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1.
命题设max(A,B,C)<120°,点P是△ABC内的费马点(即△ABC内满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°的点),BC=a,CA=b,AB=c;△ABC的内切圆半径为r,点P到三边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,则有a~2r_1 b~2r_2 c~2r_3≥1/3(a b c)~2·r (1) 等号成立当且仅当△ABC为正三角形。证明:记PA=u,PB=v,PC=w;△ABC、 相似文献
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设P是△ABC内的费马点.记L是P点到A、B、C的距离的和,简称费马和.对L的上界,由[1]知 L≤(3~(1/2)(a b c))/3 其实可以改进为L≤(ab bc ac)~(1/2) 相似文献
3.
文[1]提出了关于Fermat-Torriccelli点的一个猜想: 设P为△ABC的费马点,记PA=u,PB=v,PC=w,△ABC的三边为a,b,c.则 相似文献
4.
文[1]提出有关费马点的一个猜想:设P是△ABC的费马点,记PA=u,PB=v,PC=w,△ABC的三边为a,b,c,则 (u v w)~2≤ab bc ac. (1) 本文证明这个不等式成立. 证 如图∠APB以及∠BPC,∠APC都是120°,记△ABC面积为△,则 相似文献
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1问题的背景浙教版义务教育教科书数学八年级(下)册第82页设计题:你听说过费马点吗?如图1,P为△ABC所在平面内一点.如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P就叫作费马点.费马点有许多有趣并且有意义的性质.例如,平面内一点P到△ABC三顶点的距离之和为PA PB PC,当点P为费马点时,距离 相似文献
6.
本文给出两个关于三角形边的命题 .命题 1 到三边不等的三角形三边距离之和最小的点是此三角形最大边所对顶点 .命题 2 到三角形三边距离的平方和最小的点是此三角形重心的等角共轭点 .注 :△ABC内两点D、E互为等角共轭点的充分必要条件是 ,∠DAB =∠EAC ,∠DBC=∠EBA ,∠DCA =∠ECB .先证明命题 1 .证明 :设△ABC内一点P到三边BC、AC、AB的距离分别为x、y、z,并设BC =a ,AC =b ,AB =c ,S△ABC=S .则有ax by cz=2S .①不妨设a >b >c,则2S =ax by cz≤ax ay az=a(x y z) .所以 ,x y z≥2Sa .上式等号成立的条… 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(20)
1 问题的提出浙教版义务教育教科书《数学》八年级(下)第82页设计题:你听说过费马点吗?如图1,点 P 为△ABC 所在平面内一点.如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点 P 就叫做费马点.费马点有许多有趣并且有意义的性质.例如,平面内一点P到△ABC 三顶点的距离之和为 PA PB PC,当点 P 为费马点时,距离之和最小.假设 A、B、C 分别表示三个村庄,要选一处建车站,使车站到三个村庄的公路路程的和最短.若不考虑其他因素,那么车站 相似文献
8.
刘康宁 《中学数学教学参考》1995,(7)
笔者在文[1]中主要谈了关于费马点的一个常用性质的应用,下面再给出费马点的一个性质。 性质 设F为△ABC的费马点,记FA=x,FB=y,FC=z,BC=a,CA=b,AB=c,则 相似文献
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设P是△ABC内部满足∠BPC=∠CPA=∠APC=120°的一点,则称点P是△ABC的费尔马点。 定理 设P是△ABC的费尔马点,点P至边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,△ABC的内切圆半径为r.则有 r_n r_2 r_3≤3r.(1) 证明:记BC=a,CA=b,AB=c,PA=R_1,PB=R_2,PC=R_3,则有 a~2=R_2~2 R_3~2 R_2R_3, (2) b~2=R_3~2 R_1~2 R_3R_1. (3) 不妨设a≥b≥c.则可证 相似文献
10.
贺功保 《中学数学研究(江西师大)》2006,(4):18-19
文[1]给出了计算费马点与重心的距离公式,本文给出计算费马点与“心”(重心、内心、外心、垂心、旁心、界心)距离的统一公式.为此,我们先约定:用 a、b、c、p、s 分别表示△ABC 的边长、半周长和面积;F、E、G、O、J、H、I_1、I_2、I_3分别表示△ABC 的费马点、界心、重心、外心、内心、垂心及∠A、∠B、∠C内的旁心;x、y、z 分别表示 FA、FB、FC.于是,我们有:定理1 设 D、E 分别为△ABC 的边AC、AB(所在直线)上的点,BD 与 CE 交于点Q,若(AD)/(DC)=λ,(AE)/(EB)=μ,点 P 为△ABC 所在平 相似文献
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定理1 设△ABC内角不大于120°,则 a~2 b~2 c~2=4 3~(1/2)△ (x-y)~2 (y-z)~2 (x-z)~2,(1)其中a,b,c和△分别为△ABC的边和面积,x,y,z为△ABC的费马点到顶点A、B、C的距离。 相似文献
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设 P 为△ABC 内一点,a≤b≤c 为△ABC 的三边,则PA+PB+PC≤b+c.(1)这是单增老师书[1]§3的例题6,后又作为书[2]第36讲的例9;在证明时,前者用到了椭圆的性质,后者用到了向量的知识,都属于高中数学的范畴. 相似文献
13.
《中学数学教学》2018,(1)
<正>1问题背景1967年,H.W.Guggenheimer建立了如下不等式,我们称之为Guggenheimer不等式.定理A[1]P是△ABC中任意一点,a、b、c是三角形三边,则有PA+PB+PC相似文献
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关于费马点与重心的距离公式 总被引：1，自引：0，他引：1
命题 在△ABC中，F、G分别为费马点和重心，令BC=a，CA=b，AB=c，S为△ABC的面积．则GF=√1/2（a^2＋b^2＋c^2-4√3S）/3. 相似文献
15.
关于费尔马点的又一个不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
如果点F到△ABC三个顶点的距离之和为最小,则点F称为费尔马点。 我们已经知道,当△ABC最大内角小于120°时,F在△ABC内部,且满足∠BFC=∠CFA=∠AFB=120°;当△ABC有一内角不小于120°时,F点与最大角的顶点重合。 关于费尔马点,文[1]给出了: 定理1 设F是△ABC的费尔马点,点 相似文献
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文[1]、[2]、[3]等给出了外角平分线构成的三角形几个有趣的性质,本文得到定理如图,△DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,设BC=a,CA=b,AB=c,2s=a+b+c,I为△ABC的内心,且DI=x,EI=y,FI=z,△ABC的外接圆和内切圆半径分别为R、r,则4sin2sin2sin2x A=y B=z C=R(1)首先给出一个引理.引理设I为△ABC的内心,则AD、BE、CF交于I点,且I为△DEF的垂心.略证∵?DEF是△ABC三条外角平分线构成的三角形,∴D、E、F为△ABC的旁心[4],显然AD、BE、CF为∠A、∠B、∠C的平分线,则它们交于I点;又∵2∠D AC=A,222∠E AC=B+C=π?… 相似文献
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若△ABC各内角均小于1200,则在△ABC内必存在点p,使乙A尸B~艺B尸c~乙C尸A-1200,这时PA+尸B+尸C最小.点尸常称费马点.P具有如下性质. 定理设△A刀C的费马点尸到三边距离为x,y,z,三边为。,b,‘.则有 2(x+y一升z)石PA十尸B十PC(了了,二分乞(a+b J+‘).等式当且仅当△ABC为正三角形时成立. 证明先证右边不等式.为此,以△ABC边为一边向外作△ABE,△BCF,△ACD,设其中心分别为,E‘,F‘.则尸同在它们的外接圆上.故正Dl b互3 一一旧.FI公尸只尸一一一一一一CD甲万 3 亡夸 一一FE心=APC刀FEAB丑于是,PA+尸B+ 了万,。=2下兰{a… 相似文献
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文[1]证明了:若a、b、c为△ABC的三边,则√a2 b2、√a2 c2、√b2 c2亦可构成另一△A′B′C′.本文对于新构成△A′B′C′的性质进行了一些探索与研究,得到如下结果. 相似文献
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文 [1]介绍了辩证思维的四种类型在解题中的应用 .作为辩证思维 ,除这四种类型以外 ,还有相等与不等、常量与变量、抽象与具体、有限与无限、前进与后退、升维与降维等多种情形 ,作为文 [1]的补充 ,介绍如下 .1 相等与不等在数学中 ,不等是绝对的 ,而相等则是相对的 .它们既对立 ,又统一 ,并且具有很多相似的性质 .用相等来处理不等问题比较自然 ,反之却较为生疏 .实际上不少相等问题不但可以而且必须用不等知识才可解决 .例 1 设△ ABC的三边为 a,b,c,面积为 S,若 a2 b2 c2 =43S,求证△ABC为正三角形 .本题证法较多 ,但均需借助… 相似文献
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本文约定,a、b、c,ah、bh、ch,am、bm、cm分别表示△ABC的三边长及相应边上的高线长与中线长,s、?、r分别表示△ABC的半周长、面积、内切圆半径.P为△ABC平面上一动点,P点到三角形顶点A、B、C的距离分别为aR、bR、cR.文[1]中,褚小光、吴跃生建立了如下漂亮、有趣的几何不等式2( 相似文献