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1.
大家知道，若已知曲线C的方程为F(x，y)=0，且点P(x0，y0)在曲线C上，则有关系式F(x0,y0)=0．这一关系我们常用来解题．而若点P(x0，y0)在曲线外，则有关系式F(x0，y0)&;lt;0或F(x0，y0)&;gt;0，这一关系常被忽略．下面就谈其应用． 相似文献
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史建军 《中学数学研究(江西师大)》2015,(8)
1.问题背景
文[1]及文[2]讨论了⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0及⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0无公共点时,方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+ F2)=0的意义,但均没有指明方程表示何种曲线.
本文试图通过对方程x2+ y2+ Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0及x2+ y2+ D1x+E1y+F1+λ(x2+ y2+ D2x+E2y+ F2)=0的分析,从而阐明:当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2相交(以下简称“相交圆系”)时,上述方程一定表示圆;当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2不相交(以下简称“非相交圆系”)时,上述方程可能表示何种曲线. 相似文献
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命题:经过两圆C1:x2 y2 D1x E1y F1=0与C2:x2 y2 D2x E2y F2=0 的交点的圆的方程可以设为:x2 y2 D1x Eay F1 λ(x2 y2 D2x E2y F2)= 0(λ∈R且λ≠-1)……………………………(1) 在求过两已知圆交点的圆的方程时,我告诉学生可用上述命题来解题,这样可避免求两圆的交点．学生为该解法的美妙喝彩的同时提出了两 相似文献
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最近,我听了一位教师课题为《曲线方程的求法》的一节课.其中一道例题:求圆心在(2,1),且与x2+y2?3x=0的公共弦所在直线过点(5,?2)的圆的方程.解由已知可设圆的方程为x2+y2?4x?2y+F=0.(1)又x2+y2?3x=0,(2)(1)?(2)得?x?2y+F=0.而直线?x?2y+F=0过点(5,?2),把(5,?2)代入?x?2y+F=0,得F=1.因此所求圆的方程为:x2+y2?4x?2y+1=0.评课会上,有人提出:(1)?(2)所得?x?2y+F=0一定是相交弦吗?若不是,它又是什么呢?本文就此展开讨论.不失一般性,设两个不同的圆22O1:x+y+D1x+E1y+F1=022(D1+E1?4F1>0).(3)22O2:x+y+D2x+E2y+F2=022(D2+E2?4F2>0).(4)(3… 相似文献
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把圆C1:x2 y2 D1x E1y F1=0(其中D12 E12-4F1>0)和圆C2:x2 y2 D2x E2y F2=0(其中D22 E22-4F2>0)的方程相减,便得到2圆的根轴l的方程为(D1-D2)x (E1-E2)y (F1-F2)=0·①人们已经证明:(1)到圆C1和圆C2的切线长相等的动点都在其根轴l上;(2)当2圆C1和C2相交时,根轴l就是2圆C1和C2的 相似文献
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以下给出的椭圆的5个性质很有用,证明不难,请同学自己完成. 1.设M(x0,y0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上一点,r1和r2分别是点M与焦点F1(-c,0)、F2(c,0)的距离,则r1=a+ex0,r2=a-ex0,其中e为离心率. 2. 设F1(-c,0)、F2(c,0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(0>b>0,c>0)的 相似文献
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已知圆O1:x2+ y2+ D1x+ E1y+ F1 =0,圆O2:x2+y2+ D2x+E2y+ F2 =0,D1≠D2,E1≠E2,两圆方程相减得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2 =0,此方程代表一条直线,记作l,叫做两圆的根轴.根据两圆的位置关系,可以得到直线l如下有关结论[1]. 相似文献
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定理设二次曲线方程为F(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey +F=0。(1)过平面上任意一定点M(x_0,y_0)(除去曲线的中心)作动直线,与曲线(1)交于P_1、P_2两点,则弦P_1P_2的中点轨迹方程是Φ(x-x_0,y-y_0)÷F_1(x_0,y_0)(x-x_0) ÷F_2(x_0,y_0)(y-y_0)=0(2)并且曲线(1)与曲线(2)同族。其中Φ(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2 F_1(x,y)=Ax+By+D F_2(x,y)=Bx+Cy+E 证明:设过定点M(x_0,y_0)的动直线为 相似文献
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各种数学资料中 ,经常出现如下一类问题 :点 M为圆锥曲线上一动点 ,求它到圆锥曲线的一个焦点 F和平面上一定点 A的距离和的最值 .大多数学生对这类问题感到困难 ,不知如何入手 .本文利用圆锥曲线的定义巧妙地求出这类问题 .1 椭圆、双曲线、抛物线中的有关结论1.1 椭圆结论 1 设椭圆 x2a2 + y2b2 =1(a >b>0 )的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,平面上一定点 Q(x0 ,y0 ) ,M为椭圆上任意一点 .(1)定点 Q(x0 ,y0 )在椭圆内部 (即 x20a2 + y20b2<1) ,则 | MF2 | + | MQ|的最小值是 2 a -| QF1 | ;最大值是 2 a + | QF1 | .(2 )定点 Q(x0 ,… 相似文献
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[命题 ]设二次曲线方程为 Ax2＋ By2＋ Dx＋ Ey＋ F=0,则以点 M(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率为 k=－ . 证明：设以 M(x0,y0)为中点的弦与二次曲线的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), (x1≠ x2)则有 (1)－ (2),得 A(x2＋ x1)(x2－ x1)＋ B(y2＋ y1)(y2－ y1)＋ D(x2－ x1)＋ E(y2－ y1)=0, ∴ 2Ax0(x2－ x1)＋ 2By0(y2－ y1)＋ D(x2－ x1)＋ E(y2－ y1)=0. 整理,得, 即 k=－ . 该公式简单整齐,记忆方便,在解决直线与二次曲线相交问题中应用较广,且避免了设而不求法运算繁琐冗长的缺点 . [例 1]椭圆的弦被点 (4, 2)所平分,求… 相似文献
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例1如图1,过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB.若点M在x轴上,且使得M F为△AM B的一条内角平分线,则称点M为该椭圆的“左特征点”.(1)求椭圆x25+y2=1的“左特征点”M'的坐标.(2)试根据(1)中的结论猜测椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的“左特征点”M是一个怎样的点,并证明你的结论.解析(1)设M'(m,0)(m<0)为椭圆x25+y2=1的“左特征点”,椭圆的左焦点为F'(-2,0),可设直线A'B'的方程为x=ky-2(k≠0),将它代入x25+y2=1,得(ky-2)2+5y2=5,即(k2+5)y2-4ky-1=0.设A'(x1,y1),B'(x2,y2),则y1+y2=4kk2+5,y1y2=-1k2+5.①… 相似文献
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一、选择题1.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则A∩(CUB)=()(A){2}(B){2,3}(C){3}(D){1,3}2.已知集合M={x｜x=3m+1,m∈Z},N={y｜y=3n+2,n∈Z},若x0∈M,y0∈N,则x0y0与集合M,N的关系是()(A)x0y0∈M但x0y0N(B)x0y0∈N但x0y0M(C)x0y0M且x0y0N(D)x0y0∈M且x0y0∈N3.已知集合A={-1,2},B={x｜mx+1=0},若A∪B=A,则实数m的取值所成的集合是()(A)-1,12(B)-12,1(C)-1,0,12(D)-12,0,14.设P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义PQ={(a,b)｜a∈P,b∈Q},则PQ中元素的个数为()(A)7(B)10(C)12(D)205.设集合P=x｜｜x+12｜<12,Q={m｜x2-4m… 相似文献
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一、选择题(每小题5分,共50分)1.设集合M=｛直线｝,P=｛圆｝,则集合M∩P中的元素个数为A.0B.1C.2D.0或1或22.直线x-"3y=0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x2 y2-4x 1=0的位置关系是A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相切D.相离3.已知双曲线x22-y2=1a>0,)上一点P到两焦(b>0a b2点F1,F2的距离分别为6和2,点M(,)到直线PF302和PF2的距离相等,则此双曲线的方程为A.x4-y2=1B.x4-=1C.x4-=1D.x4-=122y22y22y22354.过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为的直线交抛43物线于A,B两点,若AF=λFB(λ>1),则λ等于#$#$A.3B.4C.4D.3325.若曲线x… 相似文献
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经文[1]~[4]的不断研究,文[4]得到了圆锥曲线定点弦与定直线相关性的如下两个性质:性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的过定点F(m,0)(m≠0,且m0,b>0)的过定点F(m,0)(m>a)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=a2/m.性质2抛物线y2=2px(p>0)的过定点F(m,0)(m>0)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=?m.本文将这两个性质推广到一般的情形,以更深刻揭示圆锥曲线的几何特征.定理过定点F(x0,y0)的两条动直线AC、BD分别与圆锥曲线相交于点A、B、C、D.设直线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则(1)当圆锥曲线为椭圆22ax2+by2=1(a>b>0),且F(x0,y0)不为坐标原点时,点M、N的轨迹都是定直线l:xa02x+yb02y=1;(2)当圆锥曲线为双曲线22ax2?by2=1(a>0,b>0),且点F(x0,y0)不为坐标原点时,点M... 相似文献
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设F1，F2为椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a&;gt;b&;gt;0)或双曲线C2：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a,b&;gt;0)的两个焦点，点P（x0,y0)在C1或C2上（x0≠&;#177;a),∠F1PF2=θ,半焦距为c，则 相似文献
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甘肃、宁夏、贵州、青海、新疆等地区使用试题 一、选择题 :本大题共 1 2分 ,每小题 5分 ,共 60分 .( 1 )已知集合M ={0 ,1 ,2 },N ={x|x =2a ,a∈M},则集合M∩N =( ) .A .{0 } B .{0 ,1 } C .{1 ,2 } D .{0 ,2 }解 :∵N ={x|x =2a ,a∈M}={0 ,2 ,4},∴M∩N ={0 ,2 },故选D .( 2 ) 函数 y =e2x(x∈R)的反函数为 ( ) .A .y =2 1nx(x >0 ) B .y =ln( 2x) (x >0 )C .y =12 lnx(x >0 ) D .y =12 ln( 2x) (x >0 )解法 1 :函数 y =e2x(x∈R)的值域为 y >0 ,反解得x =12 lny,故其反函数为 y=12 lnx(x >0 ) ,故选C .解法… 相似文献
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一、单项选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 定义 :A -B ={x|x∈A且x B},若M ={x|1≤x≤ 2 0 0 2 ,x∈N },N ={y|2≤ y≤ 2 0 0 3 ,y∈N },则N -M等于 ( )(A)M (B)N (C) {1 } (D) {2 0 0 3 }2 函数 f(x) =-(cosx)lg|x|的部分图像是 ( )3 若不等式a +b≤m· 4a2 +b2 对所有正实数a、b都成立 ,则m的最小值是 ( )(A) 2 (B) 2 (C) 2 34 (D) 44 曲线 2x2 -xy -y2 -x -2 y -1 =0和 3x2 -4xy +y2 -3x +y =0的交点有 ( )(A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D)无穷多个5 设 0 相似文献
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一、选择题1.在△ABC中,点F分AC所成的比为2:1,G为BF的中点,直线AG与BC交于点E,则点E分BC所成的比是( ). A 1/4; B 1/3; C 2/3;D 3/82.直线z将圆:z。+.y。一2X--4y=0平分,且不过第四象限,那么z的斜率的取值范围是( ). A[0,1/2-]; B Eo,1]; C Eo,23;D Eo,1/2)3.定点M(x。,yo)不在直线z:f(x,.y)=0上,则f(x,y)--f(x。,Y。)=O表示的直线是( ).A过点M且与1垂直; B过点M且与z平行; c不过点M且与z垂直;D不过点M且与z平行4.圆z。+y。一4z+2y+f=0交Y轴于A、B 2点,圆心为P,若么APB=90",则C是( ).A一3;B 3;c 8;D 2订5.直线l过点(一… 相似文献