利用"Δ≤0"证明一类不等式竞赛题     

王毅 《福建中学数学》2013,(6):47-48

若一元二次不等式ax2+bx+c≥0且a>0,b2-4ac≤0则b2-4ac≤0,这是众所周之的,由它易得:推广1若(x-k1)2+(x-k2)2+...+(x-kn)2≥0,则(k1+k2+...+kn)2≤n(k1  相似文献   

涉及三角形边角关系的两个猜想   总被引：1，自引：0，他引：1  

邹黎明 《福建中学数学》2004,(12):18-19

以下用a、b 、c 分别表示△ ABC 中角 A 、 B 、C 的对边,文[1]给出了两个猜想: 猜想1若an,bn,cn(n ≤ 4,n∈R?)成等差数列,则 B ≤ 60° . 猜想 2 若0 < n ≤ 4,k ≥1,则 k2 ? k 1≥ (kn2 1)n2 . 猜想 2 的证明: f (k) = ln(k2 ? k 1) ? ln 2 kn 1 , n 2 k2 ? k 1 = (k ? )2 > 0 , 1 3 2 4 对k …  相似文献   

Mitrinovi■-Djokovi■不等式的推广     

陈计 《宁波大学学报(教育科学版)》1989,(1)

本文中,我们把Mitrinovi■-Djokovi■不等式推广成:若x_k>0(k=1,…,n),x_1+…+x_n=s≤n-2+2(2+5~(1/2))~(1/2),且a>0,则sum from k=1 to n (x_k+1/x_k)~a≥n(s/n+n/s)~a.  相似文献   

例谈递推数列中不等关系的证明     

聂文喜 《高中数学教与学》2004,(1):18-20

在近年的高考数学试题中 ,常以数列递推式中不等式的证明作为能力型试题 .这类问题综合性强、思维容量大、能力要求高 ,是同学们感到很棘手的一类问题本文通过具体的例子说明解这类问题的几种常用方法 .一、数学归纳法例 1　已知数列 an ,对任意n∈N ,均有an >0 ,且a2 n ≤an-an + 1 ,求证 :当n≥ 2时 ,an <1n +1.证明　 ( 1)当n =2时 ,a2 ≤a1 ( 1-a1 )≤ a1 +( 1-a1 )22=14 <13 =12 +1.命题成立 .( 2 )假设当n =k(k≥ 2 )时 ,命题成立 ,即有　　　ak <1k+1≤ 13 (k≥ 2 ) .当n =k +1时 ,由题设有ak+ 1 ≤ak-a2 k.令 f(x) =x-x2 ,则f(x) =…  相似文献   

一个不等式及其应用   总被引：1，自引：0，他引：1  

崔炎生  朱荣兴 《数学教学通讯》1991,(1)

定理设x_1∈R~+(i=1,2,…,n),且p、q∈N,p≥q 则(x_1~p+x_2~p+…+x_n~p)/(x_1~q+x_2~q+…+x_n~q)≥(x_1x_2…x_n)~((p-q)/n)。 (当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。证明根据幂平均——算术平均不等式:若x_1∈R~+,m≥1(i=1,2,…,n),则(x_1~m+x_2~m+…+x_n~m)/n≥((x_1+x_2+…+x_n)/n)~m(当且仅当x_1+x_2=…=x_n时等号成立)。  相似文献   

一个有理型不等式问题类比猜想的证明     

李建潮 《河北理科教学研究》2013,(6)

《数学通报》2010年第8期问题1869如下: 问题1869[1]设a,b＞0. (Ⅰ)若a+b≤√2,则1/1+a2++1/1+ b2≥1/1+(a+b)2 (1) 当且仅当a=b=√2/2时等号成立; (Ⅱ)若ab≥1/2,则1/1+a2++1/1+ b2≤1/1+(a+b)2 (2) 当且仅当a=b=√2/2时等号成立.  相似文献   

基本不等式题型的最值问题     

白云 《理科考试研究》2014,(14)

正人教版必修五给出了基本不等式a+b2≥槡ab(a0,b0),当且仅当a=b时取等号.其变形有:(a+b2)2≥ab;a2+b2≥12(a+b)2.应用基本不等式的条件:①正数;②和定或积定;③相等.基本不等式的一个应用就是求最值.有以下四类问题:一、隐含积定型若a0,b0且a+b的和为定值p,则积ab有最大值ab≤p24.例1已知x0,求y=x+1x的最小值.解y=x+1x≥21x·槡x=2.(当且仅当x=1x时取"=")例2已知x1,求y=x+1x-1的最小值.解y=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2+1=3.(当且仅当x-1=1x-1,x=2时取"=")变式已知x1,求y=x2-x+1x-1的最小值.  相似文献   

《数学通报》第2562号问题的探究     

胡艳  程凤娟  陈晓春 《中学数学研究(江西师大)》2021,(3)

《数学通报》2020年9期数学问题2562给出了不等式:已知a,b,c>0满足a+b+c=3,则1-ab 1+ab+1-bc 1+bc+1-ca 1+ca≥0(1).不等式结构对称,值得关注.为此,本文拟对不等式(1)的证明方法、变式、推广等方面作一探究.为了表述方便,由∑n k=1 x k y k·∑n k=1 x ky k=∑n k=1 x k y k 2·∑n k=1 x ky k 2≥∑n k=1 x k 2,可得柯西不等式的一个变式:引理设x 1,x 2,…,x n>0,y 1,y 2,…,y n>0,则有∑n k=1 x k y k≥(∑n k=1 x k)2∑n k=1 x ky k(2),等号当且仅当y 1=y 2=…=y n时成立.  相似文献   

倒数和排序不等式     

樊益武 《中学数学教学参考》2004,(11)

定理　设 0 相似文献   

基本不等式的别证及其它     

常家慧 《中学数学研究(江西师大)》2022,(3)

基本不等式设a≥0,b≥0,则a+b/2≥√ab(当且仅当a=b时等号成立).最值原理设x>0,y>0.(1)若x+y=S(定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值S²/4;(2)若xy=P(定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最大值2√P.  相似文献   

一道高考题引发的思考     

李建潮 《河北理科教学研究》2014,(3):39-41

正题已知m、n为正整数.(1)用数学归纳法证明:当x-1时,(1+x)n≥1+nx(笔者注:当且仅当x=0或n=1时取"="号);(2)对于n≥6,已知(1-1/(n+3))n1/2,求证:(1-m/(n+3))n(1/2)m(m≤n);(3)求出满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n.(2007年高考湖北卷理科压轴题)  相似文献   

一个不等式的证明     

曹会洲 《中学数学教学》2005,(5)

定理nn-1[(m+1)n-1n-1]<∑mi=11niαn-αn-1(α>1,n∈N,n≥2).证明由二项式定理得(α-1n)n=∑nr=0(-1)rCrn1nrαn-r,∵Crn(1n)r-Cr+1n(1n)r+1=Cr+1n(1n)r+1·nr+rn-r≥0,∴Crn(1n)r≥Cr+1n(1n)r+1(当且仅当r=0时等号成立).若n为偶数时,(α-1n)n=αn-αn-1+(C2n1n2αn-2-C3n1n3·αn-3)+…+(Cn-2n1nn-2α2-Cn-1n1nn-1α)+Cnn1nn>αn-αn-1;若n为奇数时,(α-1n)n=αn-αn-1+(C2n1n2αn-2-C3n1n3·αn-3)+…+(Cn-1n1nn-1α-Cnn1nn)>αn-αn-1.2定理的证明(1)∑m…  相似文献   

关于一个分析不等式的注记     

杨仕椿 《湖南城市学院学报》2003,24(3):81-82

用初等方法证明了一个与高维NeubergPedoe不等式有关的推广分析不等式:设k、n∈N,μ>0,xi>0,i=1,?n,且=niix1=λ,则当knμ+1时有Ek(mlml--nxx,,1L)kn(nμ)k,等号成立当且仅当x1=?xn=nl.  相似文献   

一个不等式的推广     

于先金 《数学教学通讯》1988,(5)

若a、b均为实数,且a~2+b~2=1,则有不等式-1/2≤ab≤1/2 (1) 成立。这是众所周知的。现对不等式(1)推广如下: 若a_1,a_2,…,a_n均为实数,且a_1~2+a_2~2+…+a_n~2=1,则当n≥2时有不等式成立。  相似文献   

简证第14个优美不等式及推广     

王建荣 《中学数学研究》2014,(15)

正安振平老师提出的"二十六个优美不等式"中第14个是:设a、b、c为非负实数且a+b+c=1,求证:(1-a)22+(1-b)22+(1-c)22≤6427.该题在很多刊物都有证明,尽管证法各有千秋都很精彩,但方法都很复杂,有些也难于想到,笔者将不等式左边稍作调整就可以反复应用切比雪夫不等式,轻松证出,不仅如此,还可以轻松将不等式横向和纵向加以推广.证明:不妨假设a≥b≥c≥0,则1+a≥1+b≥1+c,1-a≤1-b≤1-c,由切比雪夫不等式可知:(1-a)22+(1-b)22+(1-c)22  相似文献   

柯西不等式在解析几何中的应用     

阮伟玉  戴志祥 《数学学习与研究(教研版)》2013,(3):73

柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.柯西不等式具有对称和谐的结构特征,应用关键在于构造两组数ai,bi(i=1,2,…,n),进行合理的变形,找准解  相似文献   

柯西不等式中取等条件的妙用     

王勇  李燃 《中学数学杂志》2012,(3):24-27

设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.  相似文献   

一类基本不等式题型的最值     

顾冬梅 《数理化解题研究》2013,(10):1

本文通过具体例题总结了基本不等式求一类题型（x+y）（a/x+b/y）（x,y,a,b都是正数）的最值.苏教版必修五给出了基本不等式的形式:ab^1/2≤（a+b）/2（a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时取等号,其变形形式有a+b≥2ab^1/2基本不等式的一个运用就是求最值:①当a≥0,b≥0时,若和a+b为定值P,则积ab有最大值ab≤p²/4,当且仅当a=b时取等号;②当a≥0,b≥0时,若积ab为定值S,则和a+b有最小值a+b≥2S^1/2,当且仅当a=b时取等号.我们来看下面3个问题:问题1:已知x,y为正数,求（x+y）（1/x+4/y）的最小值.问题2:已知z,y为正数且满足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值.  相似文献   

等差数列前n项和的最值求法小技巧     

侯守一 《数学大世界(高中辅导)》2004,(11):17-18,22

设等差数列 {an}是以a1 为首项 ,以d为公差的等差数列 ,其前n项和记作Sn =S(n) .结论 1　若a1 >0 ,且d <0 ,则其数列前n项和有最大值Sn(max) =S( -a1 d) =S( 1-a1 d)=a1 2d(d-a1 ) ,( -a1 d ∈N )或Sn(max) =S( [-a1 d] +1) ,(其中 ,a1 d ∈R+ ,取n=[-a1 d] +1.[x]表示不大于X的整数部分 )证明 :∵a1 >0 ,d<0 ,∴数列 {an}前n项和Sn =S(n)必有最大值 .∴a1 ≥ 0且an+ 1 ≤ 0 ,即a1 +(n-1)d≥ 0且a1 +nd ≤ 0 ,解得n ≤ 1-a1 d 且n ≥-a1 d.讨论 :( 1)当 a1 d ∈N 时 ,则Sn(max) =S( -a1 d)=( -a1 d) +( -a1 d) ( -a1 d -1)2 d=a1 (d-a…  相似文献   

关于华罗庚先生的一个不等式及其应用     

王增强 《中学数学研究(江西师大)》2013,(2):23-25

在不等式的王国中,我们知道有很多不等式都是用华罗庚先生的名字命名的,其中有一个初等不等式如下: 华罗庚不等式[1]设ak为实数,p,q＞0则(P-n∑k=1ak)2+q(n∑k=1a2k)≥pq2/n+q.仅当a1=a2=…=an=qp/n+q时等号成立.  相似文献