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1 椭心角的概念
如图1,设A（acosθ1,bsinθ）,B（acosθ2,bsinθ2）（0≤θ1,θ2≤2π）为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上不同的两点,角α称为椭圆上的弧AB所对椭心角．若θ2-θ1〉0,则α=θ2-θ1;若θ2-θ1〈0,则α=2π-（θ2-θ1）． 相似文献
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我们把椭圆x2/a2+y2/b2=1的参数方程｛x=acosθ y=bsinθ意一点P(acosθ,bsinθ)的离心角.本文介绍与椭圆的离心角相关的两个有趣性质供读者参考.
性质1 椭圆(或圆)x2/a2+y2/b2=1(a＞0,b＞0)的两条相交弦AB,CD的四个端点共圆的充要条件是这四个端点的离心角之和为周角的整数倍. 相似文献
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椭圆是一个完美的几何图形 ,笔者在最近的教学研究中 ,得到了三个与之有关的有趣的轨迹 ,现整理如下 ,供同行人士参考 . 图 1定理 1 (焦点三角形重心轨迹 )设A是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a>b >0 )上一点 ,F1(-c ,0 )、F2 (c ,0 )分别是左、右焦点 ,则△AF1F2 的重心轨迹是椭圆 x2(a/ 3) 2 + y2(b/ 3) 2=1,其离心率与原椭圆离心率相等 .证明 设点G(x ,y)是△AF1F2 重心 ,如图 1.因为点A在椭圆上 ,则A(acosθ ,bsinθ) .由三角形重心坐标公式x=-c+c+acosθ3=acosθ3,y =0 + 0 +bsinθ3=bsinθ3,消去θ整理得 x2(a/ 3) … 相似文献
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一、旋转式椭圆规的数学原理我们从椭圆轨迹上的点P(x,y)到椭圆中心的距离谈起: 设椭圆轨迹上一动点P(x,y)的轨迹方程为 x=acosθ, y=bsinθ,则动点P(x,y)到椭圆中心O(0,0)的距离d满足 d~2=(acosθ)~2 (bsinθ)~2.因a~2cos~2θ b~2sin~2θ=(a~2-b~2)cos~2θ b~2 相似文献
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在平面解析几何中,有关圆锥曲线方程的一些应用题,解法是比较复杂的,为了避开繁琐的运算,可应用参数方程解题,把代数运算转化为三角运算。例1.设TT′是椭圆的任一切线介于长轴两端切线AT、A′T′间的线段,则以TT′为直径的圆必过焦点F、F′。证:设椭圆在直角坐标系中的参数方程为x=acosθ y=bsinθ,过椭圆上任一点(acosθ,bsinθ)的切线方程为xcosθ/a+ysinθ/b=1; 因为长轴两端的切线方程为x~2-a~2=0 相似文献
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1999年全国高考数学(理科)第(20)题:设复数 z=3cosθ i·2sinθ.求函数 y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.本文将揭示其几何背景,并给出新解法.将问题一般化:设复数 z=acosθ i·bsinθ,a>b>0,θ∈(0,π/2).求函数 y=θ-argz 的最大值及对应θ的值.设复数 z 在复平面上对应点 M(x,y), 相似文献
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本文介绍椭圆和双曲线切线的一个有趣性质 ,并说明其应用 .定理 经过椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )或双曲线 b2 x2 - a2 y2 =a2 b2 (a>0 ,b>0 )的长轴或实轴两端点 A1 和 A2 的切线 ,与椭圆或双曲线上任一点的切线相交于 P1 和P2 ,则 |P1 A1 |· |P2 A2 |=b2 .证明 椭圆上任一点 P(acosθ,bsinθ)处的切线方程为 b2 ·acosθ· x a2 · bsinθ·y=a2 b2 即bcosθ·x asinθ·y- ab=0 .1又知点 A1 (- a,0 )和 A2 (a,0 )处的切线方程分别为 x=- a和 x=a,将它们分别与1联立解得 |P1 A1 |=|y P1|=b|1 cosθsinθ |,|P2 A2 |=|y P… 相似文献
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在数学教学中,如能应用参数解极值问题,有时是比较方便的。下面我们举几个例子。 例1 求椭圆内接矩形面积的最大值。 解 设椭圆参数方程为:x=acosθ或y=asinθ θ为参数。由对称性,它的内接矩形面积为:S=4|acosθ·bsinθ|=2ab 。|sin2θ|≤2ab, ∴椭圆内接矩形面积的最大值为2ab。 相似文献
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新教材利用向量数量积 ,分别用不同方法推导出正弦定理和余弦定理 ,其技巧不易想到 .我们尝试用向量的坐标表示及其运算 ,引导学生推导 ,结果事半功倍 ,“一箭三雕”.图 1如图 1,在△ABC中 ,|AB|=c,|BC |=a,|AC|=b,则 AB=(c,0 ) ,BC=(acos(π- B) ,asin(π-B) ) =(- acos B,asin B) ,AC=(bcos A,bsin A) .∵ AC=AB+BC,∴ (bcos A,bsin A)=(c,0 ) +(- acos B,asin B)=(c- acos B,asin B) .∴ bcos A=c- acos B,bsin A=asin B,(bcos A) 2 +(bsin A) 2 =(c- acos B) 2 +(asin B) 2 ,∴ acos B+bcos A=c(射影定理 ) ,asin A=b… 相似文献
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判断直线与曲线的关系问题
例1 点P（x0,y0）在椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上,x0=acosβ,y0=bsinβ,0〈β〈π/2,直线l2与直线l1：x0/a^2＋y0/b^2=1垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为γ． 相似文献
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椭圆两弦端点处切线的两个有趣性质 总被引：1，自引：0，他引：1
文[1]给出了椭圆焦点弦的一个优美结论,受其启发并结合文[2],笔者将两焦点替换为两对称点进行探究,发现椭圆两条弦端点处的切线存在着如下两个十分有趣的性质.图1定理1如图1,设P是椭圆x2a2 y2b2=1上任一点,弦P P1,P P2(或其延长线)分别过点M1(-m,0),M2(m,0)(m≠a),P1,P2处的切线交于点P,′则xP xP′=0.证明设P(acos,θbsinθ),P1(a·cos1φ,bsin1φ),P2(acos2φ,bsin2φ),则点P1,P2处的切线分别为bcos1φ·x asin1φ·y=ab,bcos2φ·x asin2φ·y=ab.两切线的交点P′的横坐标xP′=a(sin2φ-sin1φ)sin(2φ-1φ)=acos2φ 1φ2cos2φ-… 相似文献
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李新荣 《数理天地(高中版)》2003,(5)
题设E:x2/a2 y2/b2=1(a>b>0),A(a,0),B(0,6).又P(x0,y0)∈E(x0>0,y0>0),求四边形OAPB的面积S的最大值.解法1 设P(acosθ,bsinθ)∈E,则 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(5)
有这样一个命题:椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)短轴为 AB,M 为椭圆上非 A、B 的点,MA、MB 与 x 轴交于点 E、F,则 OE·OF=a~2.此命题看似平凡,却"来头"不小,值得研究.推广1:把短轴 AB,长轴 CD 换成一般的共轭直径,得到如下性质:定理1 AB、CD 是椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的共轭直径,M 为椭圆上非 A、B 的点,直线 MA、MB 分别交 CD 所在直线于点 E、F,则 E、F 在点 O 的同侧,且 OE·OF=OD~2(图1).证明:设 A(acos α,bsin α),则 B(-acos α,-bsin α),M(acos β,bsin β).由 AB、CD 共轭,知 k_(AB)·k_(CD)=-(b~2/a~2),又 k_(AB)=bsin α/acos α, 相似文献
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陶健钧 《数学大世界(高中辅导)》2006,(10)
借助空间向量,很容易推导出二面角有以下两个计算公式.(1)如图1,AB、AC、AD是空间自A引出的三条射线,所成角分别为θ1,θ2和θ,可求得二面角B-AC-D的大小(用θ1,θ2和θ的三角函数表示)解:作BC⊥AC于C,DE⊥AC于E,图1则BC和DE夹角度数即为二面角B-AC-D度数.设AB=a,AD=b.BC=BA AC,DE=DA AE,∴BC·DE=(BA AC)·(DA AE).asinθ1bsinθ2cos(BC·DE)=abcosθ abcosθ2cos(π-θ1) acosθ1bcos(π-θ2) acosθ1bcosθ2=abcosθ-abcosθ2cosθ1-acosθ1bcosθ2 acosθ1bcosθ2∴cos(BC,DE)=cosθsi-ncθo1ssiθn1θc2osθ… 相似文献
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与由椭圆的最基本因素a、b、c所衍化出的c/a、b~2/c、a~2/c等主要参数相比，椭圆的另一个参数c~2/a独具意义，应用别致，为我们解决有关椭圆的问题提供了一个新的视角．一些看上去复杂抽象，计算冗长的问题，运用它后，解答过程将显得直观简捷，清晰明了．问题1已知P是椭圆0）上动点，M(m，0）是椭圆长轴上的定点，其中m≤a，求P、M两点间最短距离．设动点Ｐ的坐标是（acosθ，bsinθ），由两点间距离公式可得：从上面的解答可以看出时，与定点M（m，0）距离最短的点是椭圆的长轴的端点．也就是，圆心是M（m，0）的内含于椭圆的最大圆与… 相似文献
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2010年上海秋季高考数学试卷的最后一题如下：已知椭圆Γ的方程为（x~2）/（a~2）＋（y~2）/（b~2）=1（a〉b〉0）,点P的坐标为（-a,b）.（1）若直角坐标平面上的点M、A（0,-b）、B（a,0）满足（？）=（？）,求点M的坐标;（2）设直线l_1：y=k_1x＋p交椭圆Γ于C、D两点,交直线l_2：y=k_2x于点E.若k_1·k_2=-（b~2）/（a~2）,证明：E为CD的中点;（3）对于椭圆Γ上的点Q（acosθ,bsinθ）（0〈θ〈丌）,如果椭圆Γ上存在不同的两点P_1、P_2使得（？）,写出求作点P_1、P_2的步骤,并求出使P_1、P_2存在的θ的取值范围. 相似文献
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赵大坤 《新乡师范高等专科学校学报》1994,(2)
<正>在多年的数学教学实践中,为了激发学生的积极性,引导学生探讨一些习题的不同解法,这对培养学生的能力,开发学生的智力都起着十分重要的作用.例如 对弧长的曲线积分:(?)l (x~2+y~2)~(1/2)ds其中l为园周x~2+y~2=ax解法如下:法一 令 x=rcosθ y=rsinθ则园周x~2+y~2=ax可变为r=acosθ且-(π/2)≤θ≤(π/2),如图一∵ds=(r~2+r~(12)~(1/2)dθ=adθ 且(x~2+y~2)~(1/2)=r=acosθ∴(?)l(x~2+y~2)~(1/2)ds法二取θ为参数,如图二∵OA=acosθ -π/2≤θ≤π/2 相似文献