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1.
选择题1 下列各式 :( 1) 2 0 0 1 {ｘ|ｘ≤ 2 0 0 3};( 2 ) 2 0 0 3∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3};( 3) {2 0 0 3} {ｘ|ｘ≤ 20 0 3};( 4)Φ∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3},其中正确式子的个数为 ( )Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ 3 Ｄ 42 满足ｆ(π +ｘ) =- ｆ(ｘ) ,ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ)的函数 ｆ(ｘ)可能是 ( )Ａ ｓｉｎｘ Ｂ ｓｉｎ ｘ2 Ｃ ｃｏｓ2ｘ Ｄ ｃｏｓｘ3 若函数 ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1)为减函数 ,那么 ｇ(ｘ) =ｌｏｇ1ａ1ｘ - 1的图象是 ( )Ａ ＢＣ Ｄ4 如果ａ·ｂ =ａ·ｃ且ａ≠ 0 ,那么 ( )Ａ ｂ =… 相似文献
2.
根据欲证不等式的某些特点 ,引入适当的函数、数列、方程、图形等 .并利用它们的性质证明不等式的方法 ,称为构造法 .以下分别说明几种常见的构造对象 .一、二次函数对二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(α≤ｘ≤ β) ,若ａ >0 ,则 ｆ(ｘ) ≥ 0 Δ≤ 0 ;-ｂ2ａ∈(α ,β)时ｍａｘ{ ｆ(α) ,ｆ( β) }≥ ｆ(ｘ) ≥ｆ -ｂ2ａ ;-ｂ2ａ (α ,β)时 ,ｆ(ｘ)在 ｆ(α)与ｆ( β)之间 .利用ｆ(ｘ) ≥ 0 Δ ≤ 0证明不等式的方法也称为判别式法 .它的用法是 :当欲证之不等式呈现Ｂ2 ≤ ( ≥ )ＡＣ这样的与判别式类似的形式时 ,可考虑构造二次函数 ;… 相似文献
3.
《现代中小学教育》2000,(6)
一、填空题 (15分 )1 用科学记数法表示 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 2 9=.2 不等式组12 ｘ≥ 1ｘ - 3≤ 0的解集是 .3 (ｘ -ａ) (ｘ ａ) (ｘ4 ａ4 ) (ｘ2 ａ2 ) =.4 当ｘ时 ,代数式13(ｘ - 1)5的值不是正数 .5 方程组 ａｘ ｂｙ =13ａｘ - 4ｂｙ =18和 4ｘ - ｙ =53ｘ ｙ =9有相同的解 ,那么ａ ｂ的值为 .6 若 |ｘ 1| (ｙ - 2 ) 2 =0 ,则ｘｙ =.7 若有理数ａ满足 ａ|ａ|=- 1,则ａ是 .8 若 11- |1-ｘ|有意义 ,则ｘ取 .9 12 5ａ3ｂ3÷ 5ａｂ =.10 [(-ｘ) 3]4 =.11 若ａ <0 <ｂ ,且 |ａ|>ｂ ,则化简 |ａ ｂ|- |ａ -ｂ|- |ｂ -ａ|=.12… 相似文献
4.
大家都知道一元二次不等式在 Δ=b2 -4ac>0时的解集公式与相关一元二次方程的解的关系 ,即不等式 ( x - x1 ) ( x- x2 ) <0( x1 0 ( x1 x2 }.事实上 ,这个解集公式的逆命题也是正确的 ,即当 x1 x2 ( x1 0 .灵活运用这个结论对解、证一些常见的有理不等式是非常有用的 ,可以有效地降低计算的复杂性 ,提高解不等式的速度和正确性 .本文试就它的运用作一些探讨 .1 解形如… 相似文献
5.
林明成 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):15-15
本文通过几例 ,说明“已知一元二次不等式的解集求参数及可化为此类型的问题”的解法 .其根据是一元二次不等式的解集一般是以相应方程的根为端点的 .例 1 不等式ａｘ2 +5ｘ +ｂ>0的解集是ｘ 13<ｘ <12 ,求ａ、ｂ的值 .解 :由题设知 13、12 应是方程ａｘ2 +5ｘ +ｂ=0的两根 .由韦达定理得13+12 =- 5ａ,13·12 =ｂａ ,即 ａ =- 6 ,ｂ =- 1.评注 :本题解法紧扣方程与不等式的关系 ,利用韦达定理 ,迅速获解 .例 2 若关于ｘ的不等式ｘ >ａｘ +32 的解集为 {ｘ|4 <ｘ <ｍ},求实数ａ、ｍ的值 .解 :令ｘ =ｔ,则ｔ∈ ( 2 ,ｍ) .原不等式化为ａｔ2 … 相似文献
6.
不等式ｍ <ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) <ｎ(ｍ <ｎ、ｇ(ｘ) ≠ 0 )等价于 [ｆ(ｘ) -ｍｇ(ｘ) ]· [ｆ(ｘ) -ｎｇ(ｘ) ]<0 .证明 1°若 ｇ(ｘ) >0原不等式等价于ｍｇ(ｘ)<ｆ(ｘ) <ｎｇ(ｘ) ,即 [ｆ(ｘ) -ｍｇ(ｘ) ][ｆ(ｘ) -ｎｇ(ｘ) ]<0 ;2°若ｇ(ｘ) <0原不等式等价于ｎｇ(ｘ) <ｆ(ｘ)<ｍｇ(ｘ) ,即 [ｆ(ｘ) -ｎｇ(ｘ) ][ｆ(ｘ) -ｍｇ(ｘ) ]<0 .综述无论 ｇ(ｘ) >0或 ｇ(ｘ) <0均有ｍ <ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) <ｎ [ｆ(ｘ) -ｍｇ(ｘ) ][ｆ(ｘ) -ｎｇ(ｘ) ]<0 .灵活应用上述等价关系解有关问题 ,往往会化繁为简、化难为易 ,起到事半功倍之效 .现举例说明如下 :例… 相似文献
7.
李雨红 《中学生数理化(高中版)》2003,(Z1)
例1 ｆ(ｘ)是定义在[-1,1]上的奇函数,ｆ(ｘ)=ｇ(2-ｘ),而ｘ∈[2,3]时,ｇ(ｘ)=-ｘ2+4ｘ+ｃ(ｃ为常数).(1)求ｇ(2)及ｃ的值.(2)求ｆ(ｘ)的表达式.(3)对任意ｘ1、ｘ2∈[0,1]且ｘ1≠ｘ2,求证:|ｆ(ｘ1)-ｆ(ｘ2)|≤1.解:(1)ｇ(2)=ｆ(0)=0,ｃ=-4.(2)ｆ(ｘ)=ｇ(2-ｘ)=-ｘ2,ｘ∈[-1,0];ｘ2,ｘ∈(0,1].(3)欲证的|ｆ(ｘ1)-ｆ(ｘ2)|≤1|ｘ22-ｘ21|≤1-1≤ｘ22-ｘ21≤1.又因为ｘ1、ｘ2∈[0,1],ｘ1≠ｘ2,故ｘ21∈[0,1],ｘ22∈[0,1].先视变元ｘ2为主元,再视ｘ1为主元,连续放缩,-1≤-ｘ21≤ｘ22-ｘ21≤1-ｘ21≤1,故原不等式成立.例2 ｆ(ｘ)=ｘ3+ａｘ+ｂ定… 相似文献
8.
字母讨论题是目前高考试题的热点之一 ,1 999年高考试题中有三个字母讨论题 ,很多学生做这类题不能把握问题关键 ,本文将对怎样进行分类讨论作进一步的探讨。解字母讨论题不一定要急于找到按什么分类标准进行分类讨论 ,而可以是探讨从怎样解这种题型入手 ,逼出分类的方法。例 1 解关于ｘ的不等式 (2ａ) ｘ2 >ａ·2 -ｘ,(ａ >0 )。解 (可作为指数不等式来求解 )两边取以 2为底的对数 ,得 :(ｌｏｇ2 ａ 1 )·ｘ2 >-ｘ ｌｏｇ2 ａ①当ｌｏｇ2 ａ 1 =0 ,即ａ =1 / 2时 ,不等式解集为 :{ｘ|ｘ >-1 } ;②当ｌｏｇ2 ａ 1≠ 0时 ,不等式变为 … 相似文献
9.
20 0 2年高考有一道数学题为 :已知ａ >0 ,函数 ｆ(ｘ) =ａｘ -ｂｘ2 .(1)当ｂ >0时 ,若对任意ｘ∈Ｒ ,都有ｆ(ｘ) ≤ 1,证明 :ａ≤ 2ｂ ;(2 )当ｂ >1时 ,证明 :对任意ｘ∈ [0 ,1],｜ｆ(ｘ)｜≤ 1的充要条件是ｂ- 1≤ａ≤ 2 ｂ ;(3)当 0 <ｂ≤ 1时 ,讨论 :对任意ｘ∈[0 ,1],｜ｆ(ｘ)｜≤ 1的充要条件 .绝大多数考生做此题时无所适从 ,根本不知从何下手 ,参考答案给出的方法比较抽象 ,难于理解 ,笔者有一解法 ,介绍如下 :解 (1)由已知ａｘ -ｂｘ2 ≤ 1,∴ ｂｘ2 -ａｘ +1≥ 0 .∵ ｘ∈Ｒ ,ｂ >0 ,∴ Δ =ａ2 - 4ｂ≤ 0 ,∴ ａ≤ 2 ｂ .… 相似文献
10.
陈吉猛 《中学生数理化(高中版)》2003,(Z1)
下面,通过一些具体例子说明函数思想在解题中的运用. 一、比较大小例1 试比较|ａ+ｂ|1+|ａ+ｂ|与|ａ|+|ｂ|1+|ａ|+|ｂ|的大小.解:对于函数ｆ(ｘ)=ｘ1+ｘ=1-11+ｘ,易知当ｘ∈(-1,+∞)时,其为增函数.而0≤|ａ+ｂ|≤|ａ|+|ｂ|,故|ａ+ｂ|1+|ａ+ｂ|≤|ａ|+|ｂ|1+|ａ|+|ｂ|.注:通常可以利用函数的单调性解决比较大小的问题.二、证明不等式例2 已知实数ａ、ｂ、ｃ∈(0,1),证明:不等式ａ(1-ｂ)+ｂ(1-ｃ)+ｃ(1-ａ)<1总成立.证明:欲证不等式等价于(1-ｂ-ｃ)ａ+(1-ｃ)(ｂ-1)<0.记ｆ(ａ)=(1-ｂ-ｃ)ａ+(1-ｃ)(ｂ-1),故欲证原不等式成立,只需证明ａ∈… 相似文献
11.
某次高三期中考试有这样一道试题：当实数a取何值时，函数y=loga(a^2x)&;#183;loga^2(ax)的定义域是不等式4^x-1-5&;#183;2^x+16≤0的解集，值域{y|-1/8≤y≤0}. 相似文献
12.
王连笑 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):32-33
一、选择题 :1.已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｍｘ +4 +2ｍ的定义域是Ｒ ,值域是 [1,+∞ ) ,则实数ｍ的集合为 ( ) .Ａ .{ｍ|- 1≤ｍ≤ 3} Ｂ .{ｍ|1- 5<ｍ <5}Ｃ .{- 1,3} Ｄ .{ｍ|ｍ <1或ｍ >3}2 .要使函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +(ａ - 6 )ｘ +2对一切正整数ｘ都取正值 ,其充要条件是 ( ) .Ａ .ａ =3 Ｂ .2 <ａ <18 Ｃ .ａ >2 Ｄ .以上都不对3.对每一对实数ｘ ,ｙ,函数 ｆ(ｘ)满足 ｆ(ｘ +ｙ) - ｆ(ｘ) -ｆ( ｙ) =ｘｙ +1,且ｆ( 1) =1,那么满足ｆ(ｎ) =ｎ(ｎ≠ 1)的整数ｎ的个数共有 ( )个 .Ａ .0 Ｂ .1 Ｃ .2 … 相似文献
13.
我们知道ｇ(ｘ) <ｆ(ｘ) ｆ(ｘ) ≥ 0 ,ｇ(ｘ)≥ 0 ,ｇ(ｘ) <[ｆ(ｘ) ]2 .ｇ(ｘ) >ｆ(ｘ) ｆ(ｘ) ≥ 0 ,ｇ(ｘ) >0 ,ｇ(ｘ) >[ｆ(ｘ) ]2 ;或 ｆ(ｘ) <0 ,ｇ(ｘ) ≥ 0 .将无理不等式转化为等价的代数不等式 (组 )来解 ,往往须考虑符号 ,运算复杂 .下面介绍另一求法 ,其理论根据是一元连续实函数 ｙ =ｆ(ｘ)的根 (存在 )将其定义域分成的各个区间上具有保号性 .此方法步骤如下 :(1)把不等式两边作差构造函数 ｙ=ｆ(ｘ) ;(2 )求ｆ(ｘ)定义域 ;(3)求 ｆ(ｘ)的根 ;(4)在其根依次将定义域分成的各区间内分别取一特殊值代入 ｆ(ｘ)判断其符号 ,从… 相似文献
14.
题 设ａ>0 ,求函数ｆ(ｘ) =ｘ-ｌｎ(ｘ +ａ) (ｘ∈ ( 0 ,+∞ ) )的单调区间 .解 ｆ′(ｘ) =12ｘ- 1ｘ +ａ =ｘ- 2 ｘ+ａ2ｘ(ｘ+ａ) ,因为ａ>0 ,ｘ >0 ,所以 2 ｘ >0 ,ｘ +ａ >0 .所以ｆ′(ｘ)与ｘ - 2 ｘ+ａ同号 ,令ｔ =ｘ ,则ｘ- 2 ｘ+ａ =(ｔ- 1) 2 + (ａ - 1)(ⅰ )当ａ >1时 ,ｆ′(ｘ) >0 ,所以 ｆ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )单调递增 ;(ⅱ )当ａ =1时 ,ｆ′(ｘ)≥ 0 ,且只在ｘ =1处ｆ′(ｘ) =0 ,所以 ｆ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )单调递增 ;(ⅲ )当 0 <ａ <1时 ,令 (ｔ- 1) 2 + (ａ - 1) =0得ｔ =1± 1-ａ ,此时ｘ =ｔ2 =2 -ａ± 2 1-ａ ,显然当ｔ∈ (… 相似文献
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众所周知 ,若ａ≥ｂ且ａ≤ｂ ,则ａ=ｂ .利用这一结论常能解决一些数学问题 .下面是一道 2 0 0 2年全国联赛试题 :已知 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的函数 ,ｆ( 1 ) =1 ,且对任意ｘ∈Ｒ都有ｆ(ｘ+ 5 )≥ ｆ(ｘ) + 5 ,ｆ(ｘ+ 1 )≤ ｆ(ｘ) + 1 .若 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 1 -ｘ ,则ｇ( 2 0 0 2 ) =.解 由 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 1 -ｘ ,得ｇ(ｘ+ 5 ) =ｆ(ｘ + 5 ) + 1 -ｘ-5=ｆ(ｘ + 5 ) -ｘ-4≥ ｆ(ｘ) + 5 -ｘ -4=ｆ(ｘ) + 1 -ｘ =ｇ(ｘ) ,ｇ(ｘ + 1 ) =ｆ(ｘ+ 1 ) + 1 -ｘ -1=ｆ(ｘ+ 1 ) -ｘ≤ｆ(ｘ) + 1 -ｘ =ｇ(ｘ) .∴ｇ(ｘ) ≤ｇ(ｘ+ 5 )≤ ｇ(ｘ + 4)… 相似文献
16.
林世保 《中学数学教学参考》2000,(6):56-56
在探讨多边形的方程时,常常把两个已知的图象进行运动,使它们重迭拼接在一起,构造出许多奇妙的图形,从而求出它们的方程.定理 ｆ(ｘ,ｙ)=0或ｇ(ｘ,ｙ)=0|ｆ(ｘ,ｙ) ｇ(ｘ,ｙ)|-|ｆ(ｘ,ｙ)-ｇ(ｘ,ｙ)|=0.证明:由绝对值的定义易知,略.例1 已知顶点坐标分别为Ａ1(0,1)、Ｂ1(-2,0 相似文献
17.
根据无理不等式的特点,构造函数,利用函数图象的高低位置关系找出不等式的解集,可以化抽象为形象,快速、简捷地解决问题. 例1解不等式 >a-x. 解在同一坐标系中,作出函数y=a-x与函数y= [即(x-a)2+y2=a2,y≥0]的图象. 当a>0时,图象如图1所示,直线与半圆交点的横坐标为2-(?)2/2 a,故不等式的解集为{x|2-(?)2/2 a相似文献
18.
对于形如ｘ1≤ｘ≤ｘ2 的不等式 ,如果利用定比分点公式来证明 ,往往会收到很好的效果。具体方法如下 :把ｘ1、ｘ、ｘ2 分别对应数轴上的三点Ｐ1、Ｐ、Ｐ2 ,Ｐ是有向线段Ｐ1Ｐ2 的分点 ,按定比分点公式λ =(ｘ -ｘ1) / (ｘ2 -ｘ)。如果λ >0 ,则Ｐ是Ｐ1Ｐ2 的内分点 ,此时ｘ1<ｘ <ｘ2 ;当λ =0时 ,有ｘ =ｘ1;当λ不存在时 ,有ｘ =ｘ2 。因此当λ≥ 0时 ,即可说明ｘ1≤ｘ≤ｘ2 。下面通过举例加以阐述。例 1 若 |ａ|<1 ,|ｂ|<1 ,求证 -1 <ａ ｂ1 ａｂ<1。证明 设 -1、(ａ ｂ) / ( 1 ａｂ)、1分别对应数轴上三点Ｐ1、Ｐ、Ｐ2 ,Ｐ是Ｐ1Ｐ… 相似文献
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擂台题 (5 4 ) :证明或否定若ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的三边长 ,实数λ≥ 2 ,则(ｂ+ｃ-ａ) λｂλ+ｃλ +(ｃ+ａ -ｂ) λｃλ+ａλ +(ａ +ｂ -ｃ) λａλ+ｂλ ≥ 32①引理 若ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,实数 ｐ≥ 1 ,则(ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ②证明 (1 )当 ｐ =1时 ,②式等号成立 ,(2 )当 ｐ >1时 ,令 ｆ(ｘ) =ｘｐ(ｘ >0 ) ,这时 ,ｆ′(ｘ) =ｐｘｐ- 1,ｆ″(ｘ) =ｐ(ｐ -1 )ｘｐ - 2 >0 ,所以 ｆ(ｘ)是 (0 ,+∞ )上的凹函数。因为ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,由琴生不等式知ｆ(ｍ +ｎ2 )≤ ｆ(ｍ) +ｆ(ｎ)2 ,即有 (ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ,当且仅当ｍ =ｎ… 相似文献
20.
构造函数法是证不等式的一种重要方法 ,本文谈谈构造函数法证不等式的几种思考途径 .途径一 利用函数的单调性构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在某一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1 已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,求证 :ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7.证明 令 ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ ,取 0 <ｘ1<ｘ2 <1,则ｆ(ｘ2 ) - ｆ(ｘ1) =(ｘ2 -ｘ1) 1ｘ2 - 1ｘ1=(ｘ2 -ｘ1) 1- 1ｘ1ｘ2 <0 ,所以 ｆ(ｘ)在 (0 ,1)上为减函数 .又 0 <ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33=12 7,∴ｆ(ａｂｃ) ≥ ｆ 12 … 相似文献