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在实践中,某些看似繁杂的最值问题,若借助于最大(小)值的定义,常能轻松突破. 例1 分别用max{x1,x2,…,xn},min{x1,x2,…,xn}表示x1,x2,…,xn中的最大值与最小值,若a b c=1(a,b,c∈R),则min{max{a b,b c,c a}}的值为( ) (A)1/3.(B)2/3.(C)1.(D)不确定. 解 设max{a b,b c,c a}=x,则 x≥a b,x≥b c,x≥c a,所以 3x≥2(a b c)=2,x≥2/3. (当且仅当a b=b c=c a,且a b c=1, 相似文献
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题目 已知a、b、c为正实数.证明:a2 b2 c2 abc=4a b c≤3.(第20届伊朗数学奥林匹克(第2轮))文[1]利用三角法给出了证明,本文给出一种代数证明.证明:若a、b、c都大于1,或者都小于1,显然不满足题设条件.因此,a、b、c中一定有两个或者都不大于1,或者都不小于1,不妨设为a、b.则(1-a)(1-b)≥0,即 ab≥a b-1.①由a2 b2≥2ab,有4=a2 b2 c2 abc≥2ab c2 abc,即 ab(2 c)≤4-c2.于是,ab≤2-c.②由①、②,有a b c≤3.一道赛题的简证@羊明亮$湖南师范大学附属中学广益高中!410081[1] 第20届伊朗数学奥林匹克(2002—2003)[J].中等数学2004增刊.70.… 相似文献
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《湖南教育》2006,(12)
19.圆形钟面上标有1至12的数字,如果在每个数字前面添上 或者-,使它们的和等于0,问有几种方法?(春天提供)20.已知α、β是方程x2 x-1=0的两根,且α>β,不解方程,求1α 3β3 5的值.(湖南祁东县白地市镇中学421611张旭升提供)21.已知a,b,c为实数,ac<0,且3a 4b 5c=0.证明:一元二次方程ax2 bx c=0有大于43而小于54的根.(四川泸县二中646100熊福州提供)22.周长与面积在数值上相等的直角三角形中,R和r分别表示直角三角形外接圆与内切圆的半径,若R-r≤8,且直角边中至少有一边必为正整数,则这样的直角三角形有多少个?(湖南华容县第四中学414207苏任… 相似文献
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刘申强 《中学课程辅导(初二版)》2006,(3):18-18
在《勾股定理》一章的学习中,涉及许多重要的数学思想.正确运用数学思想是解决问题的关键.并能收到事半功倍的效果.下面举例说明.一、数形结合思想例1(济南中考)如图1是用硬纸做成的两个全等的直角三角形,两直角边分别为a和b,斜边为c.图2是以c为直角边的等腰直角三角形,请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形.(2)用这个图形证明勾股定理.aa图1图2(3)假设图1中的直角三角形有若干个,你能运用图1中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图.(无需证明… 相似文献
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第一试 一、选择题(每小题7分,共4 2分)1 .设实数a、b、c满足c b =3a2 - 4a 6 ,c-b =a2 - 4a 4 .则a、b、c的关系是( ) .(A)a 相似文献
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本期问题初 1 4 3 凸四边形ABCD的四边都与⊙O相切 ,且各边长分别为a、b、c、d .求证 :OA·OC OB·OD =abcd .(黄全福 安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4 6 1 4 2 )初 1 4 4 已知ABCD是正方形 ,P是边BC上的一点 ,直线DP交AB的延长线于点Q .若DP2 -BP2 =BP·BQ ,试求∠CDP的度数 (答案不能用反三角函数表示 ) .(吴伟朝 广州大学数学与信息科学学院 ,51 0 4 0 5)高 1 4 3 设△ABC的垂心H位于形内 ,O为△ABC的外心 .若OH⊥OA ,则π4 <∠A <π3.(阚政平 安徽师范大学附中 ,2 4 1 0 0 1 )高 1 4 4 已知a、b、c为正实数 .证… 相似文献
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题 1 已知 a,b,c∈ R ,且 abc≤ 1 ,求证 :a bc b ca c ab ≥ 2 ( a b c) .(《数学通报》1 999年第 1期问题 1 1 71 )该题型新颖独特 ,其证法亦不多见 .贵刊仅在文 [1 ]中给出了一种证法 ,现笔者应用基本不等式简证如下 .证明 原式成立 a b c- c( a b c) c a b c- a( a b c) a a b c- b( a c) b≥ 2 . 1a 1b 1c- 3a b c≥ 2 . ( * )∵ 1a 1b 1c- 3a b c≥ 33abc- 13abc=23abc≥ 2 .(∵ 3a b c≤ 13abc)∴ ( * )成立 ,故原式证毕 .题 2 若 a,b,c∈ R ,abc=1 ,则aba3n 2 b3n 2 ab bcb3n 2 c3n… 相似文献
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基础篇课时一 四边形诊断练习1.填空题( 1)多边形的外角是与它有公共顶点的内角的角 .( 2 ) n边形 ( n≥ 3)有个内角 ,内角和为;有个外角 ,外角和是每个顶点处取个外角的和 ,该和为 .( 3)七边形内角和为 ,外角和为 .( 4)一个多边形的外角中最多个钝角个直角 .2 .选择题( 1)五边形内角和与外角和的比是 ( )( A) 5∶ 2 . ( B) 2∶ 3.( C) 3∶ 2 . ( D) 2∶ 5.( 2 )用长为 1m、1.5m、1.8m和 2 m的四根木条钉成四边形 ,可钉成不同形状的四边形有 ( )( A) 1个 . ( B) 2个 . ( C) 3个 . ( D)无数个 .(第 2 ( 3… 相似文献
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题目 :现有 1 0个完全相同的球全部分给7个班级 ,每班至少 1个球 ,问共有多少种不同的分法 ?解 题目中球的分法共三类 .(1 )有 3个班每个班分到 2个球 ,其余 4个班每班分到 1个球 .其分法种数Ｎ1 =Ｃ37.(2 )有 1个班分到 3个球 ;1个班分到 2个球 ;其余 5个班每班分到 1个球 .其分法种数Ｎ2 =Ｃ1 7Ｃ1 6.(3 )有 1个班分到 4个球 ;其余的 6个班每班分到 1个球 .其分法种数Ｎ3=Ｃ1 7.所以 ,1 0个球的分法种数为 :Ｎ =Ｎ1 +Ｎ2 +Ｎ3=Ｃ37+Ｃ1 7Ｃ1 6+Ｃ1 7=84.由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算 ,比较繁琐 ,若是上题中球的数目… 相似文献
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有名辉 《中学数学研究(江西师大)》2008,(11)
瓦西列夫不等式[1]叙述如下: 设a,b,c＞0,a 6 c=1,则有a2 b/b c b2 c/c a c2 a/a b≥12.(1) 将此不等式进行联想类比,并推广到多元情形,得到 结论1 设x1,x2,…,xn＞0,n∈N,n≥2,则∑x12 x22 … xn2-1/x2 x3 … xn≤x1,x2 … xn.(2) 其中记.号"∑"表示循环和. 相似文献
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先看下面的一个公式:设ai∈R,bi∈R+,i=1,2,…,n.则a21b1+a22b2+…+a2nbn≥(a1+a2+…+an)2b1+b2+…+bn.这个公式是由柯西不等式稍加变形后得到的,用它处理一类分式不等式问题十分方便.下面举例说明.例1已知a、b、c∈R+.求证:ab+c+bc+a+ca+b≥32.(第26届莫斯科数学奥林匹克)证明:ab+c+bc+a+ca+b=a2a(b+c)+b2b(c+a)+c2c(a+b)≥(a+b+c)22(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)2(ab+bc+ca)=32.例2设a、b、c∈R+,且abc=1.则1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.(第26届IMO)证明:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)=a2b2c2a3(b+c)+a2b2c2b3(c+a)+a2b2c2c3(a+b)=b2c2a(b+… 相似文献
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文[1]给出如下结论:在△ABC中,设I是它的内心,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,R是△ABC的外接圆半径,则有AI BI CI≤ab bc ca.(1)1AI 1BI 1CI≥3R.(2)bcAI caBI abCI≥33.(3)本文给出两个更一般的结论:定理 在△ABC中,设I是它的内心,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,对于正数x,y,z有xAI yBI zCI≤abx2 bcy2 caz2.(4)xAI yBI zCI≥333xyzabc.(5)证明 设s,R,r分别是△ABC的半周长、外接圆半径、内切圆半径.易知:AI=rsinA2=2rcosA2sinA=4RrcosA2a,同理 BI=4RrcosB2b,CI=4RrcosC2c.所以 xAI yBI zCI=4Rrabc(xbcc… 相似文献
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《湖南教育》2006,(9)
13.在□内填数,使得四位数□□25恰有两个数字相同,有几种填法?(木子提供)14.设an表示42n 323n的个位数字,试求a1 a2 a3 … a2006的值.(湖北黄梅县第一中学435500王卫华提供)15.已知a,b,c,d均为正数,且满足abcd=1,若不等式1(1 λa)2 (1 1λb)2 (1 1λc)2 (1 1λd)2≥1恒成立,试求正数λ的取值范围.(安徽省芜湖市城南实验中学241002杨晋提供)16.已知实数a,b满足:a b=1,a2 b2=2.证明:a4 b4-2(a b) (a2 b2)=(a b) (aa5 2 bb5-2)2 (a3 b3).(尹孜提供)17.已知x,y为满足x y=1的正数,求证:xx y3 x3y y≥5(x24 y2)≥35x2 xy3 x3 yy2),.(江西南昌大学… 相似文献
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在排列、组合应用题教学中,有一类问题,使用“隔板法”,常能收到事半功倍之效.例1把10个相同的排球分给4个不同的小组,每个小组至少一个,有多少种不同的分法?分析由于排球是不可辨认的,所以分法的异同主要由分得的排球数决定.(一)若4个小组每组至少1个,则可分为:1,1,1,7;1,1,2,6;1,1,3,5;1,1,4,4;1,2,2,5;1,2,3,4;2,2,2,4;1,3,3,3;2,2,3,3.∴共有44444432223222NA3A3A2=A×+A×+A?A×4+A4=84.(二)把10个排球放成一行:〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇,其中有9个间隔,用3块隔板放入9个间隔中,可把10个排球分成4组,每组至少1个,一共有N=C93=84(种)显… 相似文献
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罗增儒 《中学数学教学参考》2004,(7):24-26
2 .2 形与数解法间的对应上面各图形解法 ,实际上已在叙述中显示了相应的代数含义 ,此处再作一集中的描述 .(1 )图 6所提供的解法 ,最反映题目本质的步骤是不等式③ ,将图形用向量或复数表示出来就是|MD| |DF| |FN|≥ |MD DF FN .证明 2 :作复数z1=a bi,z2 =b ci,z3=c ai,由 |z1| |z2 | |z3|≥ |z1 z2 z3|,得a2 b2 b2 c2 c2 a2≥ (a b c) 2 (b c a) 2=2 (a b c) .把三个复数及其运算表示在复平面上 (如图 8) ,所得到的等腰直角△OFE其实就是图 7中的等腰直角△MRN ,折线OADE就是图 7中折线MDFN ,线段OE就是图 7… 相似文献
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第三届(1961年)国际数学竞赛试题中有一个题目:在△ABC中,a~2 b~2 c~2≥4(3~(1/2))△,等号仅当a=b=c时成立,a,b,c为△ABC的三边.本文将给出一个证明,然后用这个方法推广这个命题.先证明两个引理引理1 △≤1/3(3~(1/2))S~2,等号仅当等边三角形时成立.S表示三角形周长之半.证明1 因为周长一定时,以等边三角形面积为最大,所以周长为2S的三角形中以每边长2S/3的三角形面积为最大. 相似文献
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几道数学竞赛题的简解 总被引：1，自引：0，他引：1
题1设a、b、c为正实数,且a2 b2 c2 abc=4.证明:3abc≤ab bc ac≤abc 2.(第30届美国数学奥林匹克)证明:由4=a2 b2 c2 abc≥abc 3(abc)32,即abc≤1可知ab ac bc≥3(abc)32≥3abc.由题设知,a、b、c中一定有且只有两个数或者都不大于1,或者都不小于1.不妨设这两个数为a、b.则c(a-1) 相似文献
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(九年级,89年4月) 1.在2。。。个钱币中混有两个假币:一个比真币轻,另一个比真币重.利用无祛码的托盘天平,怎样才能最多只称四次就可确定两个假币的合重比两个真币合重轻还是重,或同样重?(满分5点) 2.如果a,b,c为三角形的边长且“+石+e二1,证明不等式a,+b,+c,+4a石e(1/2.(6点) 3.在凸四边形通刀口刀的边通刀及O刀上分别取K及万点.设月万与KD的交点是几万口与刀万的交点是N. (1)如K及万分别是通刀及OD的中点,证明几乙!·<音二B。刀·(2)如通及:万丑二C万:万D=机;。,证明几:‘;(佛,+饥”+矿·凡a。。.(10点) 4.只准用尺寸为1 xl,2只2或3 … 相似文献
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魏际维 《小学生之友(智力探索版)》2004,(Z1)
我们的数学课本上有这样一道思考题:把1,3,5,7,9,11,13填进摇摇摇里的7个空中,使每个圆圈里的四个数的和都相等。仔细观察摇摇摇这个图形,发现a空最关键,因为它是三个圆共有的,所以必须首先填出a空里的数。开始我是顺着下面思路去思考的:因为三个圆的总和为(a+b+c+f)+(a+b+d+e)+(a+c+d+g)=(a+b+c+d+e+f+g)+(b+c+d)+2a=1+3+5+7+9+11+13+b+c+d+2a=49+b+c+d+2a,又因为题目要求每个圆圈里的四个数的和都必须相等,所以49+b+c+d+2a的和一定是3的倍数。在1,3,5,7,9,11,13中挑4个数分别作为a、b、c、d的值,使49+b+c+d+2a的值能被3整除,那这道题就可… 相似文献
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1 .如果存在 1,2 ,… ,n的一个排列a1,a2 ,… ,an,使得k ak(k =1,2 ,… ,n)都是完全平方数 ,则称n为“好数” .问 :在集合 { 11,13,15 ,17,19}中 ,哪些是“好数” ,哪些不是“好数” ?说明理由 .(苏 淳 供题 )2 .设a、b、c为正实数 .求a 3ca 2b c 4ba b 2c- 8ca b 3c的最小值 . (李胜宏 供题 )3.已知钝角△ABC的外接圆半径为 1.证明 :存在一个斜边长为 2 1的等腰直角三角形覆盖△ABC . (冷岗松 供题 )4 .一副三色纸牌 ,共有 32张 ,其中红黄蓝每种颜色的牌各 10张 ,编号分别是 1,2 ,… ,10 ;另有大小王牌各一张 ,编号均为 0 … 相似文献