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刘健先生在文《100个待解决的三角形不等式问题》[1]中提出了一个关于三角形中线的猜想不等式:(问题shc15(g)) 在锐角△ABC中,有 32bcmmabcbc冲+, (1) 其中a、b、c;am、bm、cm分别是△ABC的三内角A、B、C所对边长和所对边上的中线长,为循环和. 杨学枝先生在文[2]中证明了较不等式(1)更强的不等式: 在锐角△ABC中,有 114bcmmabca邋. (2) 本文考虑不等式(1)的逆向,得到 命题 在锐角△ABC中,有 44bcmmRrbcr+澹, (3) 其中R、r是△ABC的外接圆半径、内切圆半径. 证明△ABC的外心为O,点O到△ABC… 相似文献
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V.Ocordon曾给出了三角形的高与边长之间的不等式[1]:∑a2/h2b+h2c≥2 ① (关于△ABC三边及其边上的高的循环不等式,a、b、c为△ABC的三边,ha、hb、hc为对应边上的高,R、r分别为△ABC外接圆半径和内切圆半径) 相似文献
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刘健 《教学月刊(中学下旬版)》2010,(13)
设△ABC的外接圆半径与内切圆半径及半周长分别为R,r,s,则有不等式:
s4-2(2R2+10Rr-r2)s2+r(4R+r)3≤0, (1)
等号当且仅当△ABC为等腰三角形时成立. 相似文献
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著名的Gerretsen不等式是:若s、R、r为△ABC的半周长及外接圆、内切圆半径,则16r-5r~2≤s~2≤4R~2+4Rr+3r~2 (1) 不等式(1)在证明三角不等式时有着广泛的应用。本文先给出s~2≤4R+4Rr+3r的一个加强: 命题1 s~2≤R(4R+r)~2/2(2R-r) (2) 证明 设a、b、c为△ABC三边长,将三角形中恒等式s-a=r/tg(A/2)和a=2RsinA相加,整理得: 相似文献
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关于三角形外接圆半径的几个不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
本文给出几个关于三角形外接圆半径的不等式,这些不等式包含了《数学通报》数学问题解答的1 429题(2003年第5期)与1 531题(2005年第2期).命题1设O为锐角△ABC的外心,△OBC,△OCA,△OAB,△ABC的外接圆半径分别为R1,R2,R3,R,则有不等式R1R2R3≥R3,(1)1R1+1R2+1R3≤3R,(2)1R21+1R22+1R23≥3R2,(3)三式中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.图1证因为O为△ABC的外心,所以∠BOC=2A.于是2R1=BCsin 2A=2R sin Asin 2A=Rcos A.同理2R2=Rcos B,2R3=Rcos C,从而R1R2R3=R38cos A cos B cos C,1R1+1R2+1R3=2R(cos A+cos B+… 相似文献
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本文约定:△ABC的三边长,外接圆半径,内切圆半径,面积以及三边对应的旁切圆半径分别为a、b、c,R、r,D,ar、br、cr,对△''ABC、△111ABC、△222ABC有类似表示. 1967年,RRJanic曾建立如下不等式[1]: 在△ABC中,有 2224bccbababcrrrrrr++? (1) GATsintsifas将(1)推广到两个三角形[2]: 在△ABC及△''ABC中,有 2224''''bccbababcrrrrrrD++矰. (2) 本文将其推广到三个三角形并得出推广结果的逆向不等式. 命题 在△111ABC、△222ABC及△''ABC中,有 121212121224''''bccbabaabbccRRrrrrrrrDD?+.(3) … 相似文献
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两个几何不等式的强弱比较 总被引：1，自引：0，他引：1
设 P是△ABC平面上一动点,关于和式PAPBPC++的下界用△ABC的常见元素表示是一个值得研究的问题.最近我们在文献[1]中建立了: 定理1 设,,abc分别表示△ABC的边长,r为内切圆半径,则对任一点P有 2()bcaPAPBPCrabc++++. (1)由文献[2]中的不等式(13.l)与不等式(13.2),我们可得下述不等式 定理2 设△ABC的半周长,外接圆半径分别为,sR,则对任一点P有 224sPAPBPCRr++?. (2)一个很自然的问题是:不等式(1)与不等式(2)哪一个强呢?经研究我们得到下述结论: 定理3不等式(2)强于不等式(1). 证明 为证不等式(2)强于不… 相似文献
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设 P是△ ABC内部任意一点 ,P至边BC,CA,AB的距离分别为 r1 ,r2 ,r3 ,令 PA= R1 ,PB=R2 ,PC=R3 ,涉及三角形内部任意一点的不等式是一类十分有趣的几何不等式 ,最著名的是 Erdos- Mordell不等式R1 +R2 +R3 ≥ 2 (r1 +r2 +r3 ) . (1)本文将证明关于 (R1 ,R2 ,R3 )及 (r1 ,r2 ,r3 )与△ ABC半周长 s的一个线性不等式 .首先给出一个优美简洁的引理 .引理 设 P是△ ABC内部任意一点 ,则(R1 +R2 +R3 ) 2≥s2 +(r1 +r2 +r3 ) 2 . (2 )当且仅当△ ABC为正三角形且 P为中心时(2 )式取等号 .证明 令 BC=a,CA=b,AB=c,ha 为BC边… 相似文献
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在△ABC中,以下两不等式成立: ctgA/2+ctgB/2+ctgC/2≥3 3~(1/2), (1) ctg~2A/2+ctg~2B/2+ctg~2C/2≥9, (2) 不等式(2)见文[1]2.43,而(2)可看作(1)的推广,那么对于(1)的更一般形式的指数型的推广是什么呢?下述的命题回答了这个问题。命题在△ABC中,a、b、c是其三边,s是其半周长,即s=1/2(a+b+c),r是其内切圆半径,则 相似文献
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1978年,B.M.Milisavljevic建立关于三角形边长a、b、c与外接圆半径R、内切圆半径r的一个几何不等式[1]Rr≥31∑ba+c.(1)Milisavljevic不等式形式优美,且加强了著名的Euler不等式[2]R≥2r,引起了不少人的兴趣.1996年,宋庆先生撰文[2]指出,Milisavljevic不等式强于不等式Rr≥43∑b+ac;(2)该文中,作者建立了一个较(2)式强但与Milisavljevic不等式不分强弱的不等式Rr≥98???∑b+a c???2.(3)本文统一加强上述不等式,并给出一个逆向不等式.定理设a、b、c为△ABC的三边长,s、R、r分别为三角形的半周长、外接圆半径、内切圆半径,则29???∑s?a… 相似文献
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(一) 在△ABC中,有Kooistra不等式: ctgA/2+ctgB/2+ctgC/2≥3 3~(1/2)。 (1)等号成立当且仅当△ABC为正三角形。 1992年,马统一把这个不等式加强为 ctgA/2+ctgB/2+ctgC/2≥(4R/r+19)~(1/2)。 (2)其中R,r分别是△ABC外接圆与内切圆的半径。在(2)的形式的启发下,周才凯与宋庆分别进一步证明了更强的结果: ctgA/2+ctgB/2+ctgC/2≥(12R/r+3)~(1/2)。 (3) 相似文献
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笔者在中国不等式研究小组网站(http://zgbdsyjxz.nease.net/bdbbdb/bdb.htm)上看到一个很有趣的关于三角形中线的一个不等式问题(猜想).今解答如下:命题设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则当△ABC为任意三角形时,必有一条中线不大于R+r;当△ABC为非钝角三角形时,必有一条中线不小于R+r.为以下证明方便,记△ABC三边长为AB=c,BC=a,CA=b,其对应中线分别为mc,ma,mb,不妨设a≤b≤c,则有ma≥mb≥mc(易证从略),于是命题变为去证明:i)当△ABC为任意三角形时,有mc≤R+r;(1)ii)当△ABC为非钝角三角形时,有ma≥R+r.(2)令对以上(1)、… 相似文献
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关联三角形半径的一个不等式链 总被引：1，自引：0，他引：1
由荷兰几何不等式专家O.Bottema与著名的南斯拉夫不等式小组合作的久享盛誉的专著《几何不等式》一书中载有R.R.Janic建立的一个有趣不等式:设△ABC的三边长为a,b,c,对应的旁切圆半径为r_a,r_b,r_c,则a~2/r_br_c b~2/r_cr_a c~2/r_ar_b≥4 (1)当且仅当△ABC为正三角形时,(1)式取等号。 相似文献
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176 5年 ,著名数学家 Euler建立了关于三角形外接圆半径 R与内切圆半径 r的一个重要不等式 [1 ]R≥ 2 r. ( 1 )文 [2 ]给出上述不等式一个十分漂亮的加强形式R≥ 2 r+ 18R[( a- b) 2 + ( b- c) 2 + ( c- a) 2 ],( 2 )其中 a,b,c为三角形的三边长 .本文进一步加强 Euler不等式并给出其逆向形式 .定理 a,b,c,R,r分别为△ ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径 ,则11 6 R( | a- b| + | b- c| + | c- a| ) 2 + 2 r≤ R≤ 2 r+ 11 6 r( | a- b| + | b- c| + | c- a| ) 2 .( 3)证明 ( 3)式中左边不等式等价于R- 2 r- 11 6 R( | a- b| + … 相似文献
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例 1 设 O为△ ABC的外心并且△ BOC、△ COA、△ AOB和锐角△ ABC它们的外接圆半径分别为 R1 、R2 、R3 和 R,2 0 0 3年郭要红先生建立了不等式 :[1 ]R1 +R2 +R3 ≥ 3 R 1笔者在证明 1的过程中发现 1式还可加强为 :1R1+1R2+1R3≤ 3R 2由 Wolseenholme不等式 ,其证明过程如下 .有定理 1,设 x,y,z为正实数 ,在锐角△ ABC中有 xR1+yR2+zR3≤ 1R( yzx +zxy +xyz) 3证明 3式需要如下引理 1.引理 1[2 ] ( Wolseenholme不等式 )设 A、B、C为△ ABC的内角 ,x,y,z为实数 ,则x2 +y2 +z2≥ 2 yzcos A +2 zxcos B +2 xycos C 4当… 相似文献
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Weitzenberk不等式:在△ABC中,设BC＝a,CA＝b,AB＝c,△表示△ABC的面积.则 a2+b2+c2≥43△. (1) 不等式(1)有许多种加强,本文将给出不等式(1)的一种半对称形式加强. 相似文献