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1.
“三线合一”指的是《几何》第二册第67页上的一个推论:“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合.”这是等腰三角形的重要性质之一,运用时应作如下理解:如图1,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,在下列三个条件中:(1)∠BAD=∠CAD;(2)AD⊥BC;(3)BD=DC,满足其中任意一个条件时,都能立刻推出其余两个成立.下面举例说明它的应用.一、证明线段相等例1如图2,△ABC中,D、E在BC边上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE.证明作AF⊥BC于F,则由“三线合… 相似文献
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初中平面几何中关于证明线段等积式的问题 ,是常见的一种题型 ,它是教学的一个重点.现举例介绍八种常用方法.一、利用平行线分线段成比例定理例1 如图(1) ,AD是△ABC的∠A的平分线 ,交BC于D点 ,求证AB·DC=BD·AC.AB2∶AC2=PB∶PC.四、利用射影定理例4 如图(4) ,△ABC中 ,AB=AC ,以AB为直径作圆交BC于D ,O是圆心 ,DM是⊙O的切线交AC于M ,求证DC2 =AC·CM.思路分析 :证明△ADC是Rt△ ,并且DM⊥AC ,就可利用射影定理证得结论.五、利用圆幂定理例5 如图(5… 相似文献
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在平面几何问题中,根据基本图形性质寻找证题思路,往往能收到事半功倍之效。本文试就此作一探讨。 如图1,Rt△ACB中,CD⊥AB,则(1)∠1=∠B,∠2=∠A;(2)△ACB∽△ADC∽△BDC;(3)CD2=AD·DB,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB;(4)AC2∶BC2=AD∶BD,CD2∶BC2=AD∶AB,AC·BC=CD·AB。这是平面几何中的一个重要基本图形,在解决一些有关线段的问题中,利用如上性质,能较快找到证题思路,达到迅速、简洁解题的目的。 例1-如图2,O为正方… 相似文献
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吕冬梅 《中学数学教学参考》1999,(11)
1998年《数学教师》第4期刊载了吴传启先生的文章《四个平均值=四条平行线》.此文讨论了两个正数的平均值与一个梯形的四条平行线之间的对应相等关系.其结论如下:梯形ABCD的上底AB=a,下底DC=b,对角线交于O点,过点O作EF∥AB;作PQ∥AB且使梯形ABQP和梯形PQCD相似;作GH为中位线;作MN∥AB且使梯形ABNM和梯形MNCD等积,则有:(1)EF=21a+1b(调和平均值);(2)PQ=ab(几何平均值);(3)GH=a+b2(算术平均值);(4)MN=a2+b22(二次幂平均值… 相似文献
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边团结 《中学数学教学参考》1997,(5)
数学中考综合训练题陕西师大附中边团结一、选择题1.如果3x-2y=0,则xy为().A.23B.322C.23或无意义D.无法确定2.如图1,在△ABC中,DE∥BC,S△ADE=S梯形DBCE,则DEBC为().A.12B.22C.14D.233.... 相似文献
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谢守宁 《中学数学教学参考》1999,(11)
文[1]给出了三角形内接平行四边形的两个性质定理,笔者发现很容易将其移植到空间中去.为了便于说明,先将文[1]中两个定理抄录如下:定理1 △ABC中,D为BC上一点,E、F分别在AC、AB上,且DE∥AB,DF∥AC,分别记△BFD、△CED、AFDE、△ABC的面积为S1,S2,S′,S△,则(1)S′=2S1S2;(2)S△=(S1+S2)2.(图1)定理2 △ABC中,四边形DEFG为内接平行四边形,分别记△ADE、△BDG、△EFC、EFGD、△ABC的面积为S1,S2,S3,S′,… 相似文献
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例1 如图(1) ,在四边形ABCD中 ,AB⊥BC ,AD⊥DC ,∠A=135°,BC=6 ,AD=I23 ,求四边形ABCD的面积.学生在解这道题时 ,往往急于连接对角线AC或BD ,之后就束手无策了.下面举例介绍求不规则四边形面积的两种方法.一、补形法如例1 可用两种方法 :1 将原题中的图形补添辅助线成图(2) ,有S 四边形ABCD =S△OBC -S△OAD= 12BC·OD-12AD·OD= 12BC2- 12AD2= 12 36-12 =12.2 将原题中的图形补添辅助线成图(3) ,有S 四边形ABCD=S 矩形… 相似文献
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等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合.这就是等腰三角形的“三线合一”定理.这个定理可分解为下面三个定理:(1)在△ABC中,若AB=AC,AD是顶角平分线,则ADBC,BD=DC.(2)在△ABC中,若AB=AC,AD是底边上的高,则BD=DC,∠DAB=∠DAC.(3)在△ABC中,若AB=AC,AD是底边上的中线,则AD上BC,∠DAB=∠DAC.由此可知,等腰三角形“三线合一”定理有三个基本功能:(1)利用“三线合一”定理可以证明两条线段相等.(2)利用“三线合一”定理… 相似文献
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垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线,它具有如下重要性质:线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等.求解某些几何证明问题,从构造线段垂直平分线人手,然后利用其性质,可简化思维过程,收到事半功倍的效果.例1如图1,D、E是△ABC的边BC上两点,AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE.证明过A作AF⊥BC于F.∵AB=AC,∴BF=CF.∵BD=CE,∴DF=EF.∴AF是DE的垂直平分线.∴AD=AE.例2如图2,E为△ABC的∠A的平分线AD上一点,AB>AC.求证:AB… 相似文献
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朱开义 《中学数学教学参考》1999,(9)
重叠原理 设两个同类量A、B,其重叠部分的量为C,则A、B两量的总量V=A+B-C(重叠部分只计一次).有些数学问题用重叠原理来解,显得新颖巧妙,简捷明快.一、直接应用图1例1 如图1,两个半径为1的14圆扇形A′O′B′和AOB叠放在一块,POQO′是正方形,则整个阴影图形的面积是 .(1998年希望杯初一赛题)解:由重叠原理S阴=2S扇AOB-S正方形OPQO′=π-12.例2 如图2,Rt△ABC,∠ACB=90°,D、E点在AB上,AD=AC,BE=BC,则∠DCE的大小是( ).A… 相似文献
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全等三角形是能够完全重合的两个图形.根据三角形全等的定义,可得如下性质:1.全等三角形的对应边相等;2.全等三角形的对应角相等.对于某些几何竞赛题,考虑构造全等三角形来利用上述性质,可使其解答巧妙、简捷.例1如图1,△ABC中,AB=5,AC=3,则BC边上的中线AD的长l的取值范围是()(A)1<l<4;(B)3<l<5;(C)2<l<3;(D)0<l<5.(1997年希望杯全国数学邀请赛初二试题)解延长AD到E,使DE=AD,连BE,那么AE=2l.BD=CD,1=2,ED=AD,△BDE△… 相似文献
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《中学数学教学参考》1999,(9)
分割梯形面积的一个不等式定理 在梯形ABCD中,底AB=a,CD=b,a>b,过对角线交点的直线l分梯形为两部分,其面积之差为Δ,梯形面积为S,则ΔS≤(a-b)(a2+b2+4ab)(a+b)3(=|l∥AB).设梯形对角线交点为O,过O作EF∥AB,M、N分别为AB、CD的中点,则MN过点O,如图.以下用△xyz同时表示三角形和它的面积,Sxyzw表示四边形的面积.我们分两种情形讨论.(1)l处于PQ位置.作ER∥CB交OP于R,则R在OP上,则△PRE≥0,从而△POE≥△QOF,同样,△… 相似文献
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证明三角形全等一般有下面三种思路.一、两个三角形中,已知两边对应相等,需证出它们的夹角对应相等,或者第三边对应相等.例1已知:如图1,B为AC的中点,BE=BD,∠1=∠2.求证;∠A=∠C.分析显然需证△ABE≌△CBD,已有AB=BC,BE=BD,还需要证明它们的夹角∠ABE=∠CBD,而∠1=∠2,它们的夹角相等是显然的.证明∠1=∠2(已知),∠1+∠3=∠2+∠3(等式性质),即∠ABE=∠CBD.在△ABE和△CBD中,AB=BC,BE=BD,∠ABE=∠CBD,△ABE≌△CBD(SAS… 相似文献
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胡兴余 《中学数学教学参考》1999,(4)
三角形中内接平行四边形是一个重要的基本图形.本文介绍这类图形的一个面积定理,运用它便可有效地解决与这类图形有关的问题.图1定理1△ABC中,D为BC边上一点,E、F分别在AC、AB上,且DE∥AB,DF∥AC,分别记△BFD、△CED,AFDE,△... 相似文献
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一题多解有利于开拓思路,培养思维能力.本文将研究一道几何题的多种证法,供读者参考.题目如图1,已知ABC为等边三角形,延长BC到D,又延长BA到E,使AE=BD,连结CE、DE.求证:CE=DE.分析利用全等三角形证明两条线段相等是最基本而又最常用的方法.但在给定图形中并没有以CE、DE为一对对应边的全等三角形,因此必须添加辅助线,构成证题所需的全等三角形.具体添加辅助线的方法有如下六种:(1)在AE上取一点F,使AF=CD,连结DF(如图1),则EF=BC=AC,BF=BD.于是,欲证CE=D… 相似文献
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一、填空题 1.AB是O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若AP:PB=3:1,,则CD等于 2.如图1,CD是O的直径,AB是弦,AB⊥CD,垂足为E,如果CE=2,AB=8,那么ED=_,O的半径r=_.(江苏省徐州市) 3.如果O的半径为5cm,一条弦长为8 cm,那么这条弦的弦心距为 cm(安徽省) 4.在圆内接四边形ABCD中,如果∠A:∠B:∠C=2:3:4,那么∠D= (吉林省) 5.如图 2,BA是半圆O的直径,点C在O上.若∠ABC=50°,则∠A= (吉林省) 6.如图3,AB是O的直径… 相似文献
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三角形三边关系定理及其推论有多方面的应用,现举例分述如下:一、证明线段间的不等关系.常用于证明两线段的和(差)大于(小于)第三线段.一般是选择或构造三角形,使这个三角形以相关线段为边,然后用定理或推论证明.例1如图,已知D、E是△ABC内的两点.求证:AB+AC>BD+DE+EC.证明延长DE交AC于点G,延长ED交AB于点F.在△AFG中,AF+AG>FG.(1)在△FBD中,FB+FD>BD.(2)在△GCE中,GC十EG>EC.(3)将(1)、(2)、(3)式相加,得AF+AG+FB+FD… 相似文献
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金耀辉 《中学数学教学参考》1997,(12)
非相似三角形中成比例线段定理安徽省舒城秦桥中学金耀辉相似三角形的对应边成比例是众所周知的,然而在符合某些条件下的非相似三角形中也有成比例线段.如图1,△ABC∽△DEF,则ABDE=BCEF,如果AB≠BC,不妨设AB>BC,我们把图1中△ABC的B... 相似文献