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三角法解几何题是较为常见的,三角法解代数题则较为少见。下面略举不同类型代数题的三角解法,其目的在于揭示三角代换法常用时机,常用范围及使用技巧。〈一〉分解因式例1.已知x~2-y~2-z~2=0试将x~3-y~3-z~3分解因式解:由已知得:y~2+z~2=x~2令y=xsinθz=xcosθ则 x~3-y~3-z~3=x~3(1-sin~3θ-cos~3θ) =x~3(sin~2θ-sin~3θ+cos~2θ-cos~3θ) =x~3[sin~2θ(1-sinθ)+cos~2θ(1-cosθ)] =x~3[(1-cos~2θ)(1-sinθ)-(1-sin~2θ)(1-cosθ)] =x~3(1-sinθ)(1-cosθ)(1+cosθ+1+sinθ) =(x-xsinθ)(x-xcosθ)(2x+xcosθ+xsinθ) 相似文献
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丁兴春 《中学数学研究(江西师大)》2006,(3):45-46
第46届 IMO 试题第3题是一道不等式题:正实数 x,y,z 满足 xyz≥1,证明(x~5-x~2)/(x~5 y~2 z~2) (y~5-y~2)/(y~5 z~2 x~2) (x~5-x~2)/(z~5 x~2 y~2)≥0.本题难度相当大,平均得分仅为0.91分,下面是笔者对命题的分析过程,供参照.要证明上述不等式是成立的,只要证明: 相似文献
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利用费尔马无穷递降法证明了丢番图方程x~2±y~4=z~5,x~4-y~4=z~5,x~5+y~5=(Z|z)均没有正整数解。 相似文献
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丁兴春 《中学数学研究(江西师大)》2006,(10):49-49,F0004
第46届 IMO 第3题是不等式问题:正实数 x,y,z 满足 xyz≥1,证明(x~5-x~2)/(x~5 y~2 z~2) (y~5-y~2)/(y~5 z~2 x~2) (z~5-z~2)/(z~5 x~2 y~2)≥0.本文对其指数及项数作出一般性的推广. 相似文献
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徐连升 《数理化学习(初中版)》2011,(6):3-5
配方法是初中数学里的一种重要的思想方法,有广泛的应用.本文以近年中考试题为例,将其应用归纳如下.一、因式分解例1(2010年芜湖市)因式分解9x~2-y~2-4y-4=____.解:原式=9x~2-(y~2+4y+4)=(3x)~2-(y+2)~2=(3x+y+2)(3x-y-2) 相似文献
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本刊1984年第1期上何平老师的“条件等式的一些证法”一文,读后收益不少。但我们感到还可以作些补充。因式分解法有以下几种情况: 1、通过对已知条件分解因式,获得某种简单关系,使证明得到解决。例1 已知x~2-yz=y~2-zx,x(?)y,求证z~2-xy=y~2-zx。证由已知x~2-yz=y~2-zx,移项得 x~2-y~2+zx-yz=0,分解因式得(x-y)(x+y+z)=0,∵x(?)y,∴x+y+z=0。①又z~2-xy-(y~2-zx)=(z-y)(x+y+z), 相似文献
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崔子荣 《数理天地(初中版)》2008,(5):8-9
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解.正确理解因式分解的概念是学好因式分解的前提,要注意因式分解的"五忌".1.忌部分分解例1分解因式:x~2-y~2-z~2-2yz.错解原式=(x+y)(x-y)-z(z+2y).分析错在只是分解了原式的某些部分.正解原式=x~2-(y~2+z~2+2yz) =x~2-(y+x)~2=(x+y+z)(x-y-z). 相似文献
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有名辉 《中学数学研究(江西师大)》2014,(2):F0004-F0004
正第49届国际数学奥林匹克数学竞赛第2题是:设实数x,y,z都不等于1,满足xyz=1,则x~2/(1-x)~2+y~2/(1-y)~2+z~2/(1-z)~2≥1.本文给出上述不等式的一个类比:命题1设实数x,y,z都不等于-1,且xyz=1,则x~2/(1+x)~2+y~2/(1+y)~2+z~2/(1+z)~2≥3/4. 相似文献
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早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法 相似文献
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题目(2012年高考湖北卷·理6)设口,b,c,x,y,z是正数,且a~2+6~2+c~2=10,x~2+y~2+z~2=40,ax+by+xz=20,则a+b+c/x+y+z=A.1/4.B.1/3 C.1/2 D.3/4以上题目旨在考查柯西不等式、等比性质等基础知识.笔者将其进一步推广得到一般性的变式题1、2(如下),并进行探究.变式1设a,b,c,z,y,z,p,q,r.是正数,且a~2+b~2+c~2=p~2,x~2+y~2+z~2=q~2,ax+by+cz=r~2, 相似文献
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文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4 相似文献
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标题所示的方程当整数m和n互素时有无穷多原始解。实际上,以下的证明给出了求所有解的步骤。其结果要求比唯一因子分解小得多,因此能够在初等基础数论课程早期提出。提出一对特殊情况,例如:x~2+y~3=z~4或者x~2+y~4=z~6足以说明。当然,经典方程x~2+y~2=z~2首次提出,也属于特殊情况。 相似文献
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正2013年北大百年数学体验营的最后一道试题是求一个五次方程的根,能够处理出来的同学很少,本文给出该题的一个构造解法,并对此类方程作一个拓展.问题:求方程x~5+10x~3+20x-4=0的所有根.解:记f(x)=x~5+10x~3+20x-4,贝f(x)=5x~4+30x~2+20 相似文献
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双曲线在解几中占有重要地位,也是高考的重点和热点。本文对历年高考有关双曲线试题进行整理归类和分析指示解题方法,说明解题技能与技巧,留部分试题作为训练题。类型一:判断曲线是不是双曲线这是定性问题,依据双曲线的两个定义进行判断,或者依据方程进行判断。1．【’88上海高考题】方程x~4-y~4-4x~2 6y~2-5=0 相似文献