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李运华 《数理天地(初中版)》2006,(8)
德国数学家许瓦兹(schwarz 1843-1921),留下了一道世界名题,被后人称为许瓦兹三角形问题,即:在任意的锐角三角形ABC内作内接△DEF(即三个顶点D、E、F分别在三边BC、CA、AB 上),使其周长最短．为了回答上面的问题,可先来回顾一下教材(人教版八年级上册P137综合应用9题)所提出的问题: 相似文献
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AD、BE、CF 是锐角△ABC 的三条高,则△DEF 为△ABC 的垂足三角形(如图1),用S_(△ABC)、R 分别表示△ABC 的面积和外接圆半径.用 S_(△ABC)、L_(△DEF)分别表示△DEF 的面积和周长,则垂足三角形有如下性质: 相似文献
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<正>本文探求三角形内接三角形周长的最小值,并利用其最小值得出两个有趣的定理．定理1如图1,△DEF的三个顶点分别在三角形△ABC的三边上,AH是△ABC的BC边上的高,■,则△DEF周长最小值为2AHsinθ. 相似文献
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胡耀宗 《湖南城市学院学报》1986,(6)
所谓垂足三角形是三角形的高线足所成的三角形。关于垂足三角形与原三角形的关系我们已经知道了一些,比如三角形的三条高线平分垂足三角形的内角或外角;锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形的周界最小。这里,我们通过对垂足三角形面积和一些长度的计算,进一步说明垂足三角形与原三角形的关系。 1)已知△ABC的三内角为A、B、C,AD、BE、CF为三边上的高. 求证 垂足三角形与原三角形面积之比只与原三角形三个角的余弦有关. 证明 设△ABC的面积为S,垂足三角形DEF的面积为S_1,令A、B、C的对边分别为a、b、 相似文献
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命题设△D刀F为△ABC的内接二角形,BC=、.C几=乙,刀B=:,l为△D刀尸r认周长,叮l,} l一口c。:魂{一乙cosB十cc。:C.(1)其中等号当且仅当八ABC为锐角三角形,且△D刀F为垂足三角形时成立. 证设R为△ABC外接圆的半径,其它字母含义如图示,则 (a, 夕; ,7) (a: 口: 了2)F刀尸厂声」 =36 相似文献
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大家知道,△ABC的内接三角形的周长存在最小值的充要条件是△ABC为锐角三角形,其最小值为4RsinAsinBsinC(R为△ABC的外接圆半径)。那么,四边形的内接四边形的周长存在最小值的充要条件是什么呢?其最小值又如何呢?本文就此问题进行探讨。 定义 若四边形EFGH的四个顶点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四条边AB, 相似文献
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正在《初中数学竞赛讲座》中,给出了"法格勒洛问题"两种不同的解法,即:"费叶尔解法"和"许尔瓦兹解法".本文给出另一种不同的解法,以期对读者有一定的参考价值.法格勒洛问题在△ABC的三边分别取D、E、F三点所成的三角形称为△ABC的内接三角形,试在锐角△ABC的所有内接三角形 相似文献
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设P为△ABC内任一点,其垂足△A1B1C1称为△ABC的一阶垂足三角形,△A1B1C1的垂足△A2B2C2称为△ABC的二阶垂足三角形,△A2B2C2的垂足△A3B3C3称为△ABC的三阶垂足三角形.J.Neuberg证明了:△A3B3C3∽△ABC.本文确定相似比k. 相似文献
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1 问题的提出若△DEF的三个顶点分别在△ABC的三边上 ,图 1称△DEF是△ABC的内接三角形。如图 1 ,△DEF是△ABC的内接三角形。文 [1 ]讨论了三角形的内接正三角形的存在性问题 ,指出三角形的内接正三角形是存在的 ,并给出了一种作图方法。文 [2 ]指出任意三角形都存在无数个内接正三角形 ,给出了另一种作图方法。那么 ,一个给定的三角形的无数个内接正三角形中 ,有无边长最小的三角形 (最小内接正三角形 )呢 ?本文研究这一问题 ,给出最小内接正三角形的边长和位置。2 最小内接正三角形的边长设在△ABC中 ,∠C是最大角 ,△DEF是… 相似文献
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关于三角形的内接三角形面积估值问题,我们已有以下结论: 将△ABC分为四个较小的小三角形,中间的那一个△DEF内接于△ABC,其余三个在△DEF的三边上,则△DEF的面积≥main≥{△AEF的面积,△BDF的面积,△CED的面积}。(参见O.Bottema等著,单墫译《几何不等式》)。 相似文献
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定义设E,F,G分别是△ABC三边AB,BC,AC上的内点(不与顶点重合),称△EFG为△ABC的内接三角形.(如图1)图1 文[1]指出任意一个三角形至少存在一个内接正三角形,但究竟有几个?文[1]未加解决.本文对这个问题作出解答. 相似文献
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锐角三角形的垂心是其垂足三角形的内心.这是一个正确的命题.即如图(一)所示:H 为△ABC 之垂心,△FED 为垂足三角形,则:∠EDA=∠FDA,∠DEB=∠FEB,∠DFC=∠CFE.一 相似文献
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三角形中三条角平分线(高、中线、边垂直平分线)共点,在三角形中还有其它一些三线共点的问题,举例如下:问题1以△ABC的三边为底,分别向外(内)作三个相似的等腰三角形△'ABC、△'BCA、△'CAB,则'AA、'BB、'CC三线共点.问题2以△ABC的三边为底,分别向外作三个三角形△'ABC、△'BCA、△'CAB,使'BACCAB=?'ABCCBA=?'BCA'ACB=?则'AA、'BB、'CC三线共点.问题3设P为△ABC内的一点,由P向BC、CA和AB三边作垂线,垂足为'A、'B、'C,则(1)当P为内心时,有'AA、'BB、'CC三线共点;(2)当P为外心时,有'AA、'BB、'CC三线共点… 相似文献
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1 三阶垂足三角形的性质 以三角形三条高的垂足为顶点的三角形常称之为垂足三角形,本文将此概念作一推广。从平面上一点P向△ABC各边作垂线,垂足为A_1、B_1、C_1且不共线,则称△A_1B_1C_1为点P关于△ABC的垂足三角形,或一阶垂足三角形。点P关于△A_1B_1C_1的垂足三角形△A_2B_2C_2称为二阶垂足三角形,点P关于△A_2B_2C_2的垂足三角形称为三阶垂足三角形。 相似文献
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设P为△ABC所在平面上的任意一点，A＇，B＇，C＇分别为P到BC，CA，AB各边所作垂线的垂足，则△A＇B＇C＇称为△ABC关于P点的垂足三角形.关于三角形与其垂足三角形面积之间的关系，文［1］，［2]等已给出讨论.但对于象周长、外接圆半径、内切圆半径等不变量，三角形与其垂足三角形之间有什么关系，在作者所见到的国内外文献中均未发现一般性的结论.对于特殊情形，当P为锐角三角形的垂心时，作者在［3］中得到了锐角三角形与其关于垂心的垂足三角形的不变量之间的若干关系式；当P为三角形的内心时，莫颂清在［4］中进行了相应的讨… 相似文献
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过三角形的重心向其三边引垂线，三个垂足构成的三角形叫做该三角形关于其重心的垂足三角形．重心垂足三角形有下列有趣结果：设θ是△ABC的内切圆半径，r’是△ABC关于其重心G的垂足三角形A'B'C'的内切圆半径．则r'等号当且仅当为正三角形时成立为证明这一结果，需用到以下事实：设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边长为a、b、c，对应的中线长为等号当且仅当△ABC为正三角形时成立；号当且仅当△ABC为正三角形时成立．上述结论的证明是简单的，这里从略．证明如右图所示G是△ABC的重关于点G的垂足三角形，设（利用结论2）（利用… 相似文献