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1.
<正>设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1(反序和)≤a1c1+a2c2+…+ancn(乱序和)≤a1b1+a2b2+…+anbn(顺序和),当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和. 相似文献
2.
一个不等式的推广 总被引：3，自引：0，他引：3
文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n … 相似文献
3.
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 相似文献
4.
柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)(当且仅当b1/a1=b2/a2=b3/a3=…=bn/an时,等号成立)是一个重要的不等式,其结构和谐、形式优美、应用广泛,是高考考查的热点.本文举例说明柯西不等式在求值、求最值、证明不等式及求参数的范围等方面的应用. 相似文献
5.
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列, 相似文献
6.
丁兴春 《数理天地(高中版)》2004,(11)
设ak,bk,ck(1≤k≤n)均为正数,则有当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn,b1/c1=b2/c2=…=bn/cn,时等号成立.证明记 相似文献
7.
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，Cn是b1，b2，…，bn的任一排列， 相似文献
8.
在历年的全国高中数学联赛中 ,考查不等式的问题已屡见不鲜 ,尤其是利用构造不等式解决与最值有关的问题一直是近几年的考查热点 .笔者在多年的竞赛辅导中发现 ,全国高中数学联赛中的不等式问题有以下几种常见类型 .1 基本不等式法例 1 设 n为正自然数 ,a,b为正实数 ,且满足 a+ b=2 ,则 11+ an+ 11+ bn的最小值是 .(1990年全国高中数学联赛题 )解 ∵ a,b>0 ,∴ ab≤ (a+ b2 ) 2 =1,anbn≤ 1.故11+ an+ 11+ bn=1+ an+ bn+ 11+ an+ bn+ anbn≥ 1,当 a=b=1时上式等号成立 ,故最小值是 1.例 2 设 a=lgz+ lg[x(yz) -1+ 1],b=lgx-1+lg(xyz+ 1)… 相似文献
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陈宇 《中学数学研究(江西师大)》2013,(2):26-28
周先育老师在文[1]提出猜想:
设a,b,c,d＞0,且满足a+b+c+d=1,则an/1+an+bn/1+bn+cn/1+cn+dn/1+dn＜1/1+anbncndn,n∈N+(1)
王利华老师通过文[2]给出不等式(1)的最佳加强. 相似文献
10.
黄道军 《中学数学研究(江西师大)》2003,(11):15-16
在文[1]中,先利用求多元函数的最值的方法,证明了结论"设a1、b1、c1、a2、b2、c2≥0且a1+b2=b1+c2=c1+a2=1,则a1a2+b1b2+c1c2≤1",接着又构造正三角形证明了该结论,并从这个角度将该结论推广到了"结论1设ai、bi≥0(i=1、2、…、n,n≥4)且a1+b1=a2+b2=…=an+bn=1,则 相似文献
11.
设两个实数数列{an}、{bn}: (1) 若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn, 则(1)/(n)∑ni=1aibi≥((1)/(n)∑ni=1ai)((1)/(n)∑ni=1bi); 相似文献
12.
柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.柯西不等式具有对称和谐的结构特征,应用关键在于构造两组数ai,bi(i=1,2,…,n),进行合理的变形,找准解 相似文献
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14.
1问题呈现设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.2问题的证明与推广证明:由已知条件结合均值不等式可得√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b=√ab/3+a+√bc/3+b+√ca/3+c≤√ab/44√ a+√bc/44√ b+√ca/44√c=8√a3b4/2+8√b3c4/2+8√c3a4/2≤1+3a+4b/16+1+3b+4c/16+1+3c+4a/16=3+7 (a+b+c)/16=3+7×3/16=3/2,当且仅当a=b=c=1时取等号,则√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2. 相似文献
15.
李少杰 《濮阳职业技术学院学报》2004,17(3):63-64
定理:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是任意实数,则有:等号当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时成立。证明:(可用判别式,求差——配方法、比值法、数学归纳法、及利用不等式xy≤x2 y2/2等方法证明)。应用柯西不等式证题的关键是要善于构造两组数: 相似文献
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文[1]介绍了关于三角形边角关系的两个结论.实际上,在三角形中还有命题1设a,b,c为△ABC的三边长,当an,bn,cn(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且an,bn,cn(n∈N*)成等比数列.所以b2n=ancn,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.命题2设a,b,c为△ABC的三边长,当a1n,b1n,c1n(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且a1n,b1n,c1n成等比数列,所以(b1n)2=a1n·c1n.即b12=a1c,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.由命题1和命题2得定理设a,b,c为… 相似文献
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正在应用放缩法证明不等式时,有以下一个典型例子[1]:设0≤a,b,c≤1,则a/(1+b+c)+b/(1+c+a)+c/(1+a+b)+(1-a)(1-b)(1-c)≤1(1)当且仅当a,b,c中有两个为零,另一个为[0,1]中的任意数,或者当a,b,c不全为零且不为零的数都等于 相似文献
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19.
韦兴洲 《中学生数理化(高中版)》2013,(6)
本文讨论了n个正整数的和与积相等的一个必要条件,并证明了两个与素数、合数有关的结论.
结论1:若n(n≥2)个正整数a1,a2,…,an满足条件n∑i=1ai=n∏i=1ai,则ai≤n(i=1,2,…,n).
证明:(1)当n=2时,a1·a2-(a1+a2)=(a1-1)·(a2-1)-1≥0,当且仅当a1=a2=2时等号成立,故a1·a2=(a1+a2)时a1≤2,a2≤2,符合结论1.
(2)当n≥3时,设a1≤a2≤…≤an.令a1=a2=…=an-2=1,an-1=2,an=n,则n∑i=1ai=n∏i=1ai=2n.此时ai≤n(i=1,2,…,n).
又设存在n(n≥2)个正整数b1,b2,…,bn满足条件1≤b1≤b2≤…≤bn-1≤bn,bn＞n,且n∑i=1bi=n∏i=1bi.不妨令bi=1+ti(i=1,2,…,n-1,ti∈N),bn=n+tn(n∈N+). 相似文献
20.
正Pham Kim Hung不等式:设a,b,c≥0,a+b+c=2,证明:a~2b~2+b~2c2+c~2a~2+abc≤1①.当且仅当a=b=1,c=0及其循环排列时等号成立.这是Pham Kim Hung在《不等式的秘密》(第一卷)中提到并证明的一个有趣的不等式,文[2]将该不等式加强为 相似文献