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《中学数学研究(江西师大)》2003,(3):50-50
2003年1月15日上午8:00至12:30 一、设点I,H分别为锐角△ABC的内心和垂心,点B1,C1分别为边AC,AB的中点.已知射线B1I交边AB于点B2(B2≠B),射线C1I交AC的延长线于点C2,B2C2与BC相交于K,A1为△BHC的外心.试证:A,I,A1三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2的面积相等. 相似文献
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题目 设点I、H分别为锐角△ABC的内心和垂心 ,点B1 、C1 分别为边AC、AB的中点 .已知射线B1 I交边AB于点B2 (B2 ≠B) ,射线C1 I交AC的延长线于点C2 ,B2 C2与BC相交于K ,A1 为△BHC的外心 .试证 :A、I、A1 三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2 的面积相等 .1 试题的背景此题是以下面两个命题为背景改造而来的 .命题 1 三角形的两顶点与其内心、外心、垂心中的两心四点共圆的充分必要条件是另一顶点处的内角为 60° .证明 :当三心有两心重合 ,或三角形为直角三角形时 ,结论显然成立 .下面讨论三心两两不重合且三角形… 相似文献
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王庆金 《中学数学研究(江西师大)》2013,(8):49-50
赛题 如图1,在锐角△ABC中,AB＞AC,M、N是边BC上不同的两点,使得∠BAM=∠CAN.设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2.证明:O1、O2、A三点共线. 相似文献
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题目如图1,在锐角△ABC中,已知∠A〉60°,H为△ABC的垂心,点M、N分别在边AB、AC上,∠HMB=∠HNC=60°,O为△HMN的外心,点D与A在直线BC的同侧, 相似文献
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王庆金 《中学数学研究(江西师大)》2014,(1):F0004-F0004
正原赛题如图1,△ABC为锐角三角形,AB≠AC.以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点N和M.记BC的中点为O,∠BAC和∠MON的角平分线交于R.求证:△BNR的外接圆和△CMR的外接圆有一个公共点在BC边上.证明:如图1,连结MN、BM、CN,则∠BMC=∠CNB=90°.记BM与CN的交点为H(△ABC的垂心),即知A、M、H、N四点共圆(记为⊙O_3).设∠BAC的角平分线交BC于点W,则AW经过 相似文献
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以△ABC外心O为原点建立坐标系,R为外接圆半径,则顶点坐标可设为 A(Rcosα,Rsinα), B(Rcosβ,Rsinβ), C(Rcosγ,Rsinγ). 设H(k,l)为△ABC垂心,则可以证明例1.(欧拉定理)试证△ABC的外心O、垂心G和垂心H共线. 相似文献
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王东青 《数理天地(初中版)》2014,(11):28-28
题目 如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于点F,OE⊥OB交BC边于点E． 相似文献
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武心录 《连云港师范高等专科学校学报》1995,(4)
三角形的“外心”、“垂心”、“重心”共线,该直线称为欧拉线。欧拉线反映了三心之间的一种内在联系。三角形的“外心”、“垂心”、“重心”之间还有许多有趣的性质。 一、若△ABC的外心为O、重心为G、垂心为H,容易证明这三心之间的距离具有度量关系GH=2OG 二、若锐角△ABC的三边中点分别为D、E、F,△DEF的高线足分别为D′、E′、F′,容易证明△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的内心;若△ABC是钝角三角形,则△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的一个傍心。 相似文献
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文[1]证明了三角形垂心的一个性质:定理0若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.本文将这一关于垂心的性质推广至平面上任一点,证明垂足三角形的一个性质.过△ABC所在平面上任一点P,作边BC、CA、AB边所在直线的垂线,垂足分别为D、E、F,则△DEF叫做△ABC关于点P的垂足三角形.定理1设△ABC关于任一点P的垂足三角形为△DEF,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,证则明△DEF≌△H1H2H3.如图1,依题设知FH2∥PD… 相似文献
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第一天 1．如图1,在锐角△ABC中,已知AB〉AC,∠BAC的角平分线与边BC交于点D,点E、F分别在边AB、AC上,使得B、C、F、E四点共圆．证明：△DEF的外心与△ABC的内心重合的充分必要条件是BE＋CF=BC． 相似文献
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命题设锐角△ABC的外心是M，过A，B，M的圆交直线BC于P，交直线AC于Q，证明直线CM垂直于直线PQ（图1）．这是第34届IMO土耳其国家最后选拔赛试题的第二题[1]．事实上，该命题条件过强，若将题设中的“锐角△ABC”改为“任意凸ABC”；“过点A，B，M的圆”改为“过A，B任作一圆”．命题的结论仍然成立．推广设任意凸ABC的外心为M，过点A，B作任一圆交直线BC于点P，交直线AC于点Q，则CM上PQ（图2）．证过C作QM的切线CT．．”．ZAer2上ABC．”．’／ABC一ZCQP，．”．ZACT一LCQP，．“．Po／／er，又”．“CM上C… 相似文献
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《中学数学》1995年第10期上刊登了第34届IM0土耳其国家队最后选拔赛试题及解答,其中第二题是这样的: 设锐角三角形ABC的外心是M,过点A、B、M的圆交直线BC于点P,交直线AC于点Q。证明,直线CM垂直于直线PQ。 原文解答采用的方法是证明M为△PCQ的垂心,思路很好,但在证明中有个错误,就是“故知∠MCQ=∠MBQ,又因MB=MC,MQ为公共边,知△MDQ≌△MCQ”,而由“边、边、角”是不能推出两三角形全等的,还需证∠CQM=∠MQB,(∵ 相似文献
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我们知道:三角形的内心,外心,重心,垂心等都有其独特的性质,这里,我们将介绍一个三角形外心与垂心相互联系的等式。即定理:三角形任一顶点至垂心的距离,等于外心至对边距离的二倍。已知H是△ABC的垂心,O是外心,OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F, 求证:AH=2OD,BH=2OE,CH=2OF。证明:分两种情况讨论 相似文献
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2003年中国数学奥林匹克 总被引：2，自引：0，他引：2
第一天 ( 2 0 0 3 0 1 1 5)一、设点Ｉ、Ｈ分别为锐角△ＡＢＣ的内心和垂心 ,点Ｂ1、Ｃ1分别为边ＡＣ、ＡＢ的中点 .已知射线Ｂ1Ｉ交边ＡＢ于点Ｂ2 (Ｂ2 ≠Ｂ) ,射线Ｃ1Ｉ交ＡＣ的延长线于点Ｃ2 ,Ｂ2 Ｃ2 与ＢＣ相交于Ｋ ,Ａ1为△ＢＨＣ的外心 .试证 :Ａ、Ｉ、Ａ1三点共线的充分必要条件是△ＢＫＢ2 和△ＣＫＣ2 的面积相等 .二、求出同时满足如下条件的集合Ｓ的元素个数的最大值 :(1)Ｓ中的每个元素都是不超过 10 0的正整数 ;(2 )对于Ｓ中任意两个不同的元素ａ、ｂ ,都存在Ｓ中的元素ｃ ,使得ａ与ｃ的最大公约数等于 1,并且ｂ与ｃ的最大… 相似文献