对一类无理不等式的统一研究     

万玉云 《中学数学月刊》1999,(5)

文[1]中有一组不等式:已知a,b,c为正数,则 (1/a~2 b~2 ab) (1/b~2 c~2 bc)>(1/c~2 a~2 ac)(1) (1/a~2 b~2) (1/b~2 c~2)>(1/c~2 a~2)(2) (1/a~2 b~2-ab) (1/b~2 c~2-bc)>  相似文献   

一个公式的巧用     

张山 《数学教学通讯》1985,(5)

公式(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca)=a~3+b~3+c~3-3abc(以下记为公式)有不少应用。而公式本身的证明并不困难,运用整式乘法或因式分解就可予以证明,这是初中一年级学生就能接受的。如果在初中代数教学中,讲解整式乘法时就把它提出来,到因式分解时再次熟悉,后继内容的教学中不断应用,这对学生掌握知识,发展智能会有裨益的。一、公式的征明: 证一:将左边按a的降幂排列左边=[a+(b+c)][a~2-(b+c)a+(b~2+c~2-bc)] =a~3-(b+c)a~2+(b~2+c~2-bc)a+(b+a)a~2-(b+c)~2a+(b+c)(b~2-a~2-bc) =a~3+(b~2+c~2-bc-b~2-2bc-c~2)a+b~2+c~3 =a~3+b~3+c~2-3abc。证二、用因式分解右边=(a+b)~3-3ab(a+b)+c~3-3abc =(a+b)~3+c~3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)~3-3c(a+b)(a+b+c)  相似文献   

IMO-36第二试题的推广     

华云  于桂萍  姜卫东  安振平  苏化明 《中学数学月刊》1996,(2)

第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,则1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥1/2(bc ca ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥1/2(bc ca ab)(2)。由平均值不等式可得: b~2c~2 (1/4)a~2(b c)~2≥abc(b C), ∴b~2c~2≥abc(b c)-(1/4)a~2(b c)~2,  相似文献   

利用体积解立体几何题     

卫广彦 《中学数学教学》1983,(1)

和面积在平面几何中的地位相当,体积在立体几何中也有一番妙用。举例说明如下。一利用体积求点到平面的距离例1 长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c,求顶点B_1到截面A_1BC_1的距离。解由题设,长方体AC_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c, ∴A_1B=(a~2+c~2)~(1/2),BC_1=(b~2+c~2)~(1/2),A_1C_1=(a~2+b~2)~(1/2) 故cos∠BA_1C_1=((A_1B)~2+(A_1C_1)~2-(BC_1)~2)/(2A_1B·A_1C_1)=(a~2+c~2+a~2+b~2-b~2-c~2)/(2((a~2+c~2)~(1/2))·(a~2+b~2)~(1/2))=(a~2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))sin∠BA_1C_1=(1-(a~4)/(a~2+c~2)(a~2+b~2))~(1/2)=(a~2b~2+b~2c~2+c~2a~2)~(1/2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))  相似文献   

一组猜想不等式的统一证明     

沈兵  陈罗英 《中学数学研究(江西师大)》2015,(2):20-21

宋庆老师在文[1]末提出4个猜想.其中猜想4为:已知a,b,c是正数,求证a~2/(a~2+(b+c)~2)+b~2/b~2+(c+a)~2+c~2/c~2+(a+b)~2≥3/5(1);(a~3)/(a~3+(b+c)~3)+(b~3)/(b~3+(c+a)~3)+(c~3)/(c~3+(a+b)~3)≥1/3(2);(a~4)/(a~4+(b+c)~4)+(b~4)/(b~4+(c+a)~4)+(c~4)/(c~4+(a+b)~4)≥3/(17)(3).  相似文献   

勾股不等式的应用     

邱力争 《数学教学通讯》1988,(2)

本文介绍的勾股不等式的证明很简单,它在应用中却很方便。命题若a≥0,b≥0,c≥0,且a~2+b~2=c~2,则 a+b≤2~(1/2)c (1) 当且仅当a=b时取等号。证明据题设,利用a~2+b~2≥2ab,得 (a+b)~2=a~2+b~2+2ab≤2(a~2+b~2)=2c~2 ∴ a+b≤2~(1/2)c 显然,当且仅当a=b时等号成立。(证毕) 当a,b,c均为正实数时,由a~2+b~2=c~2知a,b,c组成一个直角三角形的三边,故称(1)为勾股不等式。  相似文献   

余弦定理变形一得     

潮斌 《中学数学月刊》1998,(4)

在△ABC中有余弦定理:a~2=b~2 c~2-2bc·cosA,变形得: a~2=(b c)~2-2bc(1 cosA) =(b c)~2-4bc·cos~2A/2 ≥(b c)~2-(b c)~2cos~2A/2 =(b c)~2sin~2A/2. 由此得sinA/2≤a/(b c)(当且仅当b=c时取等号).同理可得sinB/2≤b/(a c)(当且仅当a=c时取等号);  相似文献   

Weitjenbok不等式简记八法     

陈文明 《中等数学》1990,(1)

设△ABC的边和面积分别为a,b,c和△,则a~2 b~2 c~2≥3~(1/4)△. 证1 比较法.a~2 b~2 c~2-3~(1/4)△=2(b~2 c~2)-4bcosin(A 30°)≥2(b-C)~2≥0. 证2 (a~ b~2 c~2)-(3~(1/4)△)~2=(a~2 b~2 c~2)-3(a b c)(a b-C)·(b c-a)·(C d-b)=2[(a~2-b~2)~2 (b~2-c~2)`2 (c~2-a~2)~2]≥0.  相似文献   

关于a+b+c=0的一组优美结论     

武增明 《中学数学教学参考》2006,(15)

a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3  相似文献   

例说对称条件在解题过程中的作用     

凌国香 《中学数学月刊》1998,(5)

很多数学问题,给出的条件往具有某种对称性,利用这种对称条件,不但能使我们预测问题的结论,发现解题途径,而且能够简化解题过程.深化问题的结论.1 预测问题的结论例1 已知四面体P-ABC的六条棱长之和为l,并且∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,试求它的最大体积.(美国第五届中学奥林匹克竞赛题)分析 设 PA=a,PB=b,PC=C,则AB=(a~2 b~2)~(1/2),BC=(b~2 c~2)~(1/2),CA=(c~2 a~2)~(1/2),  相似文献   

IMO-36第二题的四种证法     

李德华  胡建生  韩亚军  王满成 《中学数学月刊》1996,(2)

第三十六届国际奥林匹克数学竞赛第二题: 设a、b、c为正实数,且满足a·b·c=1,试证:1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥3/2(1)。(俄罗斯提供) 证法一 由已知条件a·b·c=1,(1)与下面(2),等价:b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥3/2(2),现用含参数基本不等式:a~2 (λb)~2≥2abλ(λ为参数)的变形:a~2/b≥2λa-λ~2b。因而  相似文献   

一个代数不等式的几何解释     

方明 《中学数学月刊》1998,(4)

设a,b,c∈R_ ,则有(a~2 ab b~2)~(1/2) (b~2 bc c~2)~(1/2) (c~2 ca a~2)~(1/2)≥3~(*1/2)(a b c).这一不等式除代数证法外,文[1]、[2]都给出了一种几何证法。其思路是依余弦定理分别表出左端各项,然后求其最小值。但都没有给出左、右两  相似文献   

等比数列的性质     

王小平 《成都教育学院学报》2002,16(8):65-65,44

性质1 如果a,b,c三个数成等比数列,则a~2b~2c~2(1/a~3 1/b~3 1/c~3)=a~3 b~3 c~3证明: ∵a,b,c成等比数列 ∴b/a=c/b 左端=a~2b~2c~2(1/a~3 1/b~3 1/c~3) =b~2c~21/a a~2c~21/b a~2b~21/c =a~3 b~3 c~3=右端性质2 如果a,b,c,d四个数成等比数列,则  相似文献   

小议“元”的作用     

戴宇 《数学教学通讯》1993,(4)

在对含有多个字母的代数式进行变形时,适当地确立一个字母作“元”。并按这个“元”来分析,可使一些数学问题得到规范化和简单的解法。一分解因式中按元分组 [例1] 把a~4(b-c) b~4(c-a) c~4(a-b)分解因式略解:原式=(b-c)a~4 (c~4-b~4)a bc(b~3-c~3)<以a为元> =(6-c)(a~4-ab~3-ac~3-abc~2-ab~2c b~3c bc~3 b~2c~2) =(6-c)[(c-a)b~3 (c~2-ac)b~2 (c~3-ac~2)b (a~4-ac~3)]<以6为元> =(6-c)(c-a)(b~3 cb~2 c~2b-a~3-ac~23-a~2c)  相似文献   

立方和(差)公式的应用     

于志洪 《时代数学学习》1996,(6)

九年义务教材初中《代数》第一册(下)第125页介绍的立方和(差)公式:(a+b)(a~2-ab+b~2)=a~3+b~3,(a-b)(a~2+ab+b~2)=a~3-b~3,这里给出它们的两个变形:a~3+b~3=(a+b)~3-3ab(a+b),a~3-b~3=(a-b)~3+3ab(a-b),它们在解题中有着广泛的应用.现举数例说明如下,供初一学生学习时参考.  相似文献   

几个常见数学问题的联接     

《中学数学教学参考》2007,(13)

日本《代数学辞典》上册(上海教育出版社1982年出版)第589页的问题2412为问题1 设 a、b、c 是正数,a~2 b~2=c~2,证明 a~3 b~3相似文献   

1994年全国初中数学联合竞赛试题及解答     

梁志平 《中学数学教学参考》1994,(8)

第一试 一、选择题:(本题满分48分,每小题6分) 1.若0相似文献   

课本上一个不等式的应用及推广     

孙锰 《中学数学月刊》1996,(11)

高中代数下册第10页在推证基本不等式a~3 b~3 c~3≥3abc时附带证明了一个不等式:已知a、b、c∈R,则 a~2 b~2 c~2≥ab bc ca (1)(当且仅当a=b=c时取等号)  相似文献   

1986年献礼     

张焕明  数学组  刘宁 《数学教学通讯》1986,(3)

1.若(a b)/(a-b)=(b c)/(b-c)=(c a)/(c-a) 求证:|a~(1986)|=|b~(1986)|=|c~(1986)| 【证明】:由条件(*)知a、b、c两两不等,且abc≠0,对(*)式用合分比定理得a/b=b/c=c/a=x≠1从而c=ax,b=cx=ax~2,a=bx=ax~3 ∴ x~3=1,可见x是1的立方虚根w或w~2。∴ c=aw,b=xw~2或c=aw~2,b=aw~4=aw, 于是|a~(1986)|=|(aw~2)~(1986)|=|(aw)~(1986)| 故|a~(1986)|=|b~(1986)|=|c~(1986)| 2.证明:是合数【证明】:=10~(1986)-1/9=(10~(993))~2-1/9=((10~(993) 1)(10~(993)-1))/9  相似文献   

也谈整数边的三角形     

方纯义 《中学数学教学》1987,(5)

本刊1986年第四期刊载蒋声同志的文章,给出了有一个内角为120°的三角形的三边长的整数解,即C=120°,三边长分别为 d=2mn+m~2, (A) b=2mn++3n~2, c=m~2+3mn+3n~2,其中m、n为自然数,且m≠3的倍数(否则三边长有公因数)。显然(A)式是不定方程 c~2=a~2+b~2+ab的一组整式解,但蒋老师并没有给出如何找到这一组整式解的方法。本文打算就这个问题谈一点方法,并就整数边三角形的存在给出一个充要性条件。一、不定方程 c~2=a~2+b~2+ab的整数解的求法关键是配方。首先c~2=a~2+b~2+ab=a~2+ab+1/4 b~2+3/4b~2=(a+1/2b)~2+(1/2 3~(1/2)b~2又由恒等式 (p~2+q~2)~2=(p~2-q~2)++(2pq)~2  相似文献