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习题如图1,设△ABC的边BC一二,CA一b,AB一c,:一合(。十”+·),内切圆。‘和BC、AC、AB分另“相切于点“、E、尸,求证:AE一AF一‘一a,BF一BD~‘一b,CD一CE一了一,?. (初中《几何》第三册第134页、 证丫01分别切BC、CA、AB于D、E、F,…BD一月F,cD一cE,AE一AF,设BD一x,C刀一y,AE一二,则},+巧y十(z十y一a,之一b,2了之=C.s一b,—亡,—“,其中 1,~万丁、a一卞O~卞C夕, 乙一一一一一一X yZ厂|,味|l 得 之 解图l iAE一AF一即IBF一方刀一 {CD一(了石-—口,一b, (,)式是一个很有用的结论,若记住并使用好此式可以给解题带来… 相似文献
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。一--d 定理a年日且若落二十夕+z寺。,求证a一。肋斗。,‘一、日d斗01+刀z口1+a.1+m bl+Inc十—一—十—一二- 1+01+c=爪十2。c+adc+日汀式成为1=1,失去研究价值)证’:a、b、c不为零和一1,知x、y、:也不为零。从而将条件式分别改为 ︷一白一ba QU月则夕+a+(若a=钡日此证则x+夕 Z1一白 一一X一Z︷1尹 一一Z一+一Xy一,①②C十d①对照要证明的等式左边各项,选取a日=1由定理有 a +Cr口 一一 a 十a一乙==刀2acl一d一,以a日十一+C一C 一一乙一乙 a口尸同理有①、②得a刁一ab ba+日b bc十日dd②刀十z+mx_1一卜ma y+z十xl+a夕+“十1+水b1+b 当… 相似文献
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△诚BC三边为a,乡,‘,三顶点坐标A(x:,万,),B(x:,夕2),C(xs,万:),[)’J心I(x:,Xz=万:),则‘x: 乙x: cxs a b cagl by: e万: 口十b十‘可用以解答许多较难的竞赛题. 例1。(IMO一29一5)在R之△ABC中,AD为斜边刀C上的高,连△A刀D与△ACD内心的直线分别与边AB,Ac交于K,L,S△”c“S, 相似文献
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定理1 设△ABC内角不大于120°,则 a~2 b~2 c~2=4 3~(1/2)△ (x-y)~2 (y-z)~2 (x-z)~2,(1)其中a,b,c和△分别为△ABC的边和面积,x,y,z为△ABC的费马点到顶点A、B、C的距离。 相似文献
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文 [1 ]中用微积分方法证明了不等式 :(x +y +z)·1y2 +yz+z2 +1z2 +zx +x2 +1x2 +xy +y2>4 + 23,①其中x、y、z为任意正实数 .我们指出 ,由此不等式可导出一个关于三角形的费尔马和的不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,其费尔马点在形内 (即所有内角都小于 1 2 0°) ,且到顶点A、B、C的距离分别为x、y、z,则(x+y +z) 1a+ 1b+ 1c >4 + 23.②事实上 ,当△ABC的费尔马点在形内 ,即所有内角都小于 1 2 0°时 ,有a =y2 +yz+z2 ,b =z2 +zx +x2 ,c =x2 +xy +y2 .此时式①直接化为式② .关于费尔马和的一个不等式@方廷刚$四川省成都市第七… 相似文献
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在△ABC中,记内角A、B、C的对边分别为a,b,c,设a=y z,b=z x,c=x y.(＊)则x、y、z的几何意义如图1所示.又记三角形的半周长为P,面积为S,内切圆与外接圆半径分别为r、R,易知 相似文献
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题 1 (邵剑波提供 ) 证明或否定设a >b >c>0 ,x21a2 +y21b2 +z21c2 =1 ,x22a2 +y22b2 +z22c2 =1 ,且 (x -x1+x22 ) 2 +( y -y1+y22 ) 2 +(z -z1+z22 ) 2 =14[(x1-x2 ) 2 +( y1-y2 ) 2 +(z1-z2 ) 2 ],则x2 +y2 +z2 ≤a2 +b2 +c2 。题 2 (吴善和提供 ) 证明或否定 : 若a、b、c分别是△ABC的三边长 ,实数m≥ 1 ,a′ =(bm+cm) 1m,b′ =(cm+am) 1m,c′=(am+bm) 1m,则以a′,b′ ,c′为三边可构成△A′B′C′ ,且△ABC与△A′B′C′的内切圆半径r与r′之间成立不等式r′≥ 2 1m·r。(注 每小题第一位解答正确者将获得奖金 5 0元 )有奖… 相似文献
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在解题过程中,往往要设一些辅助未知数,利用它们去进行转化,使间题得以解决.以下举例说明. 例1如图1,在Rt△通刀C中,匕ACB一9护,斜边AB上的中线CD~1,△ABC的周长为2+了万;求△ABc的面积. 分析s△~一要Ac .Bc,只需求出 “甘‘一。~2--一一一’z、’.”一心一~AC、BC的乘积即可. 解设Ac一x,BC一y. AB一ZDC一2. 由勾股定理,Ac,+B口~A尸. :.分+犷~4.图1一点点滴滴一又丫Ac+Bc+AB~2+了万.:.x十y一、/百.:.(x十y)2一6,扩+少十Zxy一6Xy一1尸_,,,、,下犷L匕一又x一州卜y“少」一乙1,_下丁气b—住少一1乙xy1一2:。S△A劣一1,~一二七… 相似文献
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观察下面三个问题 :( 1 )设a、b、c为△ABC的三边 .求证 :a2 b(a -b) +b2 c(b -c) +c2 a(c-a)≥ 0 .①(第 2 4届IMO)( 2 )若x、y、z∈R+,则x·x +yx +z+y·y +zy +x+z·z+xz+y≥x +y +z.②( 1 992 ,国际“友谊杯”数学邀请赛 )( 3)设x、y、z∈R+,求证 :x2 ·y +zy +x+y2 ·z+xz+y+z2 ·x +yx +z≥xy +yz+zx .③这三个不等式均不难证明 ,此处从略 .今将揭示他们之间隐含的内在联系 .1 .建立对应关系 ,揭示①可转化为②众所周知 ,对于任意△ABC的三边a、b、c,总可找到这样的正数x、y、z,使得a =y +z,b =z+x ,c =x +y .于是 ,式①化为(y+z… 相似文献
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在△ABC中,设R,r,s,Δ分别为外接圆、内切圆半径,三角形半周长和面积,a,b,c为边长,F为△ABC内部费马点,记FA=x,FB=y,FC=z,则有 相似文献
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常虎祖 《中学数学研究(江西师大)》2013,(9):21
《数学通报》1580题:设△ABC的三边长分别是a,b,c,内切圆半径为r,求证:1/(a~2)+1/(b~2)+1/(c~2)≤1/(4r~2).(2005年第11期).原证:令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并设s、△分别表示△ABC的半周长和面积,则易知x>0,y>0,x>0.并有s=1/2(a+b+c)=x+y+z,r= 相似文献
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命题1.设P为△ABC内一点,连AP,B尸C尸,并延长分别交对边于D,￡,尸.则PD尸E.尸F下下从州-下于节十万飞布Z生上声刀乃七尸应用面积比很容易证明.命题1可推广为:命题2.尸为四面体AIAZA3A;内一点,连尸A‘交对面于B‘,记入尸B一万厉;’‘-<入<1,且几,+又:十几3十入‘-l,2,3,4,则0l. 应用棱锥体积比容易证明. 例.(iMO一32)设P是△ABC内一点。求证乙PA刀,艺尸BC,匕PCA至少有一个不超过300. 证明记a一匕尸AB渭~乙pBC,y~乙尸CA.则由命题1及均值不等式,有 二,,尸F尸D PE‘3in拼’sm了岌又了’万万’沙一丸PDAD,产尸EBE PF.夕~二… 相似文献
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题目:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、。.若角A,B,c的大小成等比数列,且护一a“二a。,则角B的弧度数等于_.(1985年高中联合数学竞赛第一试第二题第1题) 下面用数形相结合求解,给出该题的四种几何解法. 分析:将犷一。2==a。变为bb二aa+ac,此式形似托勒密定理,构图如下:作圆的内接等腰梯形ABCD,使AD=DC二CB=a,AC=b,ABbZ一aZ二ae.C作直径E刀,设AB=c,BF=a,则△ABC满足题设条件b’一扩二aC. 解二据相交弦定理有 BF·BA 二刀B·BD。又据已知有EB·所以,BC“B尸-BD二B口·BA=。,则△ABC满足题设乙BO尸二乙B尸C,乙ABC… 相似文献
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刘康宁 《中学数学教学参考》1995,(7)
笔者在文[1]中主要谈了关于费马点的一个常用性质的应用,下面再给出费马点的一个性质。 性质 设F为△ABC的费马点,记FA=x,FB=y,FC=z,BC=a,CA=b,AB=c,则 相似文献
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本文用向量的知识得出三角形内心的几个简捷的性质,并进一步探讨其在解题中的一些应用.性质1△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,I为△ABC的内心,则auIAur+buIBur+cuICur=0r.证明如右图,过I分别作三边的平行线,分别交三边于A1、A2、B1、B2、C1、C2∵I是△ABC的内心,∴四边形AA1IC2、BB1IA2、CC1IB2都为菱形,A B Cl A1A2B1B2C1C2设AA1=x,BB1=y,CC1=z,则AI x(AB AC),BI y(BA BC),=c+b=c+auur uuur uuur uur uuur uuur CI z(CA CB)=b+auur uuur uuur,∴auIAur+buIBur+cuICur ax by AB ax cz AC by czBC… 相似文献
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第一试 一、选择题 1.设a,b,。,d均为实数.且a>b,:>d,则(). (A)ac>bd(B)a一c>b一d(B)可以作4个(C)一般情况下不可作(D)可作无穷多个在△ABC与△刃刀已中,已知,且乙B一艺刀,则正确结论(c)。+’.>b十d(D)三>奥 Ca 7. ABA’B‘是( AC A‘C,). 2.设d,b均为实数,且a共O,则二次函数y一a尹+b、+以).(A)有最大值4ae一bZ 4a (B)不一定有最大值 (C)其图象与x轴有两个交点. (D)其图象关于y轴对称 3.若。,b,了万~十了万都是有理数,则了丁,丫下的值是(). (A)二者均为有理数 (B)二者均为无理数 (C)一个为有理数,另一个为无理数 (D)以上三种情… 相似文献
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卜、跳沮画1.若‘，，乙，。为三角形的三边长，则化简、叹11岛干i户 Ia一b一。l= 2.锐角△ABC中，C材IAB于M，B刀一AC于N，且乙甘和BN交于一点尸，若乙A二550，则乙召尸C的度数为_. 3.如图1，有两棵树，一棵高8nl.另一棵高2:n，两棵树相距sm一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了m. 4.在Rt△ABC中，乙A.乙B.乙C的所对的边分别是a，了七夕︸、一尸欣，‘b.。.〔.蒯二鱿b十。二8.则b= 2—一5.如图2，_魂B是一面竖直放置的平面镜，距平而镜2.5m的点尸处有一光源，发出的一束光线照射到平面镜上C点.反射光线落在地面… 相似文献