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统编高中数学课本第三册第144页,有这样一道例题:“平面上有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线把平面分成f(n)=(1/2)(n~2+n+2)个部分。”课本是用数学归纳法证明的。可是解析表达式f(n)=(1/2)(n~2+n+2),究竟是怎样得出来的呢?也就是说,下面的问题该如何求解呢? 例1.平面上有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,问这n条直线把平面分成多少个部分? 显然,这n条直线把平面分成的部分数,是由n决定的,是n的函数,记为f(n)。f(n)是定义在整个自然数集N上的函数,其取值集也是N。我们的问题,就是要求出f(n)依赖于n的解析表达式。为此,我们从n开头的几个值,来看一 相似文献
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不同形式的数学归纳法是因为它们第二步骤递推方式的不同,如由n=k成立证明到n=k+1成立是第一数学归纳法,由n≤k成立证明到n=k+1成立是第二数学归纳法,那么由n≤k成立证明到n≤2k成立是不是数学归纳法呢? 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(6)
<正>用数学归纳法证明数学命题时的基本步骤:(1)检验n=n_0(n_0∈N*)时成立;(2)假设n=k(k∈N*,k≥n_0)时成立,由n=k时成立推导n=k+1时成立,于是对一切n∈N*,n≥n_0,命题都成立,这种证明方法叫作数学归纳法。要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推。运用数学归纳法证明命题要分为两步,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,这两步缺一不可。 相似文献
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数学中的猜想能力,是一种高级的创造性思维能力。伟大科学家牛顿说过:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”因此,培养学生的猜想能力,是数学教学中一个重要任务。本文谈谈自己在例题教学中抓住有利时机培养学生猜想能力的一些做法与体会。 1 变封闭为开放,提供猜想机会 在教学中,我们可以将教材上封闭型的例、习题改造成开放型的问题,为学生提供猜想的机会,调动他们猜想的积极性,强化他们的猜意识。 例1 平面内有n条直线,其中任问两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于1/2n(n-1)(高中《代数》下册P_120例3)。 对于该题的教学,我不给出公式,而是要学生先探讨f(n)的解析式,然后证明。具体做法是,第一步,让学生根据题意作出n=1,2,3,4,5时的图形,由图形分别写出f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)的数值;第二步,让学生观察分析第一步求出的f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)的结果。归纳其数值规律;第三步,将第二步的数值规律进行推广,猜想出一个公式:f(n)=1/2n(n-1);第四步,用数学归纳法证明这一公式。 相似文献
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陈奖沾 《赣南师范学院学报》1996,(6):81-82
<正>这类递推公式,它并没有直接给出其原函数的全体,而且对较大的n,将遇到繁复的迭代运算,在应用上有明显的局限性和不便性.本文通过解决递归方程a_(n+2)=f(n)a_n+g(n)的求解问题,然后将探求直接公式的问题归结为上述递归方程的求解问题,从而一举推导出了公式(1)～(4)的相应的直接求积分的新公式.1 递归方程a_(n+2)=f(n)a_n+g(n)的解递推关系有广泛的应用,但很多递推关系至今仍未研究出解法,下面的定理是笔者用数列变换法求得的,为节省篇幅,我们略去探索过程,仅给出数学归纳法的严格证明. 相似文献
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席明闰 《中学生数理化(高中版)》2005,(17)
由递推公式确定数列的通项公式问题,通常可对递推公式进行变换,转化成等差数列或等比数列问题,也可通过联想构造或猜想证明把问题转化.一、an+1=an+f(n)型例已知数列{an},a1=1且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k.其中k=1,2,3,…,求{an}的通项公式. 相似文献
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葛云书 《苏州教育学院学报》1985,(1)
数学归纳法是数学证明中的一种重要方法,它适用于可以递推的有关自然数的命题,在初等数学和高等数学中都有广泛的应用。 数学归纳法是通过如下两个步骤来证明某些与自然数n有关的数学命题的证明方法: (1)验证当n取第一个值(如n=1)时,命题为真; (2)假设当n=k(k∈N)时命题为真,证得当n=k+1时命题也真; 相似文献
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根据递推关系式写出数列的通项公式既是考查学生对数列这部分知识是否掌握的试金石,也是考查学生的观察能力、推理能力、判断能力的重要手段.因此,对学生递推能力的考查一直是高考关注的重点.本文将对高中阶段出现的几种已知递推关系求数列通项公式的方法进行探讨.※递推公式形如an+1=an+f(n)的数列由上式可得:an=an-1+f(n-1)=an-2+f(n-2)+f(n-1)=…=a1+f(1)+f(2)+f(3)…+f(n-1)例:数列｛an｝中,a1=1且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k∈N+,求数列｛an｝的通项公式.解:∵a2k+1=a2k-1+(-1)k+3k,a2k+1-a2k-1=(-1)k+3k,∴a3-a1=(-1)1+31,a5… 相似文献
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我们在数学归纳法的学习和研究中曾遇到如下两个命题:(一)平面上有 n 条直线,其中任意两条不平行,任意三条不过同一点,则此 n 条直线把平面分割为1/2(n~2+n+2)块;(二)空间有 n 个平面.其中任意两个不平行,任意三个不过同一条直线,任意四个不过同一点,则此 n 个平面把空间分割为 相似文献
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数学归纳法是证明与自然数n有关的命题P(n)的数学思想方法.近年来的高考时有涉及. 用数学归纳法证题。“奠基”和“递推”这两步缺一不可,并需把握好其中的一些关键点. 一“奠基”步不可或缺例1 设n为正奇数,求证,n4+14n2+49是64的倍数. 证明:(1)当n=1时,14+14·12+49=64是64的倍数; (2)假设当n=2k-1(k∈N*)时,n4+14n2+49是64的倍数.令Sn=n4+14n2+49,则当,n=2k+1时,S2k+1-S2k-1=[2k+1)4+ 相似文献
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在高中代数(甲种本)第二册第二章的例题或习题中,出现凸n边形对角线条数的公式,平面内某些直线交点个数的公式,n个自然数的平方和公式等,对于这些公式,教材中均是要求用数学归纳法来证明的,但是,在教学中往往有人提出:这些结论如何得到的呢?人们觉得,难处并不在于证明这些命题的正确性,而在于如何探求到这些结论,本文目的仅在于对培养学生探究能力方面作些探讨。大家知道,现实生活中许多问题都可以看成是以自然数为自变量的函数。例如安排循环球赛的场数f(n)与球队数n的关系;多边形的对角线条数f(n)与边数n的关系等,在研究这 相似文献
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题目设函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.(1)证明:2≤xn相似文献
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数学归纳法是数学中一种重要的证题方法,常用来证明与自然数n有关的数学命题。用数学归纳法证明的一般步骤是: 第一步:验证当n取第一个值时,（如n=1或 n=2等）这个命题的结论是正确的。 第二步:假设当n=k（k为自然数时命题的结论正确。在这个基础上证明当n=k 1时,这个命题的结论正确。 数学归纳法中,第一步是递推的基础,第二步是递推的根据,两步缺一不可。 1.证明数列各项和的问题 证明数列各项和的问题时,可在归纳假设的两边,同加上第k 1项,然后用数学公式,对右边进行运算, 相似文献
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新教材将数列放在高一讲授 ,并提出了递推公式的概念 ,笔者认为这是一个很重要的信息 ,许多数列问题中的通项主要由递推关系给出的 ,递归数列在竞赛试题中也是屡见不鲜 .本文举例谈谈线性递归数列求通项的几种常见类型和方法 ,旨在抛砖引玉 .1 可化为 an+1 -an =f (n)型的递归数列方法 :an =a1 + ∑nk=2(ak -ak-1 ) =a1 +∑nk= 2f (k -1)例 1 已知递归数列a1 =2an -an-1 =2 n (n≥ 2 ) .求 an.解 :an =a1 + ∑nk=2f (k -1) =a1 + ∑nk=2(2 k) =n2 + n.2 可化为 an+1 an=f (n)型的递归数列方法 :变形为 anan-1=f (n -1) ,an-1 an-2=f (n -… 相似文献
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数学归纳法可证明与自然数有关的命题,而证明的核心在于证明n=k＋1时命题的正确性．证明的过程中必须运用n=k时的归纳假设,故寻找n=k＋1时,f（k＋1）与n=k时f（k）间的递推关系式是证明数列问题的关键．常见的有以下几类： 相似文献
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卢勇明 《数学学习与研究(教研版)》2008,(10)
用数学归纳法证明整除性问题,如:求证f(n)能被a整除,设f(n)是随自然数变化的已知整式(或整数),a是给定的整式(或整数).由假设n=k时命题成立,来推证n=k+1时命题也成立,是最关键的一步,也是最难证明的一步.如果用f(k+1)除以f(k),求出它的余数(或余式),即设f(k+1)=qf(k)+r,q为商,r为余数(或余式).若r能被a整除,则由假设可知f(k+1)能被a整除,即n=k+1时命题也成立.这样,就极大地简化了证明过程. 相似文献
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现行高中《代数》下册第 12 5页第 6题有如下题目 :用数学归纳法证明 :1 12 2 132 … 1n2 <2 - 1n(n∈N,且 n≥ 2 ) .(以下称原命题 )受原命题启发 ,根据“a相似文献