ=6 ,则Ｓ△ＢＣＥ=.参考答案1 欲求这个四位数 ,只需求出它的各位数字的和即可 .设这个四位数为ａｂｃｄ ,则ａｂｃｄ =(ａ +ｂ +ｃ+ｄ) 4.∵ 10 0 0 <ａｂｃｄ <9999,∴ 10 0 0 <(ａ +ｂ +ｃ +ｄ) 4<9999.∴ 6≤ａ +ｂ +ｃ+ｄ≤ 9. ∵ ａ、ｂ、ｃ、ｄ是整数 ,∴ ａ +ｂ +ｃ +ｄ =6或 7或 8或 9.经检验可知 ,ａ +ｂ +ｃ +ｄ =7符合题意 ,其余都不符合题意 .∴ ａｂ… 相似文献
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一、填空题1 在△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′中 ,∠Ａ =∠Ａ′,ＣＤ和Ｃ′Ｄ′分别为ＡＢ边和Ａ′Ｂ′边上的中线 .再从下列三个条件 :①ＡＢ =Ａ′Ｂ′,②ＡＣ =Ａ′Ｃ′,③ＣＤ =Ｃ′Ｄ′中任取两个为题设 ,另一个为结论 ,则最多可构成个正确的命题 . (2 0 0 1年北京市东城区中考题 )2 如图 1,∠ 1=∠ 2 ,要使△ＡＢＥ≌△ＡＣＥ ,还需添加一个条件 .(只需写一个 )(2 0 0 1年广西壮族自治区中考题 )二、选择题在△ＡＢＣ中 ,ＡＣ =5 ,中线ＡＤ =4 ,则ＡＢ边的取值范围是 ( ) .(Ａ) 1<ＡＢ <9 (Ｂ) 3<ＡＢ <13 (Ｃ) 5 <ＡＢ … 相似文献
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关于中线互相垂直的三角形 ,有一个十分有趣的性质 ,我们归结如下 :定理 如果三角形中两中线互相垂直 ,那么两中点所在边的平方和等于第三边平方的 5倍 ,反之亦然 .证明 如图 1,△ＡＢＣ中 ,中线ＢＤ、ＣＥ互相垂直于Ｆ ,显然Ｆ为△ＡＢＣ的垂心 ,则ＢＦ =23 ＢＤ ,ＣＦ =23 ＣＥ .所以ＢＣ2 =ＢＦ2 +ＣＦ2=49(ＢＤ2 +ＣＥ2 ) ,①由中线公式得 ,ＡＢ2 +ＢＣ2=12 ＡＣ2 + 2ＢＤ2 ,②ＡＣ2 +ＢＣ2 =12 ＡＢ2 + 2ＣＥ2 .③由② +③得 :ＡＢ2 +ＡＣ2=4(ＢＤ2 +ＣＥ2 ) -4ＢＣ2 .④把①代入④得 ,ＡＢ2 +ＡＣ2 =5ＢＣ2 .反之 ,若ＡＢ2 +ＢＣ2 =… 相似文献
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在解决一些不规则图形问题时 ,往往需要把不规则图形通过分割、补全的方法 ,使其转化为特殊图形 ,如直角三角形、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形等 ,从而使问题迎刃而解 .这一过程体现了从一般到特殊的化归思想 .下面用不同的割补方法解一道中考数学题 .图 1例 某片绿地的形状如图 1所示 ,∠Ａ =6 0°,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＡＤ⊥ＣＤ ,ＡＢ =2 0 0ｍ ,ＣＤ =1 0 0ｍ .求 :ＡＤ、ＢＣ的长 .( 2 0 0 2 ,天津市中考题 )( 1 )分割图形图 2分析一 :如图 2 ,作矩形ＢＣＥＦ ,解Ｒｔ△ＣＤＥ ,求出ＣＥ、ＤＥ .由ＣＥ =ＢＦ ,有ＡＦ =ＡＢ -ＢＦ =ＡＢ… 相似文献