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文[1]建立了如下关于三角形中线长的一个有趣的不等式:若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,R、r为△ABC外接圆和内切圆半径,则有22222ma mb mc rbc+ca+ab≥+R.研究发现并获得如下加强形式及其对偶不等式.1加强定理1若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,则有22294ma mb mcbc+ca+ab≥.(1)为证定理1,先引入以下引理:引理1设a,b,c>0,则有(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)≤abc.(2)(1983年瑞士数学竞赛试题)引理2设a,b,c为三角形的三边长,则有(3a?b?c)(3b?c?a)(3c?a?b)≤(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)(3)与a3+b3+c3+9abc≤2(a2b+b2c+c2a)+2(ab2+bc2+ca2).(4)简… 相似文献
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贵刊2009年第4期擂题(98)如下: 设a,b,f,d,e＞0,且a+b+c+d+e＝1,λ≥0,证明或否定:对任意n≥2或n＜0,有 an/1+λa2+bn/1+λb2+cn/1+λc2+dn/1+λd2+en/1+λe2≥53-n/25+λ (1) 相似文献
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王晓兰 《初中生世界(初三物理版)》2004,(17)
在等比性质的证明中,常常先根据题设中一连串相等的比设立比值k,通过k建立分子和分母的关系式,然后适当变形而完成证明.这种巧设比值的方法在解题中十分有用.现举几例说明.一、求代数式的值例1若x3=y4=z5,则2x+y-zx=.解:设x3=y4=z5=k,则x=3k,y=4k,z=5k,∴原式=6k+4k-5k3k=53.二、比较大小例2已知a、b、c、d是四个不相等的正数,其中a最小,d最大,且满足ab=cd,则a+d与b+c的大小关系是.解:设ab=cd=k,则a=bk,c=dk,而(a+d)-(b+c)=(kb+d)-(b+dk)=(k-1)(b-d).因为a最小,d最大,则k<1,b-d<0,故(k-1)·(b-d)>0,即a+d>b+c.三、证明条件等式例3如果a1b1=a… 相似文献
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全日制普通高级中学教科书《数学》第一册(上)第136页的第7题是:已知a2,b2,c2成等差数列(公差不为0),求证:b+1c,c+1a,a+1b也成等差数列.此题的证明并不难,我们感兴趣的是该问题的逆命题成立吗?笔者发现:命题若b+1c,c+1a,a+1b成等差数列,则a2,b2,c2也成等差数列.证明由b+1c,c+1a,a+1b成等差数列可得b+1c+a+1b=c+2a,因此(a+b)(a+c)+(b+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),即a2+c2=2b2.所以a2,b2,c2成等差数列.于是,我们有:定理1设a,b,c∈(0,+∞),则a2,b2,c2成等差数列的充要条件是b+1c,c+1a,1a+b成等差数列.波利亚在《怎样解题》一书中这样写道:当你发现了一… 相似文献
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设 a、b、c为三角形的三边长,试证 222()()()0ababbcbccaca-+-+-? (1) 这是一道第24届IMO试题,本文从指数方向给出上述不等式的推广. 定理 设 a、b、c为三角形的三边长, 01g, 所以 abcggg+>; 同理,有 bcaggg+>,cabggg+>; 故以ag、bg、cg为三边长可构成三角形. 引理2 设 a、b、c为三角形的三边长, 2l,… 相似文献
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戴向阳 《中学数学研究(江西师大)》2020,(4):47-48
本文给出文[1]问题的简解.题目设实数a,b,c,d∈[-2,2],且a+b+c+d=0,求z=a^3+b^3+c^3+d^3的最大值.解法1:z=(a+b)((a+b)^2-3ab)+(c+d)((c+d)^2-3cd)=(a+b)^3+(c+d)^3-3((a+b)ab+(c+d)cd)=-3((a+b)ab-(a+b)cd)=-3(a+b)(ab-cd)=-3(a+b)(ab+c(a+b+c))=-3(a+b)(b+c)(c+a).不妨设a+b=min{a+b,b+c,c+a}. 相似文献
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在比例中,合比定理即若a/b=c/d,则(a b)/b=(c d)/d,(1)但当a b≠0且c d≠0时,(1)还可写成: a/(a b)=c/c d 把(1)、(2)推广到不等式中,可得定理若a/b≥c/d,则 (a b)/b≥c d/d,(*) 若a/b≥c/d>0,则 a/(a b)≥c/(c d).(**) 证:∵a/b≥c/d, ∴a/b 1≥c/d 1, ∴(a b)/b≥(c d)/d。∵a/b≥c/d>0 ∴0相似文献
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文[1]给出了《数学教学》2011年第2期数学问题与解答中第814题和第815题的解答,其证明过程较为繁琐且具有技巧性,笔者在此给出其较为简单的证明,并对第814题进行加强,给出其上确界.第814题:设a、b、c、d>0,且a+b+c+d=1,求证:a/1+a+b/1+b+c/1+c+d/1+d<1/1+abcd.……(1) 相似文献
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陈宇 《中学数学研究(江西师大)》2015,(1)
宋庆老师在文[1]末提出4个猜想.其中猜想1:已知a,b,c是满足5a+12b+13c =60的非负数,求证:5ab+12bc+13ca≤180.
在探究过程中,笔者发现,主要借助一元二次方程及相关性质,可以证明该猜想成立.
证明:由题设可知0≤a≤12,0≤b≤5,0≤c≤60/13(a,b,c不同时为零),及a=1/5(60-12b-13c)(1). 相似文献
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同学们在解答比较分式值大小的相关问题时,通常需要对分式进行变形整理,下面给出几种方便快捷的变形策略,供同学们学习参考.一、通分变形例1已知a,b,c,d都是正数,且ab0B.A≥0C.A<0D.A≤0解:A=b(c+d)-d(a+b)(a+b)(c+d)=bc-ad(a+b)(c+d).因为a,b,c,d都是正数,且ab0,a+b>0,ad0,应选A.二、添项变形例2设a>0>b>c,a+b+c=1,M=b+ca,N=a+cb,P=a+bc,则M、N、P之间的大小关系是A.M>N>PB.N>P>MC.P>M>ND.M>P>N解:因为a+b+c=1,所以M=b+ca+1-1=1a-1,N=a+cb+1-1=1b-1,P=a+b+1-1=1… 相似文献
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唐兴中 《数理天地(高中版)》2003,(2)
例1 设a、b、c、d∈R.求证: 证明令a1=ai+bj,a2=di+cj,其中i⊥j且|i|=|j|=1(以下各题同,略),a1、a2的夹角为θ(0≤θ≤π),则a1、a2的坐标分别为(a,b),(d,c),由向量数量积定义,得 相似文献
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正在应用放缩法证明不等式时,有以下一个典型例子[1]:设0≤a,b,c≤1,则a/(1+b+c)+b/(1+c+a)+c/(1+a+b)+(1-a)(1-b)(1-c)≤1(1)当且仅当a,b,c中有两个为零,另一个为[0,1]中的任意数,或者当a,b,c不全为零且不为零的数都等于 相似文献
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1逆向思维的教材原型题与近年高考题
例1 (新课标选修4-5第25页习题
2.2第2题)已知a,b,c,∈R+,用综合法证:
(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc.
证明 (ab十a+b+1)(ab+ac+bc+c2)=(a+1) (b+1)(a+c) (b+c)≥2√a×2b×2√ac×2√bc=16abc.
例2 (2010年重庆文科第10题)若a,b,c＞0,且a2+2ab+2ac+4bc=12,则ab+c的最小值是(). 相似文献
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胡芳举 《中学数学研究(江西师大)》2022,(3)
题目设a,b,c,d,e>0,证明:(bcde+acde+abde+abce+abcd)4≥125(a+b+c+d+e)(abcde)3.此题由湖南师范大学叶军老师提供.这个不等式证明很难,技巧性很强,不过有意思的是其一般形式的证明反而简单一些.本文将用数学归纳法将这个不等式推广到一般. 相似文献
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题设a、b、c∈(0,√2),且a2+b2+c2+abc=4,求证:abc≥(2-a2)(2-b2)(2-c2)≥(4a2-a4-2)(4b2-b4-2)(4c2-c4-2). 相似文献
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Goldner不等式是指:∑a4≥16S2.经过探讨,笔者现给出它的加强式:定理224216(Rr?1)S≤∑a≤16(2Rr2?1)S,其中a,b,c表示△ABC的三边长,P为半周长,S为面积,R为外接圆半径,r为内切圆半径,∑表示循环和.为证明此不等式,先看下面的两个引理:引理1∑a4=2(a2b2+b2c2+c2a2)?16S2.证明由海伦公式得S=p(p?a)(p?b)(p?c)得p(p?a)(p?b)(p?c)=S2.∵p(p?a)(p?b)(p?c)=(a+b+c)(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)/16=[(b+c)+a]?[(b+c)?a]?[a?(b?c)]?[a+(b?c)]/16=[(b+c)2?a2]?[a2?(b?c)2]/16=[2b c+(b2+c2?a2)]?[2bc?(b2+c2?a2)]/16=[4b2c2?(b2+c2?a2)2]/16=(2a2b2+2… 相似文献
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笔者近日在竞赛教学中遇到如下赛题:问题(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设a,b,c为正实数,且d+6+c=1,求证:(a~2+b~2+c~2)(a/b+c+b/a+c+c/a+b)≥1/2本文在此将先给出上述问题的简洁证明,然后探讨与著名不等式(Nesbitt不等式)相关的不等式链,现与读者共享11问题的简洁证明为方便,我们先介绍著名Nesbitt不等式:若 相似文献
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文[1]中给出了下面的不等式:设a≥b≥c>0,则ba cb ac≥13(a b c)(a1 1b 1c).(1)本文先将不等式推广为:命题1设a≥b≥c>0,x≥y>0,则ba cb ac≥yx y(a b c)(1a 1b 1c) 3(xx- y2y).(2)证明a2b b2c c2a-(ab2 bc2 ca2)=(b-c)a2 (c2-b2)a (b2c-bc2)=(b-c)[a2-(b c)a bc]=(b-c)(a-b)(a 相似文献