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1.
同学们在学习分式的时候,经常会遇到有关多元的求值问题,解答时,可以利用消元的方法,化难为易.一、取值消元法例1已知abc=1,那么aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1=.解:不失一般性,取a=1,b=1,c=1,则原式=13+13+13=1. 二、主元消元法例2已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,则5x2+2y2-z22x2-3y2-10z2等于(A)-12 (B)-192 (C)-15(D)-13 解:以x、y为主元,那么4x-3y=6z,x+2y=7z .∴x=3z,y=2z.∴原式=5×9z2+2×4z2-z22×9z2-3×4z2-10z2=-13.选D. 三、比值消元法例3已知x2=y3=z4,则x2-2y2+3z2xy+2yz+3zx的值是.解:设x2=y3=z4=k,得x=2k,y=3k,z=4k… 相似文献
2.
1999年加拿大数学奥林匹克竞赛有这样一道题目 :令 x,y,z是满足 x y z=1的非负实数 .证明 :x2 y y2 z z2 x≤ 42 7,并求不等式成立的条件 .简证 由于不等式是关于 x,y,z轮换对称的 ,故可设 x≥y≥z,从而 x2 y y2 z z2 x≤ x2 y 2 xyz=xy(x 2 z) =12 x· 2 y· (x 2 z)≤ 12 (x 2 y x 2 z3 ) 3=12 [2 (x y z)3 ]3=12 × (23) 3 =42 7.等号在 x=2 y=x 2 z时成立 ,即 x=23,y=13,z=0时成立 .若条件不变则结论可推广为 :xnym ynzm znxm≤ nn· mm(n m) n m(n>m,n,m∈ N) .证明 推广后的不等式仍是关于 x,y,z的轮换对称… 相似文献
3.
恰当地应用好向量和导数,许多最值问题便迎刃而解,并且利用向量和导数来求最值,容易被学生接受.为了便于比较.一、用|a||b|≥a.b求最值例1已知x,y,z∈R ,且x y z=1,求x1 4y z9的最小值.解:令a=(1x,2y,3z),b=(x,y,z),则|a|2=1x 4y 9z,|b|2=1,(a.b)2=(1 2 3)2=36.由|a|2|b|2≥(a.b)2得,1x 4y 9z≥36,当且仅当1x=2y=3z时等号成立,即x=16,y=31,z=21.∴1x 4y 9z的最小值为36.例2已知ai,bi∈R ,且∑ni=1ai=∑ni=1bi=1,求a1a 12b1 a2a 22b2 … ana 2nbn的最小值.解析:令p=(a1a1 b1,aa2 2b2,…,anan bn,q=(a1 b1,a2 b2,…,an bn),则|p|2=a1a 21b1 a… 相似文献
4.
姜书念 《中学数学教学参考》2004,(12):55-56
一、选择题1 .x表示一个两位数 ,y表示一个三位数 ,若把x放到y的左边组成一个五位数 ,那么这个五位数可表示为 ( ) .A .x y B .1 0x yC .1 0 0x y D .1 0 0 0x y2 .若一个两位数x5与一个三位数 3 yz的乘积等于785 0 ,则数字x、y、z分别是 ( ) .A .x =2 ,y =1 ,z =2 B .x =2 ,y =1 ,z =4C .x =3 ,y =1 ,z=2 D .x =4,y =1 ,z=23 .一个两位数中间插入一个一位数 (包括 0 )就变成一个三位数 ,例如 72中间插入 6后成了 762 .有些两位数中间插入某个一位数后所成的三位数恰好是原来两位数的 9倍 ,这样的两位数… 相似文献
5.
第一试一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1 .两位数x5与三位数 3yz之积等于 7850 ,则数字x、y、z分别为 ( ) .(A)x =2 ,y =1 ,z=2 (B)x =3 ,y =1 ,z=2(C)x =2 ,y =1 ,z=4 (D)x =4 ,y =1 ,z=22 .如果方程 (x -a) (x -b) =M的两根为α、β ,那么 ,方程 (x -α) (x - β) =-M的两根平方和为( ) .(A)a2 +b (B)a +b2(C)a2 +b +b2 (D)a2 +b2图 13 .如图 1 ,EF∥BC ,S 相似文献
6.
《时代数学学习》2005,(4)
初二第1试参考解答图1图21.A.2.A.由已知条件可画出如图1,则2(α+β)=360?70?所以α+β=145?即∠ADC=145?3.B.因为AB=BC,BM=CN,∠ABM=∠BCN=60?所以△ABM≌△BCN.所以∠BAM=∠CBN.又∠APN=∠BAP+∠ABP=∠CBN+∠ABP=60?也可将M,N取特殊位置,分别取BC和AC的中点,则易得∠APN=60?不需证两三角形全等.4.C.设每个球的质量为x,每个方块的质量为y,每个三角块的质量为z.则根据原题中图2(1)、图2(2)可得方程组5x+2y=x+3z,3x+3y=2y+2z.化简后,得4x+2y=3z,3x+y=2z.消去z,得y=x,消去y,得z=2x.第三个天平左端的质量是x+2y+z=x+2x+… 相似文献
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题目（2013年高考湖北卷·理13）设x,Y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=√14,则x+y+z=——.解法1（柯西不等式）因为x2+y2+z2=1,x+2y+3z=141/2,所以利用柯西不等式得（12+22十32）·（X2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2,即14≥14,说明不等式等号条件成立,故1/x=2/y=3/z.令1/x:2/y:3/z:1/k,则x=k,Y=2k,z=3k,将其代入x+2y+3z=141/2,得k=14{1/2),即x+y+z=6k=141/3. 相似文献
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徐培月 《中学数学教学参考》1994,(3)
初三复习中,有些题目难度虽不大,但由于考虑不周密,解答中却常出现错误,现举例如下: 例1 已知(x y):z=(y z):x=(x z):y=k,求k的值. 误解:k=(x y):z=(y z):x=(x z):y=2(x y z):(x y z)=2。 解题过程似乎无懈可击,但此题实有两解,漏解原因在于解题中应用等比定理,把x y z当作不等于0的式子,而忽略了x y z=0的情况。 当x y z=0时。x y=-z;y z=-x;x z=-y;所以k=-1。 所以,本题有两解k=2或-1。 相似文献
9.
黄细把 《山西教育(综合版)》2002,(20):41-41
换元是初中代数学习中非常重要的一种解题方法 ,它指的是在解题过程中有意识地把一个代数式看成一个整体 ,用字母表示。灵活地应用这种方法 ,可使解题简易、迅捷。一、分解因式例 1.分解因式 (x2 - x) 2 - 8x2 + 8x+ 12。解 :设 x2 - x=z,那么原式 =(x2 - x) 2 - 8(x2 - x) + 12=z2 - 8z+ 12 =(z- 2 ) (z- 6 )=(x2 - x- 2 ) (x2 - x- 6 )=(x- 2 ) (x+ 1) (x- 3) (x+ 2 )。二、化简二次根式例 2 .化简 x z - z xx z + z x-z x + x zz x - x z。解 :设 x =a,z =b,那么 x=a2 ,z=b2 。原式 =a2 b- ab2a2 b+ ab2 - ab2 + a2 bab2 - a2 b=a- ba+ b… 相似文献
10.
一个不等式的初等证明 总被引：1，自引：0，他引：1
文 [1]给出并用微分法证明了如下不等式 :已知 x,y,z∈ (0 ,+∞ ) ,且 x+ y+ z=1,则(1x- x) (1y- y) (1z- z)≥ (83 ) 3 . (1)受此启发 ,笔者经探索得出如下一个初等证明 .证明 由基本不等式易得xyz+ yzx≥ 2 y,yzx+ zxy≥ 2 z,zxy+ xyz≥2 x.将上述三个不等式相加得xyz+ yzx+ zxy≥ x+ y+ z=1. (2 )又由 1=x+ y+ z≥ 3 3 xyz,得 xyz≤12 7.∴ (1x- x) (1y- y) (1z- z) =1xyz· (1- x2 ) (1- y2 ) (1- z2 ) =1xyz[(1+ x) (1+ y)(1+ z) ][(1- x) (1- y) (1- z) ]=1xyz(2 +xy+ yz+ zx+ xyz) (xy+ yz+ zx- xyz) =2(1x+ 1y+ 1z) - 2 + (xy+ yz+… 相似文献
11.
获得了丢番图方程x3+y3=2z2的通解公式,证明了方程x3+y3=2z4仅有适合(x,y)=1的整数解x=y=z=1对广义Fermat猜想的研究具有重要作用. 相似文献
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陈桂宏 《数理天地(初中版)》2002,(4)
分子为1,分母是大于1的自然数的分数叫做单位分数.如1/6、1/12、1/13.单位分数有一个性质:若x、y、z都为自然数,且1/x+1/y=1/z,则k1·k2=z2(其中k1=x-z,k2=y-z).证明因为x-z=k1,y-z=k2,所以x=k1+z,y=k2+z, 相似文献
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安振平先生在《中学数学月刊》2 0 0 3年第 7期《一个三角形中的不等式》一文中给出了不等式 :命题 1 在△ ABC中 ,三边长 a,b,c,则a - b ca b- c ab c - a bc ≤ 3. ( 1 )现在给出 ( 1 )左式的下界 :命题 2 在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,则 a - b ca b- c ab c - a bc >2 . ( 2 )证明 设2 x =a - b c,2 y =b- c a,2 z =c- a b则a =x y,b =y z,c=z x,且 x,y,z >0 .∴ a - b ca b - c ab c - a bc=2 xx y 2 yy z 2 zz x= 2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y z yy z x zz x y) =2 .这个… 相似文献
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2005年湖南省数学竞赛压轴题为:若正数a,b,c满足b+a c=a+b c-ca+b,求证:a+b c≥174-1.这是从等式开始的解证多元分式不等式的问题,较新颖.考生的得分率很低,而且标准答案也不易,因而值得探讨其典型解证方法.证法1(标准答案)由条件有a+b c=ca+b+b+a c,令a+b=x,b+c=y,c+a=z,则a=x+z2-y,b=x+y2-z,c=z+y-x2,从而原式变为x+2yz-z=y+z-x2x=x+2 zy-y,即x+z y=y+x z+z+y x-1≥xz+zy+1≥x 4+z y+1.令x+z y=t,则t≥4t+1,可得t≥1+2 17或t≤1-2 17(不合要求,舍去),故a+b c=x+2 yz-z=2t-21≥17-14.证法2由条件有a+b c=b+a c+ca+b=ab+a2 ac+bc+c2 ac≥(a+… 相似文献
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在许多复数问题中会出现有关 z,z,1z的式子 ,利用这几个复数相对应的点的位置关系解题 ,别有趣味 .设 z=r(cosα isinα) (r>0 ) ,则z=r[cos(-α) isin(-α) ],1z=1r[cos(-α) isin(-α) ].它们的对应点如图 1例 1 已知 z 1z=cos x(x∈R) ,且 | z|≤ 1 ,求 argz的取值范围 .解 先设 | z| <1 ,如图 2 ,此时 z 1z所对应的向量不在 x轴上 ,所以 z 1z ≠cos x,故 | z| <1不可能 ,于是 | z| =1 .令 z=cosθ isinθ(0≤θ<2 π) ,则由z 1z=z z=2 cosθ=cos x,即 cosθ=12 cos x∈ [- 12 ,12 ],所以 θ∈ [- π3 ,π2 ]∪ [4π3… 相似文献
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1引文《美国数学月刊》2004年1月问题11057[1]为:设x、y、z为正实数,矩形ABCD内部有一点P,满足PA=x,PB=y,PC=z,求矩形面积的最大值.文[2]用微分法给出了问题的一个解答,得到矩形面积的最大值为xz y x2 z2-y2.文[3]分别用柯西不等式和托勒密不等式给出了该问题的初等解法.本文将P点的位置由原问题中的矩形内部弱化为矩形所在平面上一点,得到如下主要结论.定理设x、y、z为正实数,矩形ABCD所在平面上有一点P,满足PA=x,PB=y,PC=z,则矩形面积的最大值为xz y x2 z2-y2当x=min{x,y,z};或z=min{x,y,z}时,矩形面积的最小值等于y·x2 z2-y2-… 相似文献
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一个不等式的正确证明 总被引：1，自引：0，他引：1
贺斌 《中学数学教学参考》2004,(5)
一个不等式 若x ,y ,z≥0 ,xy yz zx =1 ,则1y z 1z x 1x y≥52 ( =|x ,y ,z中一个为0 ,两个为1 ) . ( )据所知,( )式首出文[1 ],然后又见于文[2 ]、文[3 ],但其证明都隐含实质性缩小变量取值范围的错误.下面重予证明.证明:不妨设x≥y≥z≥0 ,由条件知x≥y >0 ,0≤yz≤13 ,x =1 -yzy z ,于是( )式 2 [(x y) (z x) (x y) ( y z) ( y z) (z x) ]≥5 (x y) ( y z) (z x) 2 [(x2 y2 z2 ) 3 (xy yz zx) ] ≥5 [(x y z) (xy yz zx) -xyz] 2 [(x y z) 2 1 ]≥5 [(x y z) -xyz] 2 (x y z) 2 -5 (x y z) 2 5x… 相似文献
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“求证 :| x + 1/x|≥ 2 ( x≠ 0 ) .”(人教社高中《代数》(下册 )第 3 0页第 1 1题 )这是训练基本不等式的一个典型题目 ,但是许多学生将其错误地理解成“只要 x≠ 0 ,就能保证 | x + 1/x|≥ 2 .”文 [1 ]举出的反例说明 ,当 x是虚数时 ,可能 | x + 1x| <2 .本文在复数范围内给出 | x + 1/x| >2 (或| x + 1x| =2 ,或 | x + 1/x| <2 )这类关系成立的一个充要条件 .定理 1 :设 z∈ C\{0 } ,m∈ R+,则| z + m2z| <2 m | z + mi| >2 m| z -mi| <2 m 或 | z + mi| <2 m| z -mi| >2 m ( 1 )| z + m2z| =2 m | z + mi| =2 m … 相似文献