等比数列的性质     

王小平 《成都教育学院学报》2002,16(8):65-65,44

性质1 如果a,b,c三个数成等比数列,则a~2b~2c~2(1/a~3 1/b~3 1/c~3)=a~3 b~3 c~3证明: ∵a,b,c成等比数列 ∴b/a=c/b 左端=a~2b~2c~2(1/a~3 1/b~3 1/c~3) =b~2c~21/a a~2c~21/b a~2b~21/c =a~3 b~3 c~3=右端性质2 如果a,b,c,d四个数成等比数列,则  相似文献   

关于a+b+c=0的一组优美结论     

武增明 《中学数学教学参考》2006,(15)

a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3  相似文献   

等与不等的转化     

《中学生数理化(高中版)》2010,(4)

1.已知a、b、c为正整数,且a~2+b~2+c~2+48<4a+6b+12c,求(1/a+1/b+1/c)~(abc)的值.解:由a、b、c为正整数,得a~2+b~2+c~2+48和4a+6b+12c均为正整数,则不等式a~2+b~2+c~2+48<4a+6b+12c与不等式a~2+b~2+c~2+48+1≤4a+6b+12c等价.  相似文献   

一组猜想不等式的统一证明     

沈兵  陈罗英 《中学数学研究(江西师大)》2015,(2):20-21

宋庆老师在文[1]末提出4个猜想.其中猜想4为:已知a,b,c是正数,求证a~2/(a~2+(b+c)~2)+b~2/b~2+(c+a)~2+c~2/c~2+(a+b)~2≥3/5(1);(a~3)/(a~3+(b+c)~3)+(b~3)/(b~3+(c+a)~3)+(c~3)/(c~3+(a+b)~3)≥1/3(2);(a~4)/(a~4+(b+c)~4)+(b~4)/(b~4+(c+a)~4)+(c~4)/(c~4+(a+b)~4)≥3/(17)(3).  相似文献   

由一道数学问题所引起的联想     

汪祖亨 《中学数学教学》1985,(3)

本刊1983年第3期“数学问题”栏里有这样一道题:“方程x~3+y~3-3xy+1=0,的图形是什么?作出此图形。”仔细思考,耐人寻味。如果稍作些考察、对比、联想,我们可以发现问题中方程等号左边式子的形式特征酷似我们在初中曾经接触过的问题:“因式分解a~3+b~3+c~3-3abc”。 a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca) ……(A)=1/2(a+b+c)[(a-b)~2+(b-c)~2  相似文献   

一道竞赛题的改进与巧证     

宋庆 《中学教研》1993,(4)

第十三届(1953牛)普特南数学竞赛有这样一道试题: 设实数a,b,c中任意两个之和大于第三个,求证 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) >a~3+b~3+c~3+abc. (1) 事实上,我们有命题设实数a,b,c中任意两个之和大于第二个,则 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) ≥a~3+b~3+c~3+3abc. (2)当且仅当a=b=c时等号成立. 证明:不难验证,(2)式等价于 (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)  相似文献   

一个公式的巧用     

张山 《数学教学通讯》1985,(5)

公式(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca)=a~3+b~3+c~3-3abc(以下记为公式)有不少应用。而公式本身的证明并不困难,运用整式乘法或因式分解就可予以证明,这是初中一年级学生就能接受的。如果在初中代数教学中,讲解整式乘法时就把它提出来,到因式分解时再次熟悉,后继内容的教学中不断应用,这对学生掌握知识,发展智能会有裨益的。一、公式的征明: 证一:将左边按a的降幂排列左边=[a+(b+c)][a~2-(b+c)a+(b~2+c~2-bc)] =a~3-(b+c)a~2+(b~2+c~2-bc)a+(b+a)a~2-(b+c)~2a+(b+c)(b~2-a~2-bc) =a~3+(b~2+c~2-bc-b~2-2bc-c~2)a+b~2+c~3 =a~3+b~3+c~2-3abc。证二、用因式分解右边=(a+b)~3-3ab(a+b)+c~3-3abc =(a+b)~3+c~3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)~3-3c(a+b)(a+b+c)  相似文献   

谈不等式证明中的配凑技巧     

陈明书 《数学教学通讯》1998,(3)

不等式证明的方法虽然很多,变化的技巧性也很强,但我们若注意观察式子的结构特点.联想到基本不等式往往也能化难为易.本文浅述几种处理方法.一添项例1 已知 a b c=1,求证:a~2 b~2 c~2≥1/3分析当a=b=c=1/3时,a~2 b~2 c~2=1/3,所以考虑给原不等式每一项都加1/9.  相似文献   

“互叠法”证不等式的两个定理     

《中学数学教学参考》2007,(15)

定理1 欲证 P≥Q,只需证 P Q≥2Q.例1 (《数学通报》数学问题解答1602)已知 a,b,c∈R_ ,求证:((a b)/(a c))a~2 ((b c)/(b a))b~2 ((c a)/(c b))c~2≥a~2 b~2 c~2 .证明:不等式可化为P=a~3b~2 b~3c~2 c~3a~2≥a~2b~2c ab~2c~2 a~2bc~2≥Q.P Q=(a~3b~2 ab~2c~2) (b~3c~2 a~2bc~2) (c~3a~2  相似文献   

第51届IMO预选题(一)     

李建泉 《中等数学》2011,(8):17-20

代数部分1.本届IMO第1题.2.已知实数a、b、c、d满足a+b+c+d=6.a~2+b~2+c~2+d~2=12.证明:36≤4(a~3+b~3+c~3+d~3)-(a~4+b~4+c~4+d~4)≤48.3.已知x_1,x_2,…,x_(100)是非负实数,且对于  相似文献   

勾股不等式的应用     

邱力争 《数学教学通讯》1988,(2)

本文介绍的勾股不等式的证明很简单,它在应用中却很方便。命题若a≥0,b≥0,c≥0,且a~2+b~2=c~2,则 a+b≤2~(1/2)c (1) 当且仅当a=b时取等号。证明据题设,利用a~2+b~2≥2ab,得 (a+b)~2=a~2+b~2+2ab≤2(a~2+b~2)=2c~2 ∴ a+b≤2~(1/2)c 显然,当且仅当a=b时等号成立。(证毕) 当a,b,c均为正实数时,由a~2+b~2=c~2知a,b,c组成一个直角三角形的三边,故称(1)为勾股不等式。  相似文献   

IMO-36第二试题的推广     

华云  于桂萍  姜卫东  安振平  苏化明 《中学数学月刊》1996,(2)

第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,则1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥1/2(bc ca ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥1/2(bc ca ab)(2)。由平均值不等式可得: b~2c~2 (1/4)a~2(b c)~2≥abc(b C), ∴b~2c~2≥abc(b c)-(1/4)a~2(b c)~2,  相似文献   

IMO-36第二题的四种证法     

李德华  胡建生  韩亚军  王满成 《中学数学月刊》1996,(2)

第三十六届国际奥林匹克数学竞赛第二题: 设a、b、c为正实数,且满足a·b·c=1,试证:1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥3/2(1)。(俄罗斯提供) 证法一 由已知条件a·b·c=1,(1)与下面(2),等价:b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥3/2(2),现用含参数基本不等式:a~2 (λb)~2≥2abλ(λ为参数)的变形:a~2/b≥2λa-λ~2b。因而  相似文献   

由一例题引发的思考     

姜黎鑫 《数理化解题研究》2013,(10):36

一、问题的提出椭圆课上的一道练习题:已知长轴是短轴的2倍,一个焦点坐标是(3,0),求该椭圆的方程.1.问题的出现该题是在理解了椭圆的概念后出的一道概念性的练习题.学生解答起来应该没有问题,但是恰恰出乎我的预料,我让一个学生上黑板练习,他是这样解答的:解:因为2a=2×2b,c=3,所以a=2b,a~2=b~2+c~2.即(2b)~2=b~2+9,b~2=3,a~2=2b~2=6.到了这一步之后就停在那不动了,他应该在想为什么得到的是a~2=b相似文献   

正、余弦定理及其应用     

甘志国 《数学教学通讯》2011,(29):28-29

正弦定理和余弦定理是架起三角形边角关系的两座桥梁,是解三角形的两个有力武器,锐不可当.重点难点1.正弦定理:a/(sinA)=b/(sinB)=c/(sinC)=2R(R表示△ABC外接圆的半径).2余弦定理:a~2=b~2+c~2-2bccosA;b~2=c~2+a~2-2cacosB:c~2=a~2+b~2-2abcosC.3.三角形面积公式:S=1/2ah_a(h_a  相似文献   

几个常见数学问题的联接     

《中学数学教学参考》2007,(13)

日本《代数学辞典》上册(上海教育出版社1982年出版)第589页的问题2412为问题1 设 a、b、c 是正数,a~2 b~2=c~2,证明 a~3 b~3相似文献   

一道陈省身杯数学奥林匹克竞赛题的别证     

李歆 《中学数学教学》2011,(5):59

2010年第一届陈省身杯全国高中数学奥林匹克第6题为:问题设正实数a,b,c满足a~3+b~3+c~3=3,证明1/a~2+a+1+1/b~2+b+1+1/c~2+c+1≥1.文[1]、文[2]分别从不同的角度,先后给出了九种证法,笔者读后很受启发,经过探究,仅用三元均值不等式得到了另一种简单证法.  相似文献   

《数学通报》问题1570与一个和式不等式     

曾东升  何青 《中学数学研究(江西师大)》2006,(9):39-41

《数学通报》2005年8月号数学问题的1570给出如下不等式链:设 a,b,c∈R~ ,求证:a~5/b~3 b~5/c~3 c~5/a~3≥a~/b~2 b~4/c~2 c~4/a~2≥a~3/b b~3/c c~3/a≥a~2 b~2 c~2.(1)(注:这里我们略去了原问题中的最后一个常见的不等式.)本文通过对这个问题不同证法的探究,得到一个和式不等式,并利用这个和式不等式对问题1570进行再证和拓广.  相似文献   

“至少”还是“至多”     

张明才 《安徽教育》1988,(10)

某种课本上有这样一道例题:“已知a,b,c是不全相等的正数,求证a(b~2+c~2)+b(c~2+a~2)+c(a~2+b~2＞6abc.”其证明过程是:“∵b~2+c~2≥2bC,a＞0,∴a(b~2+C~2)≥2abc (1)同理,b(c~2+a~2)≥2abc (2)c(a~2+b~2)≥2abc(3)因为a、b、c不全相等,所  相似文献   

利用向量解题     

温寅 《苏州教育学院学报》1998,(2)

初等数学中的有些问题,如果利用向量来解决,往往可以收到化繁为简,化难为易的效果.一、应用向量证明不等式例1 己知a,b,c∈R,且a b c=1,求证:a~2 b~2 c~2≥1/3证明:设(?)=(a,b,c),(?)=(b,c,a),(?)=(c,a,b)则(?) (?) (?)=(a b c,b c a,c a b)= (1,1,1),而|(?) (?) (?)|≤|(?)| |(?)| |(?)| ∴3~(1/2)≤ 3(a~2 b~2 c~2)~(1/2),即a~2 b~2 c~2≥1/3二、应用向量求三角函数值  相似文献