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1柯西不等式的证明定理(柯西不等式)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.证法1(比较法)因为(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2 相似文献
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李新卫 《数理化学习(高中版)》2015,(2):17-18
一、齐次化与非齐次化齐次化方法与均值不等式、柯西不等式(或与它们等价的不等式)紧密联系,常应用于给定某个等量关系的不等式问题,也可应用于分式向常数的不等转化等.不等式的齐次化常可通过非齐次化的题设条件转化得到.例1(1)已知a2+b2=c2+d2=16,求证:|ac+bd|≤16;(2)已知a,b,c>0,ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≤1/3abc; 相似文献
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联想是回忆旧知识、发现新知识的重要手段,是联系生疏问题和熟知问题的心理桥梁,是在解题过程中不可缺少的心理活动.从不同的角度对二维柯西不等式(ac bd)2≤(a2 b2)(c2 d2)进行观察和联想,可获得以下几种证明方法.思路1从代数式角度来考虑,由柯西不等式联想到完全平方公式,利用配方法可证.证明因为(a2 b2)(c2 d2)=a2c2 b2d2 a2d2 b2c2=(a2c2 2abcd b2d2) (a2d2-2abcd b2c2)=(ac bd)2 (ad-bc)2而(ad-bc)2≥0.所以(ac bd)2≤(a2 b2)(c2 d2).思路2从不等式的角度考虑,由柯西不等式的特点,可以联想借助均值不等式来证.证法1要证(ac bd)2≤(a2 b… 相似文献
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张清芳 《数理化学习(高中版)》2006,(23)
在不等式证明中,我们比较熟悉用代数的方法去寻求其问题证明,如何借助图形证明不等式,大家关注的不多.本文试图从构图入手,给出某些不等式的几何证法.一、构造两点间的距离例1已知a、b、c都是正数,求证:a2+b2+c2+d2≥(a+c)2+(b+d)2简析:联想两点间的的距离公式,待证式子可视为两线段之和不小于第三条线段.证明:设点A的坐标为(a+c,0),点B的坐标为(0,b+d),点C的坐标为(c,b).由|AC|+|BC|≥|AB|,得a2+b2+c2+d2≥(a+c)2+(b+d)2,当且仅当等号在A、B、C三点共线,即ab=dc时成立.二、构造平行线间的距离例2已知a、b、x、y∈R,且a+2b+4=0,x+2y=1… 相似文献
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对于不等式的证明 ,课本着重介绍了比较法、综合法、分析法 .其实 ,构造二次函数f(x) =ax2 +bx +c(a>0 ) ,利用f(x) ≥ 0恒成立的充要条件Δ≤ 0和 f(x) >0恒成立的充要条件Δ<0来证明 ,也是一种行之有效的方法 .下面以新教材第二册 (上 )课本中的几个习题为例加以说明 .一、若 f(x) =ax2 +bx+c≥ 0 (a>0 ) ,则Δ =b2 -4ac≤ 0例 1 求证 :(ac +bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .证明 构造二次函数 f(x) =(a2 +b2 )x2 +2 (ac+bd)x +(c2 +d2 ) .当a ,b全为零时 ,不等式显然成立 .设a ,b不全为零 .∵a2 +b2 >0且 f(x) =(ax+c) 2 +(bx+d) 2 ≥ 0… 相似文献
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<正>先给出两个二维柯西(Cauchy)不等式:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)①(ac-bd)2≥(a2-b2)(c2-d2)②(当且仅当bc=ad时取"="号)本文利用以上柯西不等式探究无理函数最值(或值域)的求法.为简明起见,本文约定:函数f(x)的定义域和值域分别记为A和C,最大值和最小值(如果有的话)分别记为M和m. 相似文献
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王国平 《数学大世界(高中辅导)》2000,(2):6-7
高中代数下册(必修)．P15习题十五第6题为：已知ad≠bc，求证(a^2+b^2)(c^2+d^2)>(ac+bd)。当ad=bc．即a/c=b/d时，则有(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2(*)(*)式实为柯西不等式的最简形式．(*)式具有较多的解题功能，且解题显得特别自然流畅、方便简洁． 相似文献
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高中《代数》(下册)第15页习题十五第6题为:“已知 ad≠bc,求证(ac bd)~2<(a~2 b~2)(C~2 d~2)”(柯西不等式)一般地,易证下列不等式成立:(a~2一b~2)(x~2-y~2)≤(ax十by)~2≤(a~2 b~2)(x~2 y~2)(其中a,b,x,y∈R)当且仅当bx=-ay时,左边取等号;当且仅当bx=ay时,右边取等号.本文拟介绍该不等式在解几中的一些应用,供参考.设直线l‘:Ax By=0,椭圆(X~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1及椭圆上一点P_0(x_0,y_0).则(Ax_0 By_0)~2= 相似文献
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一、因果设问和反思每当我们解决了一个问题,得出一个结论时,都要想一想问题产生的原因是什么?有何背景?有没有更好的解决方法?这样对问题的研究会更深入、更全面,更有利于培养学生思维的深刻性。[例1]已知ad≠bc,求证:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.此题的证明方法很多,既可利用比较法,也可利用分析法和综合法,但在解决问题后有许多地方值得我们思考。设问1:可否有更好的方法来解决这个问题?分析:根据不等式特征,可将原不等式改变为:(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)≤0.即为:4(ac+bd)2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0则此式可看成是一元二次不等式:(a2+b2)t2-2(ac… 相似文献
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构造是一种重要的数学思想 ,在数学解题教学中 ,教师应注意引导学生依据题目特征 ,类比相关知识 ,通过相关数学模型来促使问题的解决 .本文利用直线与圆有关常用数学模型求解一类数学题 ,供参考 .1 利用点到直线的距离公式解题设 A(x0 ,y0 ) ,直线 l:Ax + By+ C=0 ,则 A到 l的距离 d=| Ax0 + By0 + C|A2 + B2 .例 1 已知实数 a,b满足 a+ b=1.求证 :(a-3) 2 + (b+ 4 ) 2 ≥ 2 .图 1证明 不等式左端可视为点 P(a,b)到点 Q(3,- 4)的距离的平方 ,而点 P(a,b)可看作直线 l:x+ y=1上的任意一点 ,于是问题转化为点 P在直线l上什么位置时线… 相似文献
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罗增儒 《中学数学教学参考》2003,(6)
我们在文 [1 ]的案例 3中 ,谈了数形结合的双向沟通 ,顺便对题目 (文 [1 ]例 3、4、5 ,此处统一为例 1 )例 1 已知a >0 ,b >0 ,c >0 ,求证 :( 1 )a2 +b2 +ab +b2 +c2 +bc>a2 +c2 +ac;( 2 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc ;≥a2 +c2 +ac,( 3 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc>a2 +c2 -ac.从特殊到一般作出了推广 :a2 +b2 +k1ab +b2 +c2 +k2 bc≥a2 +c2 +k3ac .①其中 |ki|<2 ,i=1 ,2 ,3 .这对b +k1a≥ 0且b +k2 c≥0 (特别地k1≥ 0 ,k2 ≥ 0 )时 ,结论是显然的 ,有左边≥a +c=a2 +c2 +2ac >右边 .但当k1、k2 中出现负数呢 ?文 [2 ]指出 ,推广式①并非永远… 相似文献
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一、等式与不等式的转化例1若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.分析为了求ab的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可.解运用不等式a+b≥2ab姨,原等式可化为不等式.∵ab=a+b+3≥2ab姨+3,∴ab-2ab姨-3≥0.又ab姨>0,∴ab姨≥3,即ab≥9.例2已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,求正整数a,b,c.分析本题所给的是不等式,而求的是a,b,c,故应将原不等式转化为3个等式,才能解决问题.解∵不等式的两边是整数,∴将a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c配方得(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.则有a-b2=0,b2-1=0,c-1=0,∴原不等式有唯一的一组解a=1,b=2,c=1.二、常… 相似文献
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在解或判别实系数一元二次方程(或可化为此类方程)时,根的判别式Δ=b2-4ac起着极大的作用.实系数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有很多性质,其中当且仅当Δ=b2-4ac≤0时,y=ax2+bx+c保号.如果在实系数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,将系数a,b,c都改为对某些变量的实质函数,就可得到“广义判别式”的概念.即:设a=f(x,y),b=g(x,y),c=φ(x,y)都是以x,y为未知数的一个二元方程,则称Δ=b2-4ac为二元方程ax2+bx+c=0的“广义判别式”.1利用“广义判别式”可判断二元实函数系数方程根的情况实系数一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的保号性可以推广到关于x,y的二… 相似文献
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林革 《数学大世界(高中辅导)》2003,(12):4-5
一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.到点A(-1,0)的距离与到直线x=3的距离相等的点的轨迹方程是( ) A.y2=8x+8 B.y2=-4x+4 C.x2=-8y+8 D.x2=-4x+4 2.已知直线ax+by+c≠0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的 相似文献
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刘志联 《数理化学习(初中版)》2002,(6)
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若a>0,△=b2-4ac≤0,则f(x)≥0;若a<0,△=b2-4ac≤0,则f(x)≤0. 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,则△=b2-4ac≥0. 以上性质,我们可以用来证明不等式. 例1 已知a,b∈R,且b>0.求证:a2+b2>3a-2ab-3. 证明:被证不等式可变形为 相似文献
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邹生书 《中学数学研究(江西师大)》2013,(2):25-26
宋庆老师在文[1]末提出了四个不等式猜想,其中猜想1如下:
猜想 若a,b,c是正实数,且满足abc=1,则a2/a+2+b2/b+2+c2/c+2≥1.
文[2]运用均值不等式的变式x2/y≥2x -y(x＞0,y＞0,当且仅当x=y时等号成立)证明了这个不等式猜想及如下一般性推广:
推广:若a,b,c,λ,μ是正实数,且满足abc=1,则a2/λa+μ+b2/λb+μ+c2/λc+μ≥3/λ+μ. 相似文献
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定理二次函数y=ax2+bx+c的值域是[0,+∞)的充要条件是a＞0且b2-4ac=0. 证明因为y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+4ac-b2/4a,x∈R,所以二次函数y=ax2+bx+c的值域是[0,+∞)←→y的最小值是0,无最大值←→a＞0且b2-4ac=0. 相似文献