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1.
垂径定理及其推论说明的是圆中的直径与弦以及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系．应用这对应关系,可顺利地证明一些几何命题．现以几道中考题为例说明如下：例1如图1,已知AlABC内接于①O,BC是④O的直径,AD是AIABC的高,OE／AC,OE交AB于点E．求证：AE＝BE．门998年广州市）简析O为①O的圆心,要证AE二BE,只要证OE上用．证明注意到BC是①O的直径,有fBAC＝op．例2如图2,BC是①O的直径,弦AD上BC于E,ZC＝gr．求证：凸ABD为等边三角形．（199年吉林省）简析显见／D＝／C＝gr．这样,要证凸ABD为等边三角形… 相似文献
2.
证明两条线段相等是平面几何中最常见的问题．现就初二年级学过的各种常用方法,归纳介绍如下．一、利用全等三角形的性质证明例△ABC中A＝6f°,B和C的平分线BD、CE相交于O．求证：OD＝OE．分析如图1,连结AO,则AO平分ZA．从而OygAB、AC的距离相等．作OF上AC于F,OC上AB于C,则有OF＝OG．至此,欲证册一OE,只须证凸ODF。rtOEC．已有OF＝OC,ZOFD二ZOCE＝op,为此,只须再证ZODF＝ZOEC即可．注意到ZODF二ZA＋LB／2＝gr＋ZB／2;＜OEC＝ZB＋ZC／2一曲B＋（180－ZB－ZA）八一ZB＋（18ry－ZB－gr）／2… 相似文献
3.
命题已知：如图亚,E为AC上一点．求证：（1）若AB＝AD,BC＝DC,贝uBE＝DE;（R）若AB＝AD,BE＝DE,贝uBC＝DC;（皿）若BE二DE,BC＝DC,贝uAB＝AD．证明（1）在凸ABC和西ADC中,AB＝AD,BC＝DC,AC＝AC,凸ABC＿凸ADC．／l二ZZ在rtABE和rtADE中,AB＝AD,士1＝ZZ,AE＝AE,凸ABE＿凸ADE．删一脱．类似地,可证（D）、（皿）成立．掌握了此题的证明思路,《几何》教材第二册中的几道习题就迎刃而解了．例1已知：如图2,AB＝AC,EB＝EC,AE的延长钱交BC于D．求证：BD＝CD．（P46第11题）简析… 相似文献
4.
学习了全等三角形的有关知识后,我们可以运用全等三角形的对应边相等,对应角相等的性质来证明一些中考题．例1如图工,AB上BC,AI）上DC,垂足分别为B。D,／l＝／2．求证：AB＝AD．（1997年福州市）分析要证AuB二AD,只要证凸A－BC。rtADC即可．在这两个三角形中,／l＝／2,AC＝AC,有一边和这边的一个邻角对应相等,只要再证／B＝／D或／ACB＝／ACD。根据条件,ABIBC,AD上DC,那么／B＝／D成立．放结论可证,证明略．例2如图八点C是AB的中点,CD．BE,且（：＝BE．求证：／D＝／E．（1998年重庆市）分析要证… 相似文献
5.
从不同的角度观察初中《几何》第三册第122负例1,可以得到方法各异的多种证法二下面记录的就是笔者在讲授这道例题时师生间的一段对话．题目如图回,已知AB是①O的直径,AC是弦,直线CE和OO切干点C,AD上CE,垂足为D．求证：AC平分／BAI）．老师：这是一道证角的平分线的问题．请同学们想一想,怎样沟通条件和结论之间的联系？学生甲：观察直径AB,如图1,连结BC,则／ACB＝gry,ZB＋ZI＝op…·AD入CE,…／ADC＝gry,zZ＋Z3＝90…·CE是切线,…／3＝fB…．／l＝LZ．即AC平分ZBAD．老师：证得好．观察直径并作出直径… 相似文献
6.
王仲惠 《山西教育(综合版)》2006,(11)
数学学习,重在钻研和积累,解数学题更是需要多方面思考、多角度探索.下面我们从不同的角度探求圆中一些习题的解法.同时也希望同学们在学习中多做这方面的尝试.例1已知如图1所示,以⊙O的直径BC的一边作等边△ABC,AB、AC分别交⊙O于点D和点E.求证:BD=CE.证法一:如图2所示,连接OD、OE.∵OB=OD,∠B=60°.∴△OBD是等边三角形.∴∠BOD=60°.同理∠COE=60°.∴∠BOD=∠COE.∴BD=CE.证法二:如图3所示,连接BE、CD.∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°.∵∠DBC=60°,∴∠BCD=30°.同理∠CBE=30°.∴∠BCD=∠CBE.∴BE=CD.∴B… 相似文献
7.
王仲惠 《山西教育(综合版)》2006,(10)
数学学习,重在钻研和积累,解数学题更是需要多方面思考、多角度探索.下面我们从不同的角度探求圆中一些习题的解法.同时也希望同学们在学习中多做这方面的尝试.【例1】已知如图1所示,以⊙O的直径BC的一边作等边△ABC,AB、AC分别交⊙O于点D和点E.求证:BD=CE.证法一:如图2所示,连接OD、OE.∵OB=OD,∠B=60°.∴△OBD是等边三角形.∴∠BOD=60°,同理∠COE=60°.∴∠BOD=∠COE.∴BD=CE.证法二:如图3所示,连接BE、CD.∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°.∵∠CDB=60°,∴∠BCD=30°.同理∠CBE=30°.∴∠BCD=∠CBE.∴BE=CD… 相似文献
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相交弦定理和切割线定理以及它们的推论统称圆幂定理．在许多涉及国的证明题中可以直接应用它或借助它进行转化获得解决．举例说明如下：一、证明线段相多例回如图1,已知AD、BE、CF分别是凸ABC三边上的高,H是垂心,AD的延长钱交凸ABC的外接圆于点C．求证：DH＝DC．（1997年甘肃省中考题）分析由相交弦定理知DG·DA＝BD·DC．欲证DH＝DC,只须证DH·DA＝BD·DC．为此,只领证凸ABD。凸CHD．由已知易证／BAI）＝／HCD,而LADB。／CDH二印,所以凸ABD。凸CHD．从而结论可证．证明略．二、证明线段比例式（或等积式… 相似文献
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证明共线的四条线段的等积式，一般都要进行代换．本文列举用不同形式代换的五种方法．一、利用相等的线段代换例１如图１，过圆心O的直线l垂直于弦AB，交⊙O于D、M两点，作⊙O的另一条弦AE，并延长交l于点C，连结BE交DM于点F．求证：OD２＝OC·OF．分析：OD是⊙O的半径，可用半径OE代换OD，证OE２＝OC·OF，即证△OEF∽△OCE．证明：作直径EN，连结BN，则∠EBN＝９０°，故∠N＋∠BEN＝９０°；又∠A＋∠C＝９０°，∠A＝∠N，所以∠C＝∠BEN；又∠EOF是公共角，所以△OEF∽△OCE，OE∶OC＝OF∶OE．∴OE２… 相似文献
10.
在几何证明中,经常遇到证明线段倍半关系的一类命题,即证明“a=2b”或“”型问题．怎样证明这类几何命题呢？下面介绍几种证明思路,供同学们学习时参考．一、折半作一线段等于长线段的一半,然后证其等于短线段即可．例旦已知：如图回,△ABC中,AB＝AC,延长AB至D,使BD＝AB,连结CD,E为AB中点．求证：CE一会CD．分析欲证CE一步CD,可取CD的中点F,只要能证明CF＝CE即可,这可通过证凸CBF。凸CBE而得．证明取CD的中点F,连结BF．AB＝BD,CF＝FD,BF｛AC．故／回一／ACB一上2．又…BF一步AC一会AB＝BE．—… 相似文献
11.
要证明三角形三个内角的和等于18o,首先应联想,我们所学过的角中,哪些角等于18ry？一是平角等十1800,二是平行线的问旁内角的和等于18fr．由此可知,证明三角形内角和定理有两条基本思路：一、利用平角等于18ry来证就是通过作适当的辅助残,将＿三角形的三个内角迁移到一个平角的位置卜上,然后利＊平角等于18U来证．证法1如图1,延长BC到D,并过C作（：．AN,则／l＝／A,／2＝／B．／A（：＋／l＋／二一18ry,／A＋／B十上;4（：＝18产证法2如图人过A作DE”BC则／l＝。if］,／2＝IL．／BAC＋if＋／2＝18（,／h4（＋／B＋… 相似文献
12.
几何图形的功能是由它的性质决定的．由等腰梯形的定义和性质可知,等腰梯形具有下列性质：（豆）等腰梯形的两腰相等;但）等腰梯形的两条对角线相等;（3）等腰梯形同一底上的两个角相等．由此可知,等腰梯形具有下列两个基本功能：1．利用等腰梯形可以证明两条线段相等．2．利用等腰梯形可以证明两个角相等．例1如图1,在梯形ABrp中,AD）BC,／DAB二IN,AB＋AD二BC．求证：AC＝BD．分析因为AC‘BD是梯形ABop的两条对角钱,所以,欲证AC二BD,只须证梯形ABrp是等腰梯形＿AB＝rp域／ABC二／IKB）．但AB、rp不在一个三角… 相似文献
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关于等腰三角形性质定理的证明,课本上的证法是：作顶角A的平分线AD,把等腰凸ABC分成两个三角形ADB和Alf,证凸ADB。］ADC．除课本上的证法外,此性质定理还有其他证法吗？只要我们认识上述证法的实质,并善于从不同的角度去思考问题,就可以找到下列几种证法：1．作底边BC上的高AH（如图1）,把等腰rtABC分成两个直角三角形AHB和AHC,LB、ZC分别是它们的一个内角．于是,欲证上B二ZC,只须证Rt凸AHBsffirtAHC即可．这由已知条件和辅助线的作法即得,故命题可证．2．作底边BC的中线AM（如图2）,把等腰thABC分成两个… 相似文献
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一个新的三角不等式 总被引：1，自引：1，他引：0
《中等数学》1998年第3期“数学奥林匹克问题”栏高中第65号题为：在△ABC中,求证：B．C＿sinA＋Zsin子十3sin子＜3．（l）－———一一2——一？”－’原刊1998年第4湖上,江苏张延卫老师给出了该题的构图证法．这里,我们给出类似于（1）式的一个新结果,并且给出其代数证法．定理在△ABC中,有BC＿＿＿COSA＋＋COSW＋3COS子＜3／3．（2）———””——一2’——一3——”—””“”证明”．”A,B,C是凸ABC的内角,B＿＿．”．0＜A十号＜A＋B＜n,2～‘——～,,故（2）式获证．从上述证明过程不难看出,当且仅当ABtr… 相似文献
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几何学习中,经常会遇到线段不等式的证明问题．解答它们,有时可考虑应用构造全等三角形的方法,借助它们的对应边相等作桥梁,把要证的线段不等式中的线段转化到同一个三角形中．这样为运用三角形的三边关系定理提供I有利的条件．例1如图1,ohABc中,＊B＞＊c,Al）为角平分线,P为AI）上任意一点．求证：PB－PC＜AB＊c．证明在AB上截取AE二AC,连结PE,得BE＝AB－AC．AE＝AC,／l＝／2,AP＝AP,凸APE＿凸APC．PE＝PC．PB－PE＜BE,PB－PC＜AB－AC．例2如图2,ohABC中,AI）是BC边上的中线．求证：AB＋AC＞… 相似文献
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学习了《全等三角形》这一单元的知识和方法后,王老师出了这样一道思考题让同学们思考：两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等吗？若全等,请给出证明;若不全等,请举例说明．对于这个问题,有一部分同学作出了肯定的回答,并根据图1给出了证明．已知：如图正,在rtABC和thDEF中,AC和DH分别是它们的高,且AB＝DE,BC＝EF,AC＝DH．求证：凸ABC、凸DEF．证明在RtchABC和RtchDEH中,AB＝DE,AC＝DH,RtthABC。RtthDEH（HL）．ZB一上E．在rtABC和aDEF中,AB＝DE,BC＝EF,ZB＝iE,thABC。凸DEF（… 相似文献
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下面介绍两道中考题的解法，意在说明平行线分线段成比例定理的推论在几何解题中的应用．希望同学们能从它的多种证法中归纳出作辅助平行线的一般规律．例1如图1，在△ABC中，M是AC边的中点，E是AB上一点，并且AE个AB，连结EM并延长交BC的延长线于D.求证：BC＝2CD．（1994年吉林省中考题）分析 ∵AE一个AB＝4（AE＋EB），于是，要证BC＝2CD，只须征BD＝3CD，即只须证．故问题转化为证但已知条件既无平行线又无相似三角形，为了得到上述比例式，应作辅助平行线．证法一如图1，过C作CF∥AB交DE于F，则AE／CF＝AM／MC，… 相似文献
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用圆中等量关系来证的中考题十分常见．现以1998年中考题为例,分类介绍其证明思路,以帮助初三同学复习圆的知识及应用．一、证两线段相等例1如图1,圆内接四边形ABCD的外角上DCH＝ZDCA,DP上AC于P,DH上BH于从求证：CH＝CP;AP＝BH．（1998年,河南省）思路易证RtnCHD。RtnCPD,…CH＝CP．欲证AP＝BH,只须证fuAPD。thBAN．连DB,·。·DP＝DH,左APD＝ZBHD一皿Z,／DAP＝／DBH,…凸APD。凸BHD．（获证）二、证两角相多例2如图人已知AB为①0的直径,C为①O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D．… 相似文献
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第39届IMO预选题的第11题：证明：《中等数学》1999年第5期给出了两种不同的妙证，事实上用均值不等式就能证明．证法1由①＋②＋③得：上述不等式都是在x＝y＝z＝1时取等号． 当且仅当x＝y＝z＝1时原不等式取等号．证法2由①＋②＋③得：上述不等式都在x＝y＝z＝1时取等号．当且仅当x＝y＝z＝1时原不等式取等号．一道IMO预选题的两种证法@李来敏$重庆市武隆县中学!408500 相似文献
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李莲梅 《雁北师范学院学报》1999,(4)
初中几何第二册146页B组第三题“一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形吗？为什么？”学生们常会答“是平行四边形”。就是有些学生答“不一定是”,也很难举出反例。举反例方法一：如图;所示（1）画等腰凸ABC,（2）在BC上取一点E,使BE＞EC,连结AE,形成ZEAC,勺）以E为顶点,AE为一边作／AED一／EAC,且ED一AC,连结AD。形成四边形ABED。用“SAS”可证凸AEDeq凸EAC,故／C一／D,又因／B一ZC,则ZB一／D,ED一AC—AB,但显然四边形ABED不是平行四边形。方法二：如图。所示（l）画等腰梯形ABCD,… 相似文献