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1.
罗文军 《中学生数理化(高中版)》2019,(2):31-33
设直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A、B两点(直线AB的倾斜角为α),设A (x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,准线方程为:x=-p/2,则关于抛物线C的焦点弦有以下九条常用的性质:(1)2x1x2=p/4;(2)y1y2=-p2. 相似文献
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刘玉兰 《中学生数理化(高中版)》2006,(6)
抛物线的焦点弦有着很多值得思考的性质,这里略举一二.图1(一)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,如图1,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1 x2 p.这由抛物线的定义很容易得到.(二)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,如图1,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-p2.证明:抛物线y2=2px与直线AB:x=ky 2p,联立得y2-2kpy-p2=0,所以由韦达定理得y1·y2=-p2.(三)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,令|AF|=r1,|BF|=r2,则r11 r12=2p.设抛物线的焦点F2p,0,当直线的斜率不存在… 相似文献
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定理过点(k,0)作直线AB和抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则有x1x2=k2,y1y2=-2pk.证明设直线AB的方程为x=my+k,代入y2=2px,有y2-2pmy-2pk=0.因为直线AB与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,于是y1y2=-2pk.由y21y22=4p2x1x2,得到x1x2=y21y224p2=4p2k24p2=k2.推论(焦点弦定理)若AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1y2=-p2,x1x2=p24.在解决某些与抛物线相关问题的时候,应用该定理和推论的内容,能简洁、快速地解题,同时也能达到优化解题过程的目的.例1如图1所示,线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0… 相似文献
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不少文章都对焦点弦的有关性质的研究以及如何进行探究性学习进行了精彩的阐述,令人深有感触.本文试从命题的角度对此进行进一步的挖掘和探究.不妨设抛物线y2=2px(p>0),则焦点Fp2,0,准线l的方程:x=-p2.直线l1交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,交x轴于点C(c,0),又作AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分别为A1、B1(如图1所示).探究1若直线l1过焦点F,则y1y2=-p2(定值).那么其逆命题是否成立呢?分析:当l1⊥x轴时,命题显然成立.当l1与x轴不垂直时,设直线l1的方程为x=my+n,联立方程组y2=2px,x=my+n,消去x得y2-2pmy-2pn=0,∴y1y2=-2pn,∵y1y2=-p2,∴n=p2,∴… 相似文献
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6.
张春林 《中学生数理化(高中版)》2006,(11)
性质:过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的纵坐标分别为y1、y2,则y1y2=-p2．证明:由题意知,直线若为x轴时,与题意不符．(1)当过焦点的直线不垂直于x轴时,设方程为y=k(x-p/2)(k≠0),即x= 相似文献
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王国忠 《中学生数理化(高中版)》2003,(Z2)
1.对抛物线y2=2px(p>0),AB为过其焦点的弦,A(x1,Y1),B(x2,y2),则有:|AB|=x1+x3+p. 证明:抛物线的焦点为F(p/2,0),准线方程是l:x=-p/2.过A、B分别作AA'、BB'垂直于l,垂足为A'、B'.由定义可知 相似文献
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文 [1 ]中给出下面一道问题 :不垂直 x轴的直线与抛物线 y2 =2 px (p>0 )交于 A、B两点 (A、B不在同一象限 ) ,抛物线的准线与 x轴交于 N ,已知∠ AN B被 x轴平分 ,求证 :线段 AB经过抛物线的焦点 F.该文用方程法进行了证明 .文 [2 ]从抛物线的定义出发 ,利用平面几何的知识给出了一种较为简单的证明方法 ,并将结论推广到其他圆锥曲线中 .实际上该问题有多种证法 ,为此笔者作进一步的探究 ,供同行参考 .1 命题的证明1 .1 向量法如图 1 ,N的坐标为 (-p2 ,0 ) ,设 A、B两点的坐标分别为 (y212 p,y1) ,(y222 p,y2 ) ,(| y1|≠| y2 | )… 相似文献
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赵琍琍 《数学大世界(高中辅导)》2005,(6):29-30
对典型习题要构建自己的习题网络培养自己的思维模式,在建网过程中可深悟知识、练铸能力.一、一个常见问题的两种解法的比较问题:过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一直线l交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则A、B的坐标之间有什么关系?解1:设直线l为y=k(x-2p)或x=2p.有x1 x2=p 2kp2或p;x1·x2=p42;y1 y2=2kp或0;y1y2=-p2解2:设直线l为x=ny 2p,x1 x2=2pn2 p;x1·x2=p42;y1 y2=2pn;y1·y2=-p2;说明:(1)解法1要讨论两种情况,这里选择解2的直线方程形式“x=ny 2p”可以表示过点F的除x轴以外的直线,避免对直线方程形式的讨论,一般有关过x轴上的… 相似文献
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本文将对以下两个与抛物线有关的命题进行探究．命题1在抛物线y2=2px(p>0)中,过顶点O作两直线交抛物线于A、B两点,若(OA|→). (DB|→)=0,则直线AB过x轴上一定点(2p,0)．命题2在抛物线y2=2px(p>0)中,过焦点F(p/2,0)作不过顶点O的一条直线交抛物线 相似文献
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抛物线的焦点弦是抛物线定义与性质的交汇点.本文就与其相关的切线探索出若干性质.题目抛物线y2=2px(p>0)上不同两点A、B处的切线交于点Q.求证:若AB过抛物线的焦点F,则(1)AQ⊥BQ;(2)点Q在抛物线的准线上;(3)QF⊥AB.证明设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0).对于y2=2px求导,有2yy’=2p,得 相似文献
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2006年福建省高三质检理科卷21题:如图,F是抛物线y2=4x的焦点,Q是准线与x轴的交点,直线l经过点Q.(1)直线l与抛物线有唯一公共点,求l的方程;(2)直线l与抛物线交于A、B两点.(I)记FA、FB的斜率分别为k1、k2,求k1+k2的值;(II)若点R在线段AB上,且满足AR AQRB=QB,求点R的轨迹方程.本题在(2)(I)中求k1+k2的值,其值恰好为0,这个结论在一般情况下能否成立?是否可以延伸?直线AB、FA、FB的斜率之间是否存在某种特定关系?本文结合巧妙的化“1”证法探究如下:A O x R y Q F B性质1设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,相应于焦点F的准线与x轴交… 相似文献
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花芳 《中学生数理化(高中版)》2005,(15)
本文首先给出抛物线中的几组“定”结论,并举例说明它们在求解抛物线有关问题时的应用. 结论1 过抛物线y2=2px(p >0)的焦点F的直线l交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,设|FA|=m,|FB|=n,O为原点,则有:(1)x1x2=p2/4;(2)y1y2=-p2;(3)kOAkOB=-4; (4)1/m+1/n=2/p.证明略. 相似文献
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高中数学教材(试验修订本.必修)第119页有这样一道习题: 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2),求证:x1x2=p2/4,y1y2=-p2. 相似文献
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甘志国 《河北理科教学研究》2014,(6):37-40
正北京市丰台区2013~2014学年度第一学期期末练习高二数学(理科)第19题(满分13分)即倒数第二题是:统考题已知抛物线C:y2=2px(p0),过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点.(1)若抛物线的准线为x=-1,直线l的斜率为1,求线段AB的长;(2)过B作x轴的平行线交抛物线的准线于点D,求证: 相似文献
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韩前玉 《湖北大学成人教育学院学报》2002,20(2):76-77
探索一题多解 ,不仅在于向学生传授解题方法 ,更主要的是通过解题 ,使学生复习、巩固、运用所学知识 ,培养学生的思维能力和探索能力。下面以高二解析几何课本 (甲种本 )第 1 1 1面第 8题为例 ,探求一题多解 ,培养学生能力的一些做法。题 :过抛物线 y2 =2 px(p<0 )的焦点的一条直线和这条抛物线相交 ,两个交叉点的纵坐标为 y1 ,y2 ,求证 :y1 ·y2 =-p2证法一 :分析题设条件 ,只要设出过焦点的直线方程与抛物线联立解方程组 ,即可求出 y1 · y2 ,将两纵坐标相乘即可证。因抛物线焦点坐标为 F=(p2 ,0 ) ,故设过焦点的直线方程为 y=k(x-p2 ) (… 相似文献
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2001年高考数学理科(19)题、文科(20)题 试题设抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O. 本题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.1 来源1.1 引用《平面解析几何》课本第101页8题: “过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求 相似文献
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命题 若一直线与抛物线 C:y2 =2 px(p>0 )相交于 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 )两点 ,则直线 AB的方程为 :2 px- (y1 y2 ) y y1 y2 =0 .证明 ∵点 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 )在抛物线 C:y2 =2 px上 ,∴ y21 =2 px1 ,y22 =2 px2 .作差得 :y21 - y22 =2 p(x1 - x2 ) ,当 x1 ≠ x2 时 ,k A B=y1 - y2x1 - x2 =2 py1 y2 ,∴直线 AB的方程为 :y- y1 =2 py1 y2(x- x1 ) ,即 2 px- (y1 y2 ) y y1 y2 =0 . 1当 x1 =x2 时 ,直线 AB为 :x=x1 ,此时y2 =- y1 ,故 1仍成立 .综上 ,命题成立 .特别地 :若 A(x1 ,y1 )与 B(x2 ,y2 )重合 ,即可得到过点 A… 相似文献